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谈直线恒过定点的破解之道

  王红敢

 

       在近几年各类的模拟考试中，直线恒过定点的问题频频出现，本文通过对一道题目的多种解法，阐释直线恒过定点问题的破解之道。

       求证：直线恒过某一定点P，并求该定点的坐标。

破解之道之一：特殊引路法

分析：因直线随m取不同的值而变化，但是由题意分析可知应该是围绕某一定点在旋转，而这一定点我们只需两条相交直线即可求得，但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上，这样就使得解法更为完备。

证明：直线，取，

此时直线方程为。①

取，此时方程为②

联立①②解得点P（3，1）。

将点P（3，1）代入直线方程。

故直线恒过定点P（3，1）。

破解之道之二：换元法

分析：众所周知，直线方程中的点斜式可以表明直线过点P（，），因此我们可以将直线的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式，从而证明该直线恒过定点，并且可直接求得该定点。

证明：，当时，

。

令。

由此可得。

即原直线方程可化为。

由直线的点斜式方程可知该直线过点P（3，1）。

当即时，原直线可化为，此时点（3，1）仍然在直线上。

综上，直线恒过定点P（3，1）。

破解之道之三：参数分离法

分析：对于直线方程来说，如果我们将其中的m看作参数，并将其分离得0，此时我们令，，则这两条直线的交点P（，）一定满足直线方程0，即P（，）在直线上，这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了。

证明：。

令，=0，解方程组得

令点P为（3，1），因点P（3，1）满足。

所以也满足。

进一步得点P（3，1）满足。

故直线恒过定点P（3，1）。