旧版《14.5频率分布》典型例题

典型例题

　　例1 下列命题：

　　(1)3，3，4，4，5，5，5的众数是5；

　　(2)3，3，4，4，5，5，5的中位数是4.5；

　　(3)频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率；

　　(4)频率分布表中各小组的频数之和等于1

　　以上各题中正确命题的个数是 [ ]．

　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

　　分析：回忆统计初步中众数、中位数、频数、频率等概念，认真分析每个命题的真假．

　　解：(1)数据3，3，4，4，5，5，5中5出现次数最多3次，5是众数，是真命题．

　　(2)数据3，3，4，4，5，5，5有七个数据，中间数据是4不是4.5，是假命题．

　　(3)由频率分布直方图中的结构知，是真命题．

　　(4)频率分布表中各小组的频数之和是这组数据的个数而不是1，是假命题．

　　所以正确命题的个数是2个，应选B．

　　例2 选择题：

　　(1)甲、乙两个样本，甲的样本方差是0.4，乙的样本方差是0.2，那么 [ ]

　　A．甲的波动比乙的波动大；

　　B．乙的波动比甲的波动大；

　　C．甲、乙的波动大小一样；

　　D．甲、乙的波动大小关系不能确定．

　　(2)在频率直方图中，每个小长方形的面积等于 [ ]

　　A．组距 B．组数

　　C．每小组的频数 D．每小组的频率

　　分析：用样本方差来衡量一个样本波动大小，样本方差越大说明样本的波动越大．

　　解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波动比乙的波动大，选A．

　　

　　例3 为了了解中年人在科技队伍中的比例，对某科研单位全体科技人员的年龄进行登记，结果如下(单位：岁)

　　44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，

　　44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，

　　30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，

　　49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，

　　45，28．

　　列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

　　解：按五个步骤进行：

　　(1)求数据最大值和最小值：

　　已知数据的最大值是67，最小值是28

　　∴最大值与最小值之差为67-28=39

　　(2)求组距与组数：

　　组距为5(岁)，分为8组．

　　(3)决定分点

　　(4)列频分布表

　　(5)绘频率分布直方图：

　　例4 某校抽检64名学生的体重如下(单位：千克)．

　　列出样本的频率分布表，绘出频率分布直方图．

　　分析：对这组数据进行适当整理，一步步按规定步骤进行．

　　解：(1)计算最大值与最小值的差：48-29=19(千克)

　　(2)决定组距与组数

　　样本容量是64，最大值与最小值的差是19千克，如果取组距为2千克，19÷2=9.5，分10组比较合适．

　　(3)决定分点，使分点比数据多取一位小数，第一组起点数定为28.5，其它分点见下表．

　　(4)列频率分布表．

　　(5)画频率分布直方图(见图3-1)

　　说明：

　

长方形的高与频数成正比，如果设频数为1的小长方形的高为h，频数为4时，相应的小长方形的高就应该是4h．

　　例5 有一个容量为60的样本，(60名学生的数学考试成绩)，分组情况如下表：

　　(1)填出表中所剩的空格；

　　(2)画出频率分布直方图．

　　分析：

　　

　　各组频数之和为60

　　各组频率之和为1

　　解：

　　

　　因为各小组频率之和=1

　　所以第4小组频率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35

　　

　　所以第4小组频数=0.35×60=21

　　第5小组频数=0.3×60=18

　　(2)

　　例6 某班学生一次数学考试成绩的频率分布直方图，其中纵轴表示学生数，观察图形，回答：

　　(1)全班有多少学生？

　　(2)此次考试平均成绩大概是多少？

　　(3)不及格的人数有多少？占全班多大比例？

　　(4)如果80分以上的成绩算优良，那么这个班的优良率是多少？

　　分析：根据直方图的表示意义认真分析求解．

　　解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．

　　共计 1+2+3+8+10+14+6=44(人)

　　(2)取中间值计算

　　

　　(3)前三个小组中有1+2+3=6人不及格占全班比例为13.6%．

　　(4)优良的人数为14+6=20，20÷44=45.5%．

　　即优良率为45.5%．

　　说明：频率分布表比较确切，但直方图比较直观，这里给出了直方图，从图也可以估计出一些数量的近似值，要学会认识图形．

　　例7 回答下列问题：

　　

　　

　　总是成立吗？

　　(2)一组数据据的方差一定是正数吗？

　　

　　总是成立吗？

　　(4)为什么全部频率的累积等于1？

　　解：(1)证明恒等式的办法之一，是变形，从较繁的一边变到较简单的一边．这

　　可见，总是成立．

　　顺水推舟，我们用类似的方法证明(3)；注意

　　

　　那么有

　　

　　(2)对任一组数x₁，x₂，…，x_n，方差
　　

　　这是因为自然数n＞0，而若干个实数的平方和为非负，那么S²是有可对等于0的

从而x₁=x₂=…=x_n，就是说，除了由完全相同的数构成的数组以外，任何数组的方差定为正数．

　　(4)设一个数组或样本的容量为n，共分为m个组，其频数分别为a₁，a₂，…，a_m，按规定，有

　　a₁+a₂+…+a_m=n，

　　而各组的频率分别a₁／n，a₂／n，…，a_m／n，因此，有

　　

　　说明：在同一个问题里，我们处理了同一组数据x₁，…，x_n有关的两个数组f₁，f₂，…，f_k和a₁，a₂，…，a_m，前者是说：在这组数中，不同的只有k个，而每个出现的次数分别为f₁，…，f_k；后者则说明这组数所占的整个范围被分成了m个等长的区间，出现在各个区间中的xi的个数分别为a₁，…，a_m，可见，a₁，…，a_n是f₁，…f_k的推广，而前面说过的众数，不过是其fi最大的那个数．

　　弄清研究数组x₁，…，x_n的有关数和概念间的联系与区别，是很重要的．

　　例8 回答下列问题：

　　(1)什么是总体？个体？样本？有哪些抽样方法？

　　(2)反映样本(或数据)数量水平的标志值有哪几个？意义是什么？怎样求？

　　(3)反映样本(或数据)波动(偏差)大小的标志值有哪几个？怎样求？有什么区别？

　　(4)反映样本(或数据)分布规律的数量指标和几何对象是什么？获得的一般步骤是什么？

　　解：这是一组概念题，我们简略回答：

　　(1)在统计学里，把要考查对象的全体叫做总体；其中每个考查对象叫个体；从总体中抽出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本中个体的数目，叫做样本的容量．

　　应指出的是，这里的个体，是指反映某事物性质的数量指标，也就是数据，而不是事物本身，因此，总体的样本，也都是数的集合．

　　抽样方法通常有三种：随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，基本原则是：力求排除主观因素的影响，使样本具有较强的代表性．

　　(2)反映样本(或数据)数量水平或集中趋势的标志值有三个，即平均数、众数和中位数．

　　

　　

　　有时写成代换形式；

　　

　　有时写成加权平均的形式：

　　

　　其中，又有总体平均数(总体中所有个体的平均数)和样本平均数(样本中所有个体的平均数)两种，通常，我们是用样本平均数去估计总体平均数．且一般说来，样本容量越大，对总体的估计也就越精确．

　　(ii)众数，就是在一组数据中，出现次数最多的数．通常采用爬山法或计票画“正”法去寻找．(爬山法是：看第一个数出现次数，再看第二、三、……有出现次数比它多的，有，则“爬到”这个数，再往后看……)．

　　(iii)中位数是当把数据按大小顺序排列时，居于中间位置的一个数或两个数的平均，它与数据的排列顺序有关．

　　此外，还有去尾平均(去掉一个最高和一个最低的，然后平均)、总和等，也能反映总体水平．

　　(3)反映样本(数据)偏差或波动大小的标志值有两个：

　　

　　

　　(ii)标准差：一组数据方差的平方根：

　　

　　标准差有两个优点，一是其度量单位与原数据一致；二是缓解S₂过大或过小的现象．方差也可用代换式简化计算：

　　

　　(4)反映数据分布规律的是频率分布和它的直方图，一般步骤是：

　　(i)计算极差=最大数-最小数；

　　

　　(iii)决定分点(可用比数据多一位小数的办法)；

　　

　　(v)画频率分布直方图．

　　其中，分布表比较确切，直方图比较直观．

　　说明：此例很“大”，但是必要的，因为，当前大多数的中考题，很重视基本内容的表述，通过“填空”和“选择”加以考查，我们要予以扎实．而更为重要的，这些概念和方法，正是通过偶然认识必然，通过无序把握有序，通过部分估计整体的统计思想在数学中的实现．