【原】与等边三角形有关的一道有点难度的题

与等边三角形有关的一道有点难度的题

这道题是最近在一个群里看到有人求助的，群主故弄玄虚，只说是老题，延长造四点共圆就可证。翻看了一些几何书，在里面都没有见过这道题，感觉这道题还是有一些难度的。本文不揣冒昧，给出一个比较自然的证法。

D为等边ΔABC内一点，点E、F在线段CD上，且∠ADB=150⁰，∠AEB=120⁰，∠AFB=90⁰，求证：∠BAD=∠CBF，∠DBA=∠FAC，∠DAE=∠FBE，∠DAE=∠FBE，∠EAF=∠EBD，∠DAF=∠DBF=30⁰，CF=DF。

证明：作ΔABD和ΔABF的外接圆，圆心分别为G、I，显然I为AB的中点，ΔGBA为正三角形，于是G、I、C共线且I为GC的中点，于是C为⊙G、⊙I的外位似中心，位似比为IF/DG=1/2，所以CF/CD=1/2，CF=DF。取AC中点H，连结FH、BH，则A、B、F、H四点共圆，根据托勒密定理得BH*AF=FH*AB+BF*AH，AF=(AD+BF)/。用旋转法可得CD²=AD²+BD²，根据中线公式得2AF²+2DF²=AD²+AC²，2AF²+(AD²+BD²)/2=AD²+AF²+BF²，AF²+BD²/2=BF²+AD²/2，BD²=2BF²+AD²-2AF²，所以cosDAF=(AD²+AF²-DF²)/(2AD*AF)=[AD²+(AD+BF)²/3-(AD²+BD²)/4]/(2AD²+2AD*BF)=/2，∠DAF=30⁰，于是∠BAD+∠CAF=30⁰，∠BAD=∠CBF，∠DBA=∠FAC，∠DAE=∠FBE，∠DAE=∠FBE，∠EAF=∠EBD。