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巩固基础，提升认识 -----《分式方程复习课》教学设计 褚爱华（山东省济南育英中学） 内容简析 北师大版《义务教育课程标准实验教科书》八年级下册三章《分式》第二单元. 本节课复习的主要内容是分式方程的概念、解法及应用，是对分式方程单元学习的梳理、归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方程转化为一元一次方程，所以也是对一元一次方程的复习. 分式方程是将具体问题数学化的重要模型，通过复习能够帮助学生更好的形成建立数学模型的意识，强化数学与生活的密切关系.，增根的出现也将会使学生对字母表示数有更进一步的理解，因此本节复习可起到巩固基础，提升认识的作用. 复习内容较多，依据学生情况，可用一课时或两课时完成. 教学目标 1．通过变式练习复习分式方程的概念，体会分式方程的两个重要特征，会识别分式方程和含有字母已知数的一元一次方程，加深对分式方程概念的理解. 2．通过解分式方程的训练，进一步巩固解分式方程的一般步骤，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的区别与联系，体会转化的数学思想.. 3．通过对增根的讨论，认清关键，突破难点，提高认识. 4．通过层层深入的列分式方程解决实际问题的练习，经历“实际问题—建立分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，培养应用意识. 教学重点 分式方程的解法以及列分式方程解决实际问题. 教学难点 对分式方程增根的理解. 难点诊断：其一，解分式方程较之解整式方程对学生来讲难度加大，在将分式方程转化为整式方程的过程中，容易出现去分母时漏乘整式项、符号变化错误等.其二，学生对于解分式方程时产生增根的原因有疑惑，解整式方程的思维定势对于解分式方程的步骤、检验等会有负迁移. 方法阐释 复习本单元知识时，将以层层深入的练习为主线，通过精选典型例题，暴露学生的思维，发现学生在学习过程中的问题和疑惑，一方面巩固基础知识，一方面解决新问题，促进学生在该知识点的发展，帮助学生形成完整的知识结构，达到复习的目的.同时将有效利用信息技术，帮助学生分析问题，指导解题方法. 教学流程
【设计意图】在进行复习之前，教师带领学生以结构图的形式精要梳理本单元重点知识，使学生形成清晰的思路，以便更好地完成复习练习. 二、 核心复习 活动1：考考你（考察学生对基础知识的把握）： 1．你能正确识别分式方程吗？ 下列方程是含有x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）. (1) (4) (7) 提出问题：(1)什么是分式方程？（学生回答：分母中含有未知数的方程叫做分式方程） (2)像题3、8中这样的方程为什么不是分式方程？它们应该是什么方程？如何看待其分母中的字母？根据学生的回答，帮助学生总结以下几点： 点悟： （1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的特征是：①含分母，②分母中含有未知数.分母中是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的标志. （2）本例中的方程是关于x的方程，未知数是x，其他字母皆为字母系数.要注意分式方程与含有字母已知数方程的区别. （3）分式方程的定义是形式上的定义. （4）分式方程与整式方程统称为有理方程.如 【设计意图】以上教学设计，不是简单的让学生重复概念，而是通过展示一组有一定难度的方程让学生进行辨别，在此过程中学生必将调动自己对分式方程概念的理解，同时还要注意区分分式方程与整式方程，3、8中辅助字母的设计又帮助学生理解分式方程概念的关键点——分母中含有未知数，所以本设计可以说是站在较高的层次上对分式方程概念的复习，达成核心目标.点悟中所设计的问题（3）、（4）是对学生提出的发展性目标. 2．你会解分式方程吗？ 解下列分式方程： （1） 分析：(1)为确定最简公分母，各分母必须按照未知数的降幂排列，确定最简公分母是 2x-5；(2)将各分母按x的降幂排列，并分解因式确定最简公分母是（x-2）(x-3). 解：（1）原方程可变为： 方程两边同乘以（2x-5）得：x -5-（2x-5）= 0， 解得：x = 0， 检验：把x = 0带入最简公分母2x - 5 = -5≠0， ∴ x = 0是原方程的根. （2）原方程可变为： 方程两边同乘以（x-2）(x-3)得：x（x-3）-（1-x2）=2x（x-2）， 解得：x = 1， 检验：把x = 1带入最简公分母（x-2）(x-3) =（1-2）(1-3)≠0， ∴ x = 1是原方程的根. 让学生独立解方程的基础上总结以下解题步骤： 点悟：1.解分式方程的一般步骤： （1） 去分母，即在方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程； （2） 解这个整式方程； （3） 验根：把整式方程的根带入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程 的根，使最简公分母等于0的根是原方程的增根，必须舍去； 但是，此种验根方法并不能验出解方程过程中出现的计算错误，因此还可以采用另一种 验根方法，即把所求得的未知数的值带入原方程进行检验. 2. 思维悟区分析： (1) 最简公分母确定的不准确； (2) 去分母时漏乘整式项； (3) 区分母时忽略符号的变化； (4) 忘记验根. 【设计意图】因为解分式方程是要求学生掌握的基本技能，所以先让学生解方程，通过独立解题，复习解方程的一般步骤，再通过学生出现的问题，反思解题中常出现的错误，从正反两个方面加深学生对知识的理解.所选两个例题有一定的代表性. 活动2：直击难点（讨论增根的问题）： 1. 讨论：增根到底从哪里来？ 2．下面分式方程的解法是否正确？谈谈你的想法. 分式方程的增根是它变形后整式方程的根，产生增根的原因是由在分式方程的左右两边乘的最简公分母是0造成的，所以使最简公分母为0的未知数的值均有可能是增根，而且增根只有可能在这些值中出现. 在上例中若采用这种解法：解：
2x-5 ≠ 0 ，∴ x = 0是原方程的根. 采用以上解法就避免了增根的出现.你对这种解法有什么看法？两种解法矛盾吗？ 3．灵活应用：当m为何值时，解方程： 分析：当方程的解使分式方程的某个分母值为0时，这个解就是此分式方程的增根..因此应先解方程，用含m 的代数式表示x，再根据增根的条件进行讨论，求出m 的值. 解：（1）方程两边同乘以（x 1）（x-1）得：2（x-1）-5（x 1）= m 解得： 当x=1或x=-1时，原方程有增根， 即： 解得：m = -10 或 m = -4， ∴当m = -10 或 m = -4时，方程 【设计意图】由于分式方程的增根问题是学生理解上的难点，学生在学过的情况下可能还会存在疑惑，因此安排了“直击难点”这一专题，带领学生讨论增根的问题.所选例题是在理解增根基础上的灵活应用，能够帮助学生较好的理解增根概念，并能利用其解决问题. 活动3：学以致用（对分式方程知识的灵活应用）： 我国著名的数学大 例1：买西瓜的问题（复习分式的应用） 买西瓜时都是以斤论价，我们都希望瓜瓤部分占整个西瓜的比例越大越好.如果一批西瓜的瓜皮厚度都是d，请问是买大西瓜合算还是买小西瓜合算？ 分析：本题为分式的应用，要想知道购买大西瓜合算还是购买小西瓜合算，需要计算可食用部分的多少，应从寻求比例入手. 解：设西瓜的半径R，则： 整个西瓜的体积= 则 利用“z z”课件展示，让学生观察数据的变化得出结论：R越大， 例2：某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过 分析: 列分式方程解应用题的关键是找出相等关系,分析出数量关系, 从而恰当的设出未知数, 列出方程. 此题的主要等量关系是:：张家用水量 = 李家用水量? 所以应首先表示出两家的用水量,这可以用水费除以水的单价得出,但要注意水费是由两部分组成的: 解:设超过 根据题意得: 解得: x = 2. 经检验, x = 2是所列方程的根. 答: 超过 活动4：开放创新点击: 两名教师带若干名学生去旅游.甲公司给出的优惠条件是: 一名教师收全票价, 其余按7.5折;乙公司给的优惠条件是:全部按8折收费. 经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜 解:设有学生x人,全票价为a元. 根据题意,得: 约去a得: 解得: x = 8. 经检验: x = 8是原方程的根. 点悟：有时为了列方程需要引入辅助未知数，在解题中消去这个未知数，即通常所说 的“设而不求”，这是一种重要的数学方法. 活动5：自主探究平台（行船问题，考查学生分析较复杂应用题的能力）： 一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时.一天，小船从早晨6点由A港出发顺流到达B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈. 问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少时间？ （2）救生圈是何时掉入水中的？ 分析：本题是在水中的行船问题，运动过程比较复杂，所设计的基本关系除了路程、速度与时间之间的关系以外，还涉及到顺流速度和逆流速度，另外，从A港到B港的路程不知道，可以将其设为单位1，由题可知顺流速度为 解：（1）设小船按水流速度由A港漂流到B港需要x小时. 根据题意，得： 解方程，得：x = 48，经检验x = 48是原方程的解. 答：小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时. （2）设救生圈是在y点钟落入水中的，由题意可知发现救生圈丢落的时间是12点，根据题意列方程得： 答：救生圈是在11点落入水中的. 【设计意图】列分式方程解应用题是本章的重点和难点，以上为学生设计了不同难度、 不同类型的四个题目，一方面复习列分式方程解应用题的一般步骤，另一方面由于题目有较强的综合性，可以培养学生综合利用所学知识分析问题、解决问题的能力. 三、归纳小结 1．列分式方程解应用题和列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的,不同的是因为有了分式的概念, 表示数与数的相互关系的代数式不再受整式的限制, 列等量关系式时更直接了. 列分式方程解应用题的一般步骤: (1)审:审清题意; (2)设:恰当的设出未知数; (3)找:找出题目中的等量关系; (4)列:列分式方程; (5)解:解分式方程; (6)验:检验,既要检验所得到的根是否是原分式方程的根,又要检验是否符合题意; (7)答:写出解答. 2．解分式方程的基本思想方法是：分式方程 →去分母 →整式方程，突出体现了转化的数学思想. 转化思想是一种非常重要的数学思想方法，它的应用非常广泛.应用转化思想可以把复杂的问题转化为简单问题，化未知为已知.本章中多处应用了转化思想，例如： 分式除法→分式乘法，异分母分式加减法 → 同分母分式加减法等. 四、作业(一题多解，开拓思维) 请用两种方法解下列问题： 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期3天完成.现由甲、乙两队合做2天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天? 教学设计说明 1、本课的教学设计通过整体——部分——整体的思路，首先通过知识结构图，使学生对本章知识有系统的把握，构建了完整的知识结构，再通过层层递进的变式练习，较好的达到复习巩固的目的.本设计所复习的内容是考查的热点之一，填空、选择、解答题、应用题是常见的题型，都一一进行训练.本单元所设计的知识是分式方程的初步应用，且仅为可化为一元一次方程的分式方程，将来还要学到可化为一元二次方程的分式方程，与本章知识有密切联系.
2、利用了“Z Z智能教育平台”数据处理功能和动画演示功能展示数据的变化情况更为直接，给学生动态的感觉，再根据代入数值进行检验，数形结合，帮助学生很好地理解题意.利用课件的动态演示应用题的情景，能够使复杂的运动变化过程较为清晰的呈现在学生面前，变动态为静态，使题目中的数量关系清晰明了，形象直观. 此文发表于《中国数学教育》 |
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