【原】电场的边值关系

cosmos2062 2025-05-16 发布于广东

展开全文

讨论电场在不同介质的分界面上的连接条件。

我们已经写出了一般情况下描写电磁现象的一组微分方程： $\begin{align} \nabla\cdot\vec{D}&=\rho_0\ ,\ \nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\notag\\ \nabla\cdot\vec{B}&=0\ ,\ \nabla\times\vec{H}=\vec{j}_0+\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}\notag \end{align}$ 这组微分方程与洛伦兹公式、电荷守恒定律和介质的电磁性质方程一起，构成求解空间中任意电磁场的一套完备的方程组。

微分方程只适用于场量连续变化的场合。在许多情况下，空间中通常存在多种不同的介质，各种介质分别占据一个空间区域。在这种情况下，在两种介质的分界面上，场量一般有突变，微分方程失效，必须回到积分形式的方程，由此导出电磁场在边界两侧的行为之间的关系：边值关系。

先考虑两个与通量有关的方程。在两种介质的分界面附近取一个横跨分界面的扁盒状闭合曲面，约定分界面的法向单位矢量 $\hat{n}$ 从介质 1 指向介质 2 的方向，其中覆盖分界面的上下表面的面积为 $\Delta S$ ，横跨分界面的侧面的厚度为 $h$ ，如下左图所示。将积分形式的高斯定律和磁通连续定理用到这个闭合面上，让扁盒的厚度趋于零，这样，它对闭合面积分就没有贡献。由此得到电磁场的两个重要的边值关系。

作为一个实例，我们来看与高斯定律有关的边值关系是怎样推导出来的： $\begin{align} \oint\limits_S\vec{D}\cdot{\rm d}\vec{S}&=\iint\limits_{ h\rightarrow0}\vec{D}\cdot{\rm d}\vec{S}+\iint\limits_{上表面}\vec{D}\cdot{\rm d}\vec{S}+\iint\limits_{下表面}\vec{D}\cdot{\rm d}\vec{S}\notag\\ &=\iint\limits_{上表面}\vec{D}\cdot{\rm d}\vec{S}+\iint\limits_{下表面}\vec{D}\cdot{\rm d}\vec{S}\notag\\ &=\iint\limits_{\Delta S}\hat{n}\cdot\left(\vec{D}_2-\vec{D}_1\right){\rm d}S=\iint\limits_{\Delta S}\sigma_0{\rm d}S\notag \end{align}$ 其中 $\sigma_0$ 是两种介质的分界面上的自由电荷面密度。在上述积分关系中，扁盒的上下表面的面积是任意的，这意味着，对最后一个等号而言，等号两边积分式内的被积函数必须相等： $\begin{equation}\notag \hat{n}\cdot\left(\vec{D}_2-\vec{D}_1\right)=\sigma_0 \end{equation}$ 这就给出了电场的其中一个边值关系，这个关系显示，在两种介质的分界面上，电位移的法向分量有突变。电场还满足另一个边值关系，我们稍后再讨论。