中考数学复习基础测试题——圆

圆

（一）选择题（每题2分，共20分）

1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有…………（    ）

（A）4个   （B）3个    （C）2个    （D）1个

【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对．

【答案】B．

【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件．

2．下列判断中正确的是……………………………………………………………（    ）

（A）平分弦的直线垂直于弦[来源:学科网][来源:学科网]

（B）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

（C）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧

（D）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧．

【答案】C．

3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则………………（    ）

（A）＝

（B）＞

（C）的度数＝的度数

（D）的长度＝的长度

【提示】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，

而∠AOB＝∠A′OB′，所以的度数＝的度数．

【答案】C．

4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于……………………………………………………………………（    ）

（A）60°    （B）100°   （C）80°   （D）130°[来源:学&科&网]

【提示】连结BC，则∠AEC＝∠B＋∠C＝×60°＋×100°＝80°．

【答案】C．

5．圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数比是2︰3︰6，则∠D的度数是（    ）

（A）67.5°    （B）135°    （C）112.5°    （D）110°

【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180°，则∠A＋∠C＝∠B＋∠D＝180°．又因为∠A︰∠B︰∠C＝2︰3︰6，所以∠B︰∠D＝3︰5，所以∠D的度数为×180°＝112.5°．

【答案】C．

6．OA平分∠BOC，P是OA上任一点，C不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是………………………………………………（    ）

（A）相离   （B）相切    （C）相交     （D）不确定[来源:学科网]

【提示】因为以点P为圆心的圆与OC相离，则P到OC的距离大于圆的半径．又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P到OB的距离也大于圆的半径，故圆P与OB也相离．

【答案】A．

7．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（    ）

（A）（a＋b＋c）r    （B）2（a＋b＋c）（C）（a＋b＋c）r    （D）（a＋b＋c）r

【提示】连结内心与三个顶点，则△ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC的面积为a·r＋b·r＋c·r＝（a＋b＋c）r．

【答案】A．

8．如图，已知四边形ABCD为圆内接四边形，AD为圆的直径，直线MN切圆于点B，DC的延长线交MN于G，且cos ∠ABM＝，则tan ∠BCG的值为……（    ）

（A）    （B）    （C）1    （D）

【提示】连结BD，则∠ABM＝∠ADB．因为AD为直径，所以∠A＋∠ADB＝90°，所以cos ∠ABM＝＝cos ∠ADB＝sin A，所以∠A＝60°．又因四边形ABCD内接于⊙O，所以∠BCG＝∠A＝60°．则tan ∠BCG＝． [来源:学*科*网]

【答案】D．                  

9．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA＝3，PB＝4，CD＝9，则以PC、PD

的长为根的一元二次方程为…………………………………………………………（    ）

（A）x2＋9 x＋12＝0    （B）x2－9 x＋12＝0（C）x2＋7 x＋9＝0     （D）x2－7 x＋9＝0

【提示】设PC的长为a，则PD的长为（9－a），由相交弦定理得3×4＝a ·（9－a）．所以a2－9 a＋12＝0，故PC、PD的长是方程x2－9 x＋12＝0的两根．

【答案】B．

10．已知半径分别为r和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是………（    ）

（A）0＜d＜3 r    　（B）r＜d＜3 r    （C）r≤d＜3 r    （D）r≤d≤3 r

【提示】当两圆相交时，圆心距d与两圆半径的关系为2 r－r＜d＜2 r＋r，即r＜d＜3 r．

【答案】B．

（三）填空题（每题2分，共20分）

11．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____．

【提示】如图，AB为弦，CD为拱高，则CD⊥AB，AD＝BD，且O在CD的延长线上．连结OD、OA，则OD＝＝＝5（米）．所以

CD＝13－5＝8（米）． 

【答案】8米．                          

12．如图，已知AB为⊙O的直径，∠E＝20°，∠DBC＝50°，则∠CBE＝______．

【提示】连结AC．设∠DCA＝x°，则∠DBA＝x°，所以

∠CAB＝x°＋20°．因为AB为直径，所以∠BCA＝90°，则∠CBA＋∠CAB＝90°．

又  ∠DBC＝50°，∴  50＋x＋（x＋20）＝90．

∴  x＝10．∴  ∠CBE＝60°．

【答案】60°．

13．圆内接梯形是_____梯形，圆内接平行四边形是_______．

【提示】因平行弦所夹的弧相等，等弧所对的弦相等，所以圆内接梯形是等腰梯形．同理可证圆内接平行四边形是矩形．

【答案】等腰，矩形．

[来源:学*科*网]

14．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC＝60°，则∠D＝_____．

【提示】连结OA．∵  AB、AC是⊙O的切线，∴  AO平分∠BAC，且OB⊥AB．又  OB＝BD，∴  OA＝DA．∴  ∠OAB＝∠DAB．

∴  3∠DAB＝60°．∴  ∠DAB＝20°．∴  ∠D＝70°．

15．如图，BA与⊙O相切于B，OA与⊙O相交于E，若AB＝，EA＝1，则⊙O的半径为______．

【提示】延长AO，交⊙O于点F．设⊙O的半径为r．                            

由切割线定理，得AB2＝AE·AF．∴ （）2＝1·（1＋2 r）．

∴  r＝2．【答案】2．

16．已知两圆的圆心距为3，半径分别为2和1，则这两圆有______条公切线．

【提示】因为圆心距等于两圆半径之和，所以这两圆外切，故有两条外公切线，一条内公切线．

【答案】3．

17．正八边形有_____条对称轴，它不仅是______对称图形，还是_____对称图形．

【提示】正n边形有n条对称轴．正2n边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．

【答案】8，轴，中心．

18．边长为2 a的正六边形的面积为______．

【提示】把正六边形的中心与六个顶点连结起来，所得六个等边三角形全等．每个等边三角形的面积为·（2 a）2＝a2，所以正六边形的面积为6a2．

19．扇形的半径为6 cm，面积为9 cm2，那么扇形的弧长为______，扇形的圆心角度数为_____．

【提示】已知扇形面积为9 cm2，半径为6 cm，则弧长l＝＝3；设圆心角的度数为n，则＝3 cm，所以n＝．

【答案】3；．

20．用一张面积为900 cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径

为_____．

【提示】面积为900 cm2的正方形的边长为30 cm，则底面圆的周长30 cm．设直径为d，则pd＝30，故d＝（cm）．

【答案】 cm．

（三）判断题（每题2分，共10分）

21．相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段……………………………（    ）【答案】×．

【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段．[来源:学#科#网]

22．各角都相等的圆内接多边形是正多边形…………………………………………（    ）【答案】×．

【点评】矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形．

23．正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形…………………………………（    ）【答案】×．

【点评】正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．

24．三角形一定有内切圆………………………………………………………………（    ）【答案】√．[来源:学&科&网]

【点评】作三角形的两条角平分线，设交点为I，过I作一边的垂线段，则以点I为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆．

25．平分弦的直径垂直于弦……………………………………………………………（    ）【答案】×．

【点评】当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直．

（四）解答题：（共50分）

26．（8分）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE＝1 cm，EB＝5 cm，∠DEB＝60°，求CD的长．

【分析】因为AE＝1 cm，EB＝5 cm，所以OE＝（1＋5）－1＝2（cm）．在Rt△OEF中可求EF的长，则EC、ED都可用DF表示，再用相交弦定理建立关于DF的方程，解方程求DF的长．[来源:学_科_网Z_X_X_K]

【略解】∵  AE＝1 cm，BE＝5 cm，∴  ⊙O的半径为3 cm．∴  OE＝3－1＝2（cm）．在Rt△OEF中，∠OEF＝60°，∴  EF＝cos 60°·OE＝·2＝1（cm）．∵  OF⊥CD，∴  FC＝FD．∴  EC＝FC－FE＝FD－FE，ED＝EF＋FD．即  EC＝FD－1，ED＝FD＋1．由相交弦定理，得  AE·EB＝EC·ED．∴  1×5＝（FD－1）（FD＋1）．解此方程，得  FD＝（负值舍去）．∴  CD＝2FD＝2（cm）．

27．（8分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，

CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan ∠ACD和sin ∠P的值．

【提示】连结CB，易证△PCA∽△PBC，所以＝．由切割线定理可求PB的长，所以

tan∠ACD＝tan ∠CBA＝＝．连结OC，则在Rt△OCP中可求

sin∠P的值．

【略解】连结OC、BC．∵  PC为⊙O的公切线，∴  PC2＝PA·PB．

∴  82＝4·PB．∴  PB＝16．∴  AB＝16－4＝12．易证△PCA∽△PBC．∴  ＝．∵  AB为⊙O的直径，∴  ∠ACB＝90°．又  CD⊥AB，∴ ∠ACD＝∠B．

∴ tan ∠ACD＝tan B＝＝＝＝．

∵  PC为⊙O的切线，∴  ∠PCO＝90°．∴  sin P＝＝＝．

28．（8分）如图，已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证＝． 

【提示】连结AC，证△ABC∽△FDC．显然∠FDC＝∠ABC．因为AD⊥直径EB，由垂径定理得＝，故∠DAB＝∠ACB．又因为∠FCD＝∠DAB，所以∠FCD＝∠ACB，故△ABC∽△FDC，则可得出待证的比例式．

【略证】连结AC．∵  AD⊥EB，且EB为直径，∴  ＝．

∴  ∠ACB＝∠DAB．∵  ABCD为圆内接四边形，∴  ∠FCD＝∠DAB，∠FDC＝∠ABC．

∴  ∠ACB＝∠FCD．∴  △ABC∽△FDC．∴  ＝．

29．（12分）已知：如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O1于点D，交⊙O2于点E；DA与⊙O2相切，切点为C．

（1）求证PC平分∠APD；（2）若PE＝3，PA＝6，求PC的长．

【提示】（1）过点P作两圆的公切线PT，利用弦切角进行角的转换；在（2）题中，可通过证△PCA∽△PEC，得到比例式＝，则可求PC．[来源:学科网ZXXK]

（1）【略证】过点P作两圆的公切线PT，连结CE．∵  ∠TPC＝∠4，∠3＝∠D．[来源:学科网]

∴  ∠4＝∠D＋∠5，∴  ∠2＋∠3＝∠D＋∠5．∴  ∠2＝∠5．

∵  DA与⊙O相切于点C，∴  ∠5＝∠1．∴  ∠1＝∠2．即PC平分∠APD．

（2）【解】∵  DA与⊙O2相切于点C，∴  ∠PCA＝∠4．

由（1），可知∠2＝∠1．∴  △PCA∽△PEC．

∴  ＝．即  PC2＝PA·PE．∵  PE＝3，PA＝6，∴  PC2＝18．∴  PC＝3．

29．如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连

结AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．（1）求证OE＝AC；

（2）求证：＝；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

【提示】（1）因为AO＝BO，可证OE为△ABC的中位线，可通过证OE∥AC得到OE为中位线；（2）连结CD，则CD＝BD，可转化为证明＝．先证△PCD∽△PAC，得比例式＝，两边平方得＝，再结合切割线定理可证得＝＝；（3）利用（2）可求DP、AP，再利用勾股定理、切割线定理可求出PC的长．

（1）【略证】∵  AB为直径，∴ ∠ACB＝90°，

即  AC⊥BC．∵  D为的中点，由垂径定理，得

  OD⊥BC．∴  OD∥AC．又∵  点O为AB的中点，∴  点E为BC的中点．[来源:Zxxk.Com]

∴  OE＝AC．

（2）【略证】连结CD．∵  ∠PCD＝∠CAP，∠P是公共角，∴  △PCD∽△PAC．∴  ＝．

∴  ＝．又  PC是⊙O的切线，∴  PC2＝PD·DA．∴  ＝，

∴  ＝．∵  BD＝CD，∴  ＝．

（3）【略解】在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴  BC＝＝8．∴  BE＝4．

∵  OE＝＝3，∴  ED＝2．则在Rt△BED中，BD＝＝2，

在Rt△ADB中，AD＝＝4．∵  ＝，∴  ＝．

解得  PD＝5，AP＝9．又  PC2＝DP·AP，∴  PC＝＝15．