列一元二次方程，分式方程，分式方程组解应用题

北　京　四　中 　　　　 　　编　稿：王润岚　　　　 审　稿：谷　丹　　　　责　编：赵云洁 列一元二次方程，分式方程，分式方程组解应用题 　　一、内容综述： 　　1．列方程解应用题的一般步骤是： 　　（1）审题：透彻理解题意，明确哪些是已知数，哪些是未知数，以及它们之间的关系。 　　（2）设未知数：根据题意，可直接设未知数，也可间接设未知数，未知数必须写明单位，语言叙述要完整。 　　（3）列代数式和方程：根据题中给出的条件，用含有所设未知数的代数式表示其他未知数，利用等量关系，列出方程或方程组，一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。 　　（4）解方程或方程组应注意解题技巧，准确地求出方程或方程组的解。 　　（5）检验答案：解应用题要检验有无增根，又要检验是否符合题意，最后做出符合题目要求的答案。 　　在这些步骤中，审题是解题的基础，列方程是解题的关键。 　　在列方程时，要注意列出的方程必须满足以下三个条件： 　　（1）方程两边表示同类量 　　（2）方程两边的同类量的单位一样 　　（3）方程两边的数值相等 　　二、例题分析： 　　例1．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券低2个百分点，到期后某人的乙种债券可兑换人民币108元，求甲种债券的年利率。 　　分析：利息=本金×利率×存期 　　本息=本金+利息 　　甲种债券利息×（1+乙种债券利率）×存期=108 　　解：设甲种债券的年利率为x，依题意，甲种债券的利息为1000x元，乙种债券的年利率为x-0.02，则 　　1000x(1+x-0.02)=108 　　整理得：250x2+245x-27=0 　　(10x-1)(25x+27)=0 　　x1=0.1　　 x2=- 　　∵x2=-不合题意，舍去 　　∴x=0.1=10% 　　答：甲种债券的年利率为10%。 　　例2．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元用电费，如果超过A度，则这个月除了仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度元交费。 　　（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的A度，则超过部分应该交电费多少元（用A表示） 　　（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况： 月份 用电量（度） 交电费总数（元） 3月 80 25 4月 45 10 　　根据上表的数据，求电厂规定A度为多少？ 　　分析：本题是原于现实生活中的经济问题，情景熟悉，但问题有障碍，不能直接看出问题的答案，必须认真阅读和思考。 　　问题（1）较简单，超过部分应交电费(90-A)元，问题（2），从表中看到，45<A<80，根据3月份用电80度，交电费25元，可列出方程： 　　10+(80-A)=25 　　整理得，A2-80A+1500=0 　　解得：A1=50　 A2=30 　　但A2=30<45，不合题意舍去 　　∴A=50 　　解略。 　　例3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 　　若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 　　解：设每件衬衫应降价x元， 　　由题意可得： 　　(40-x)(20+2x)=1200 　　整理，得x2-30x+200=0 　　x1=10　 x2=20 　　根据题意x=10不合题意，舍去　　　　 　　所以x=20 　　答：每件衬衫应降价20元。 　　说明：此题是一元二次方程在市场经济中的应用，利用已知条件，列方程，解方程都比较简单，但得出方程的根后，考查它们是否符合题意是个难点，已知中有“尽快减少库存”的要求，而每降低1元，则平均每天可售出2件，所以x=10，不合题意舍去。 　　例4．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元。 　　（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ 　　（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。 　　分析：此题是用数学知识解决简单的生产问题，这也是初中数学的教学目的。 　　第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间。 　　第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少 钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少。 　　解：（1）设甲队单独做x天完成，乙队单独做y天完成，丙队单独做z天完成 　　由题意可得：　 　　解这个方程组得：　 　　经检验此解是所列方程组的解 　　答：甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成，丙队单独做30天完成。 　　（2）设付给甲队一天a元，付给乙队一天b元，付给丙队一天c元。 　　 　　解这个方程组得　　　　 　　 　　又∵规定时间要求不超过15天　　　　　　　　　　　　　 　　∴不能用丙队，　　　　　　　　　　　　　 　　∵10a=8000（元）　　 15b=9750（元） 　　答：由甲队单独完成此工程花钱最少。 　　说明：数学教学新大纲中要求“能够运用所学知识解决简单的实际问题”。能够解决实际问题是指：能够解决带有实际意义和相关学科中的数学问题，以及解决生产和日常生活中的实际问题；能够使用数学语言表达问题，展开交流，形成用数学解决实际问题的意识，以上四题就反映了新大纲要求，这种形式的问题频繁出现在近两年的中考试卷中，这应引起我们的重视。 　　例5．A、B两地间的路程为15千米，早晨6时整，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地，如果乙骑车比甲步行每小时多走10千米，问几点钟甲，乙两人同时到达B地？ 　　分析：此题是行程问题，行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程，并且路程=速度×时间。此题若间接设元，设甲步行每小时走x千米，乙骑自行车每小时走(x+10)千米，又已知AB两地路程为15千米，则可利用甲乙所用的时间找等量关系。 　　解：设甲步行每小时走x千米， 　　则乙骑车每小时走(x+10)千米 　　由题意得：+1= 　　整理得：x2+25x-150=0 　　解这个方程得：x1=5,x2=-30 　　经检验：x1=5,x2=-30都是所列方程的根， 　　但x=-30不合题意舍去 　　∴x=5 　　这时 15÷5=3（小时） 　　答：上午9点整，甲、乙两人同时到达B地。 　　例6．甲、乙两车同时从A地出发，经过C地去B地，已知Ｃ、Ｂ相距180千米，出发时，甲每小时比乙多行5千米，因此，乙经过C地比甲晚半小时，为赶上甲，乙从C地将车速每小时增加10千米，结果两车同时到达B，求两车出发时速度？ 　　分析：解决此题的关键是：从C地到B地，甲比乙多走半小时。 　　解：设乙速为x千米/时。 　　则甲速为(x+5)千米/时 　　-= 　　整理得：x2+15x-1750=0 　　解这个方程：x1=35, x2=-50 　　经检验：x1=35,x2=-50都是所列方程的根 　　但x=-50不合题意，舍去 　　∴x=35 　　∴x+5=35+5=40 　　答：甲出发时速度为40千米/时，乙出发时速度为35千米/时。 　　例7．甲乙两人分别从A、B两地同时同向出发，甲经过B地后，再经过3小时12分在C地追上乙，这时两人所走的路程和为36千米，而A、C两地的距离等于乙走5小时的路程，求A、B两地的距离？ 　　分析：此题间接设元比较方便，如可设甲、乙两人速度分别为x千米/时，y千米/时，可以利用“两人所走的路程和为36千米”及“甲从A到C所用的时间与乙从B到C所用的时间相等”这两个等量关系建立方程组。 　　解：设甲速为x千米/时，乙速为y千米/时 　　则AC长5y千米，BC长为x千米（3小时12分=小时） 　　AB长(5y-x)千米 　　由题意可得　 　　解这个方程组得： 　　经检验它们都是所列方程组的解 　　又∵　 不合题意舍去 　　∴ 　 　　∴　5y-x=5×4-=4 　　答：A、B两地长4千米。