样本的频率分布及数字特征

高中数学MOOK

第39期

王应祥

样本的频率分布及数字特征问题是高中数学的重点内容，也是热点内容，用样本估计总体是最基本的统计方法，同学们要通过学习弄清样本平均数、方差、标准差、频率分布表、频率分布直方图、折线图等基本概念是怎样来反映统计数据的，通过解决具体问题的实践，领会如何运用这些方法去解决实际问题，通过系统的数据处理过程，体会统计思维与确定性思维的差异．

一

知识结构

二

知识整合

1

茎叶图的画法

第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；

第二步：将最小茎与最大茎之间的数按从小到大依次排成一列，写在左(右)侧；

第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．

2

频率分布直方图作图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

(2)决定组距与组数；

(3)将数据分组；

(4)列频率分布表；

(5)画频率分布直方图．

3

频率分布折线图和总体密度曲线

（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线． 

4

样本的数字特征及意义

三

规律总结

(1)频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系：

①众数是最高的小长方形底边中点的横坐标；

②中位数左边和右边的小长方形的面积和相等；

③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

四

典例讲解

【关键点拨】解决本题的关键是明确频率与频数的概念，以及它们之间的关系．

【关键点拨】中位数和众数都是重要的样本数字特征，当一组数据有奇数个时，中位数是指处在最中间的那个数；当数据有偶数个时，中位数则是处在最中间的两个数的平均数，而众数是一组数据中出现次数最多的数，且众数不一定唯一．

例3．从某校某次数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为1∶1∶3∶6∶4∶2，最右边的一组的频数是8．请结合频率分布直方图的信息，回答下列问题：

(1)样本容量是多少?

(2)成绩落在哪个范围的人数最多?并求出该小组的频数和频率．

(3)估计这次数学竞赛成绩的众数、中位数和平均数．

通过对样本分析和总体估计的过程，同学们应当感受数学对实际生活的重要，通过实例体会频率分布直方图的特征，从而准确地对总体作出估计，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系．

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