让探究成为数学教学的常态
作者：吴力田
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关注教学的有效性，追求理想的教学状态是我们每个教学工作者的目标. 在新课标体系下，我们应该以一种理性的数学学习思维和教学心态去引领学生形成新型的研究型学习氛围，努力实现“充满生命活力”的课堂文化氛围. 根据教材特点，围绕某个专题，让学生用自我探究与合作交流的方式进行学习、体验过程，从而获取知识、培养能力. 这样的探究，着力于学生的学，目标指向学生的思维能力、创新能力、问题意识、合作意识的培养. 探究应成为数学教学的常态.
一、局部探究，加强对概念的深化和理解
对习题的局部探究过程中，学生不仅体验过程、感受乐趣，更重要的是加强对概念的深化和理解. 在解题教学中，通过对数学问题的本质属性的挖掘和不同解法的探求以及各种变式的讨论，揭示数学知识间的内在联系，构建知识的有机整体，实现融会贯通和引申拓广，有助于学生思维的变通性、灵活性、流畅性、深刻性和发散性等多种思维品质的提高.
案例1 （2008年湖南省高考题）对有n（n≥4）个元素的总体｛1，2，3，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝（m是给定的正整数，且2≤m≤n-2），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1m= ；所有Pij（1≤i＜j≤n）的和等于 .
1. 教学活动的开展——解题思路的常规探求
这是一道有一定难度的填空题，教师先引导学生分析第一问的作用，再从特殊到一般，对i，j的来源进行分类讨论从而得到解法一.
解法一：对i，j的来源进行分类讨论.
知哪位同学轻轻地说了这样一句. 是呀，有没有更好的办法呢？索性在课堂上放手让同学们讨论探讨.“好像C吗？几分钟后另一个学生给出了以下解法.
解法二：其实只要注意到题中“从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本”这句话，在所选取的4个元受到解法二的提示，好几个同学都很快给出了解法三.
解法三：在解法二的基础上采用整体思路，同样在所选取的4个元素中考虑，其实相当于4个不同的元素中任.
2. 教学活动的深入——探求结果的反思分析
纵观三种解法，其实是概率研究的两种基本思路，一个着眼于最大的样本空间考虑，一个着眼于小样本空间；一个是分步研究，一个是从整体考虑. 两种思路提供了暴露思维过程的优质素材. 课堂上引导学生弄清：
——麻烦的思路到底麻烦在什么地方，能不能变简单些？
——简单的思路为什么会简单，对题设条件做了什么样的理解和处理？
——题目和方法能否推广到更一般的情况？
课堂上学生畅所欲言，不仅对本题有越来越清晰的认识，对概率这个概念也有了更深刻的理解. 而且对题目不断推广引申得到了好几个新的命题，并且得到一一解决.
问题的推广：
（1）对有n（n≥4）个元素的总体｛1，2，3，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝（m是给定的正整数，且x≤m≤n-y），若从两个子总体中分别取出x个和y个元素，则（2）对有n（n≥4）个元素的总体｛1，2，3，…，n｝进行抽样，先将总体分成三个子总体｛1，2，…，s｝、｛s+1，s+2，…，t｝和｛t+1，t+2，…，n｝（s，t是给定的正整数，且s≥x，t-s≥y，n-t≥z），若从3. 解题经验的自觉积累
解法三有一种高屋建瓴之势，对解题思路看得更透彻了，对知识间的联系看得更清楚了，课堂上讲一题多解目标并不只满足于多找出几个解法，而是通过解题过程的分析，引领学生去领悟：怎样解题？怎样学会解题？ 在教学中我们不仅要引导学生不断暴露自己的思维过程，加深对概念的理解，更要让学生学会探究分析自己的解题过程和结果.
二、深入探究，挖掘知识更广泛联系
解题是数学学习中的核心内容，解题要沟通知识的逻辑联系或转化关系，这是比较清楚的. 而解题本身是在挖掘知识的更广泛联系，也是在发生数学，在深入理解数学. 事实上，数学解题的实质就是发生数学；解题活动的核心价值是掌握数学. 深入探究数学解题思路和过程具有沟通知识更广泛联系的功能.
案例2 从A到B，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一1. 常规解法的探求
这是一次单元测验中的试题，试题本身没什么难度，正确率也比较高，学生只反映运算量有点大.
2. 深入探究——从特殊到一般，从一般到特殊
试卷讲评结束下课后，一个学生来找我了：“老师，我已经弄明白了这道题该怎么做，但是把路线A→C→F→. ” “真的？老师也没考虑过这个问题，姑且就把它作为一个猜想吧，能给出证明吗？就以三段为例试试看吧. ”旁边另一位同学听了也很感兴趣，两个人一起讨论去了. 一会两人就拿来了证好了的结果. 设三段上的堵车概率分别为a，b，c，ξ表示遇到堵车的次数，则分布列如下：
Eξ=a（1-b）（1-c）+b（1-a）（1-c）+c（1-a）（1-b）
+2[ab（1-c）+ac（1-b）+bc（1-a）]+3abc=a+b+c.
生1：“我还验证了两段的也是成立的. 证明是完成了，但我还是不明白为什么. ”
师： “问得好，为什么呀？”
生2：“我好像有点知道了，二项分布期望Eξ=nP，现在不是n=3，P1，P2，P3不相等的情况吗？”
生1：“这有什么关系，又不是二项分布. ”
师： “老师提供一个公式，若ξ=X1+X2+…+Xn，则Eξ=EX1+EX2+…+EXn，再想一想吧. ”
第二天，两位同学兴高采烈地来找我，“老师，我们终于解决问题了”.
师：“快说来听听. ”
生：“把每个随机变量Xi都看成二项分布，则EXi=Pi， 在二项分布中，EXi=P，Eξ=nP；当不是独立重复事件时Eξ=P1+P2+…+Pn. 二项分布只是其特殊情况，是这样吧？”
师：“太棒了！明天上课给同学们讲讲吧，让大家一起分享分享. ”
两位同学在课堂上把问题的来龙去脉讲得有趣又精彩. 这份精彩一方面来自数学本身的深刻内涵，另一方面，它更来自于大家的积极参与、合作交流、主动探究. 因为两位同学平时数学成绩平平，更对全班同学都有激励作用. 第二天又有一位参加竞赛的同学拿来了数学归纳法的证明. 两天来对一道题目的争论研究，同学们经历了从特殊到一般，又从一般到特殊的数学研究过程. 在这个过程中学生的收获远远超出一道题的解决.
3. 教学反思——探究建构激发学习激情
建构主义认为： “知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的. ”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，在课堂教学中，教师不仅要展示对题目的奇思妙解，更要让学生有机会展示自己的解题过程. 引导学生探究题目的真正内涵，寻找知识之间的区别和联系. 教师要对学生产生的思想火花——即与众不同的见解和想法及时发现、鼓励，创造良好的学术氛围，把学生引入热烈的讨论、争辩，同时把问题引入实质，启发学生创造、发现新的方法和规律，使学生在探究的过程中体会到激动和振奋.
三、探究活动沟通教与学
教学活动是一种师、生、文本之间的对话过程，这个过程是一个思想观念不断碰撞、精神情感不断交流的过程，教师必须注重这种“对话活动”的形成和发展. 数学学习绝不是常规的简单模仿和机械操作，数学解题教学并不指向解题本身，“学会数学的思考、分析问题，抓住事物的本质，于细微处见真理”才是数学学习的根本目的. 具体而言，应该包括：
1． 善于分析、总结、拓宽、应用，这便是所谓的数学能力，其实也是每个人都应具备的基本素质.
2． 善于发现事物的发展规律，抓住本质，这便是数学能力发挥所至，即学习数学的结果.
3． 善于从细微处见真理，这才是学习数学的最高境界.
在数学教学中引导学生探究讨论，体验知识的发生过程，其实质是让学生了解“教”的过程，在这个过程中再反思“学”的过程，从而实现学教统一，使学生和老师在情感和信息交流中达到高度的协调，从而达到教学相长的目的.
在新课改背景下，我们应该努力倡导一种“有意义”的教学方式，让数学探究成为贯穿于数学课程与数学课堂始终的重要内容，强调学习过程中的主动性与问题性. 教师应该重视学生自主探究的意识和习惯的培养，采用多方位的方法和策略，努力构建有价值的数学探究，使之成为所有学生一种良好的学习品质.
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