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新课程改革实施以来,各地中考数学试题中有关统计知识的试题，问题情景琳琅满目，内容丰富多变，题型不断翻新，无论是教师教还是学习统计知识，均感“形散”难以把握统计知识的“灵魂”。 新课程标准要求学生掌握初步的统计知识。统计知识教学的“灵魂”是什么呢？统计知识教学的“灵魂”是用样本估计总体。 一、用样本估计总体的基本思想、合理性与关键 1、用样本估计总体的基本思想 用样本估计总体是指根据样本情况对总体情况做出一种推断，包括用“形”与用“数”两个方面来估计。用“形”估计就是用样本数据，列出频数(频率)分布表，画出频数分布直方图、频率分布直方图和频数（率）折线图，这“一表三图”是同一组数据分布的不同表现形式；用“数”估计就是用样本数据的特征数字来估计总体的特征数字，最常用的特征数字是平均数、中位数、众数、方差（标准差）。平均数表示一组数据的平均水平，中位数表示一组数据的中等水平，众数表示一组数据的多数水平。借助平均数、中位数、众数、方差（标准差）来估计一组数据的平均水平、中等水平、多数水平和估计一组数据离散性、波动性、稳定性。这就是用样本估计总体基本思想，它是研究数理统计问题的一个核心思想。 2、用样本估计总体的合理性 样本的信息与总体的信息总还存在着一定的差异，样本所提供的信息只是总体的部分信息，在一定程度上反映了总体的有关特征，但不完全确定。也就是说，即使按照同一个规则进行抽样，抽取的样本容量相同，也不能保证每次抽样所获取的信息都是完全一样的。虽然不同的人根据不同的样本数据，最后得到的结果互不相同，但是由于随机事件频率具有规律性、稳定性，故许多问题的最终结果差别一般也不会太大，因此可以用样本的特性来估计总体的特性，即用样本估计总体具有合理性，通过对表面随机的样本数据进行统计分析，实现对随机性事件的规律性的研究，从而揭示出事物内在的规律。 3、用样本估计总体的关键 根据具体问题，合理选取样本是统计决策的一个基本前提。只有合理地选取样本，才能对决策提供可靠的依据。怎样的方法才是既科学、合理又可靠的呢？随机抽样调查的方法是既科学、合理而又可靠的。抽样是手段，是前提，对总体进行估计是目的，是结果。抽样时所抽取的样本容量越大，样本的特性就越接近于总体的特性，用样本估计总体就越接近真实，越有意义。用随机抽样方法，确定合适的样本容量进行抽样调查，用样本的特征数字估计总体的特征数字，用样本的分布规律来估计总体的分布规律，是用样本估计总体的关键。 二、用样本估计总体的适用范围及方法举例 （一）、估计平均水平、中等水平、多数水平 平均数、中位数、众数是反映数据集中程度的统计量。在利用平均数、中位数、众数参与决策时，如果依据不同,结果可能也不同，而且三个统计量不总是合适的，它们都有各自的适用范围，在解决实际问题时应合理选用平均数、中位数和众数解决问题，用样本平均数、样本中位数和样本众数，来估计总体平均数、总体中位数和总体众数，参与决策。 1、用样本平均数估计总体平均数 例1：重庆市是一座美丽的城市，为增强市民的环保意识，某校家住缙云花园小区的30名九年级学生调查了某一天各自家庭丢弃废塑料袋的情况，统计结果如下：
根据以上数据，若缙云花园小区有500户居民，则该小区所有家庭每天丢弃的废塑料袋总数约为____万个. 解：小区30户居民平均每户每天丢弃的废塑料袋的只数，即样本平均数 ，估计小区500户居民平均每户每天丢弃的废塑料袋的只数的平均数 ，则小区所有家庭每天丢弃的废塑料袋总数约为： 只，即0．１５万个。 2、用样本中位数估计总体中位数 例2：在一次马拉松长跑比赛中,抽得12名选手得成绩如下(单位:分) 136，140，129，180，124，154，146，145，158，175，165，148 假如你的成绩是142分，你的成绩如何？ 解:对样本数排序：124，129，136，140，145，146，148，154，158，165，175，180 则中位数为147，估计总体中位数也是147分，故若我的成绩是142分，则处于马拉松长跑比赛中所有参赛者的成绩的中等偏下水平。 3、用样本众数估计总体众数 例3：一家鞋店在一段时间内销售了某种运动鞋30双，各种尺码的鞋的销售量如下：
假如你是老板，你最关心哪一个统计量?你会如何进货? 解：样本众数是23．5，在众数两侧与众数最近的两数是23、24，假如我是老板，我最关心众数23．5，若把一次进货数量x视作一个总体，则在进货时，可用样本众数当作总体众数，尺码23．5厘米鞋进货数量约为 双，尺码23厘米鞋进货量约为 双，尺码24厘米鞋进货量约为 双，其余类推计算确定。 （二）、估计频数分布或频率分布 用随机抽样方法，选取样本容量合适的数据，制作频数分布表（频率分布表）、频数分布直方图（频率分布直方图）或频数（率）分布折线图等“一表三图”，来描述样本的频数分布或频率分布情况，从而估计总体的频数分布（频率分布）情况。 4、用样本频数分布估计总体频数分布 例4：2009年中考结束后，某市从参加中考的12000名学生中抽取200名学生的数学成绩（考生得分均为整数，满分120分）进行统计，评估数学考试情况，经过整理得到如下频数分布直方图， 请回答下列问题： （1）此次抽样调查的样本容量是_____ (2)补全频数分布直方图 (3)若成绩在72分以上（含72分）为及格， 请你评估该市考生数学成绩的及格率与数学考试及格人数。 解：（1）此次抽样调查的样本容量是200。 （2）由样本容量和样本频数分布直方图可知，样本中 分数在84～95分之间的直方图高度是40，即有40人。 （3）由样本频数分布直方图知，样本中及格人数是 样本及格率是 =0.71，即71﹪，估计总体及格率也是71﹪，故该市考生数学成绩的及格率为71﹪，数学考试及格人数为12000×71﹪=8520（人）。 频数分布直方图的特点：①能够显示各组频数的分布情况。②易于显示各组间的频数的差别。③各小长方形的高与该组的频数成正比。④各组频数之和等于样本容量。 5、用样本频率分布估计总体频率分布 例5：某钢铁加工厂生产内径为25．40mm的钢管，为了掌握产品的生产状况，需要定期对产品进行检测。又由于产品的数量巨大，不可能一一检测所有的钢管，因而通常采用随机抽样的办法。如果把这些钢管的内径看成总体，我们可以从中随机抽取的100件钢管进行检测，把这100件钢管的质量分布情况作为总体的质量分布情况来看待。根据规定，钢管内径的尺寸在区间25.325～25.475内为优等品，我们特别希望知道所有生产的钢管中优等品所占的比例，这时就可以用样本的分布情况估计总体的分布情况。 下面的数据是一次抽样中的100件钢管的内径尺寸：
解：上面的100个数据有点散乱，从中很难看出产品质量的分布情况，必须对样本数据加以整理。列出这组样本数据的频率分布表、绘制频率分布直方图。
结论：从样本频率分布表或频率分布直方图容易看出，优等品所占的比例等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84，于是可以估计出所有生产的钢管中有84%的优等品。 频率分布直方图的特点：①小长方形的面积＝组距×频率／组距＝频率。②各小长方形的面积等于相应各组的频率, 即各个长方形面积的大小反映该组数据出现的频率的大小。③各组的频率之和等于1，故各小长方形的面积之和等于1。 （三）、估计离散程度、波动性或稳定性 方差或标准差是反映一组数据的离散程度的统计量。用随机抽样方法，取得样本数据，通过计算样本方差或标准差，来估计总体方差或标准差，进而估计总体的离散程度、波动性或稳定性。 6、用样本方差（标准差）估计总体方差（标准差） 例6：甲、乙、丙三台机床生产直径为60mm的螺丝，为了检验产品质量，从三台机床生产的螺丝中各抽查了20个测量其直径，进行数据处理后，发现这三组数据的平均数都是60mm，它们的方差依次为 =0.162， =0.058， =0.149.根据以上提供的信息，你认为生产螺丝质量最好的是____机床. 解：方差表示一组数据的稳定性程度，方差越小，一组数据的稳定性越好。从甲、乙、丙三台机床生产的零件中，每台机床分别抽查的20个零件的直径分别是三个样本，甲、乙、丙三台机床每台机床生产的全部零件的直径分别是三个总体。本题有三个样本方差 、 、 ，三个总体方差。∵ =0.162， =0.058， =0.149，∴ ＜ ＜ ，表明机床乙生产的零件的样本方差最小，零件质量稳定性最好。由此推断机床乙生产的全部零件质量（总体）稳定性最好。 （四）、估计概率 用随机抽样方法，统计样本频率估计总体频率，进而用总体频率来估计总体的概率。 7、用样本频率估计总体频率（概率） 例7：某养鱼场为了要估计鱼塘中鱼的总数量，第一次从中网出100条，把这100条带有标志后全部放回．过1～2天，估计这群带标志的鱼已完全混杂到塘中，再从中网出200条，假定在第二次网出的200条中，带有第一次做标志的20条，估计鱼塘中有鱼多少条？ 解:设鱼塘中鱼的总数量是x条，带标志的鱼的数量是100条，总体频率是 ，样本是200条，样本中带标志的鱼的数量是20条，样本频率是 ，用样本估计总体，得方程式： 解方程得，x=1000(条) 答：估计鱼塘中有鱼1000条。 例8：某水果公司以 元/千克的成本新进了10000千克的柑橘，如果公司希望这种柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（已经去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 销售人员首先从所有的柑橘总随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏表”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成下表。
解：填表：
填完表格，计算出10个样本频率的平均数 ，估计柑橘损坏的频率为 ，则柑橘完好的频率为 ，因此柑橘完好的概率为 ，因此：在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为 千克。完好柑橘的实际成本为： （元/千克） 因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元。 结论：一次抽样得到一个样本频率，可用这个样本频率估计总体频率；多次抽样得到多个样本频率，可用这多个样本频率的平均值估计总体频率，后者比前者更接近实际。 曹玉平 （江苏省海门市三星初级中学 226114） 中国教育学会中学数学教学专业委员会2等奖 |
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