第十四讲 谈谈平均数

第十四讲 谈谈平均数

　　n个数之和除以数的个数所得到的数，叫做这n个数的算术平均数，简称为平均数。（n≥2）

　　我们常把求两个或两个以上数的平均数的应用题，叫做平均数问题。

　　这类应用题的基本数量关系是：

　　总和÷个数＝平均数

例1 炼钢厂在一个星期里，前3天炼钢0.48万吨，后4天炼钢0.78万吨。这个星期平均每天炼钢多少万吨？

解：（0.48＋0.78）÷（3＋4）

　　＝1.26÷7＝0.18（万吨）

　　答：平均每天炼钢0.18万吨。

例2 炼钢厂在一个星期里，前3天平均每天炼钢0.16万吨，后4天平均每天炼钢0.195万吨。这个星期平均每天炼钢多少万吨？

解：（0.16×3＋0.195×4）÷（3＋4）

　　＝（0.48＋0.78）÷7

　　＝1.26÷7＝0.18（万吨）

　　答：平均每天炼钢0.18万吨。

　　例2与例1相比，例2没有明确地告诉我们总数量与总份数，要先分别求出来，但题目中所反映的基本数量关系没有变化。

　　解答例2时，容易发生下面的错误：

　　（0.16＋0.195）÷2

　　＝0.355÷2＝0.1775（万吨）

　　答：从略。

　　发生这类错误的原因是解题时忽略了题目中的已知条件，虽然0.16万吨和0.195万吨都是两段时间内每天的炼钢的数量，但这两段时间不同，有“前3天”和“后4天”的区别。

　　在运用求平均数的知识解决实际问题时，还会遇到一个新概念——中位数。

例3 1966，1976，1986，1996，2006这五个数的总和是多少？（第一届《华罗庚金杯》少年数学邀请赛初赛试题）

解：这道题有许多解法。用连加法解答，显然太繁琐；用等差数列求和公式解答，计算步骤也不少；如果注意到1966与2006分别比1986少20和多20，1976与1996分别比1986少10和多10，用移多补少的办法就很简单，移补后变成5个1986，其和为1986×5＝9930。

　　怎样灵活地运用有关求平均数的知识。解决实际问题呢？

　　请看以下例题。

例4 某车间有3个生产班组，第一组有工人5人，共生产零件167个；第二组比第一组多2人，共生产零件206个；第三组和第二组工人同样多，生产的零件却比第二组多10个。这个车间平均每个工人生产零件多少个？

解：分别求出生产零件的总数量和这个车间的总人数，就不难求出平均每个工人生产零件多少个。

　　可依题目条件列出下表：

　　 第一组 第二组 第三组

　　零件数 167 206 206＋10

　　人数 5 5＋2 5＋2

　　于是，很容易列出算式：

　　（167＋206＋206＋10）÷（5＋5＋2＋5＋2）

　　＝589÷19

　　＝31（个）

　　答：这个车间平均每个工人生产零件31个。

例5 四年级（1）班原有男生23人，他们的体重平均为43.5千克，后来又有两个男学生插班，这两个学生的体重分别是43千克和51.5千克。求现在这个班男生的体重平均是多少千克。

解法1：这个班原有男生23人，体重平均为43.5千克，则可求出原有男生的总体重；加上插班男生体重，可求出现在男生的总体重。再求出现在男生总人数，即可求出平均体重。

　　现在男生的总体重是：

　　43.5×23＋43＋51.5

　　＝1000.5＋43＋51.5＝1095（千克）

　　现在男生人数是：

　　23＋2＝25（人）

　　现在男生的平均体重是

　　1095÷25＝43.5（千克）

解法2：采用“移多补少”法，求平均数。

　　新来的两名学生之一的体重是43千克。较原来的男生平均体重数少43.5－43＝0.5（千克），另一名新生的体重则比原平均数高51.5－43.5＝8千克。

　　先从8千克中补给第一位新生0.5千克，使它达到平均数，这时还余下8－0.5＝7.5（千克）。

　　再把7.5千克平均分成25份，每份是7.5÷25＝0.3（千克），可使原平均数提高0.3千克。于是，可以求出现在男生体重的平均数。

　　43.5＋[（51.5－43.5）－（43.5－43.0）]÷（23＋2）

　　＝43.5＋[8－0.5]÷25

　　＝43.5＋7.5÷25＝43.5＋0.3＝43.8（千克）

　　答：从略。

例6 三个参观团，甲团43人，乙团38人，丙团47人，因租用的客车有一辆突然发生故障，丙团的人要分乘甲、乙团的车，问怎样分配甲、乙两车上的人数才相等？

解：本题是要将三团人的总数平分为两部分（只不过甲、乙团不动，只调动丙团）。

　　甲、乙、丙三个团的总人数：

　　43＋38＋47＝128（人）

　　甲、乙两车最后的平均乘车人数：

　　128÷2＝64（人）

　　丙团到甲车的人数：

　　64－43＝21（人）

　　丙团到乙车的人数：

　　64－38＝26（人）

　　答：分到甲车21人，乙车26人，这样甲、乙两车人数相等。

例7 赵田、赵甲、赵申三人各出同样多的钱，购买化肥若干吨。买到化肥后，因为赵申需要量少，比赵田、赵甲各少要0．3吨。赵田、赵甲须各归还赵申240元。问每吨化肥多少元？

解：赵田、赵甲比赵申多买化肥：

　　0.3×2＝0.6（吨）

　　如果赵田、赵甲不多要，则每人可再分化肥：

　　0.6÷3＝0.2（吨）

　　赵田、赵甲各比平均数多要的化肥是：

　　0.3－0.2＝0.1（吨）

　　每吨化肥的价格是：

　　240÷0.1＝2400（元）

　　综合式：

　　240÷（0.3－0.3×2÷3）

　　＝240÷0.1＝2400（元）

　　答：每吨化肥2400元。

　　请思考，用2400÷0.3＝800（元）作为每吨化肥价格对吗？为什么？