数学课程标准（修订稿）》的几处重要改动

数学课程标准（修订稿）》的几处重要改动
数学课程标准（修订稿）》的几处重要改动 第一,关于数学是什么。这个定义在现行《课程标准（实验稿）》不同，回到原来的“数学是研究数量关系和空间形式的科学”。数学恢复了它本质的数学定义，数学还是原来的数学。 　　第二，在基本理念中原来是“人人学习有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”，现在是“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上获得不同的发展”，提倡每一个人都能获得良好的数学教育。 　　第三，关于教学活动。提出“是师生共同参与、交往互动的过程。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者”。这个进一步明确了数学教学活动是教与学的统一。解释中提出要培养学生良好的学习习惯。 　　第四点，关于学习方式。原来提倡自主探究与合作交流的学习方式。《课程标准（修改稿）》中这样提出“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学的重要方式……”。在解释中提出注重启发式和探究式教学，接受式也是一种学习方式。 　　从上面的修改来看，经过多年的实践，告诉我们什么是要坚持的。基本理念不会有较大的变化。《课程标准（修改稿）》在基本理念上更辩证，能更好地指导我们老师的教学。 第二学段数学教材编排介绍及教学中应注意的问题 人民教育出版社小学数学室  卢江   （2007．1） ◎ 前言：小学数学课程改革的现状 1．课改实验进入第六年，面临总结与评价。 基础教育课程改革实验已经进入第六年，据说今年（春季）将召开全国教育大会，之后召开课改总结会。 2．正在对《课标（实验本）》进行修订。 各科《义务教育课程标准（实验本）》正在修订之中。《数学课程标准》修订得比较早，从2005年5月成立修订组开始修订工作以来，已经1年7个月了。经过反复征求来自不同方面的意见，几经修改，已有了“修改稿”。据说要到召开“课改总结会”时颁布。 3．各版本的实验教材都在准备修订或正在修订之中。 人教版教材修订研究工作已经启动。通过不同渠道收集意见与建议，召开过多个不同层次的研讨会，国内外教材的比较研究，等等。今年上半年将进入具体修改阶段，一旦《数学课程标准（修改稿）》颁布，将进一步调整准备送审修订后的各册教材。 4．对课改的理论与实践进行了讨论或争论，获得了一些共识。 2005年以来社会各界对基础教育课程改革的理论基础和实践模式提出了不同的意见，进行了广泛的社会讨论甚至争论。例如， （1）据报道，2005年3月，曾有90名全国政协委员联名呼吁“尽快修订新的数学课程标准”。 （2）2005年4月30日出版的《数学通报》，以较大篇幅刊登了《2005年中国数学会教育工作委员会扩大会议实录》，主题便是“义务教育阶段数学课程标准的回顾与讨论”，其中不乏数学界（姜伯驹等数学家）对初中数学新课改的批评意见。 （3）《小学数学教育》2005年第5期发表郑毓信教授的文章“数学课程改革：何去何从？”他建议：课程改革应“放慢节奏，认真总结，发现问题，正视问题，解决问题，不断前进。”     （4）《课程教材 教法》2005年第5期发表了曹培英的文章《关于课程标准的几点思考》，基于实际存在的问题分析，提出了对《数学课程标准的》的修改意见。 （5）2006年8月，中国教育报发表北京师范大学王本陆教授的文章《当前课程与教学改革理论之争》，讨论了关于课程与教学改革的理论基础、基本目标和基本策略等一些理论问题，他的另一篇文章《论中国国情与课程改革》则讨论了基础教育课程改革要不要从中国国情出发的问题。 （7）《数学教学》2006年第11期，发表了系列文章，介绍2006年9月全美数学教师协会(NCTM)发布的《数学课程焦点》一事。有由华东师大数学系袁震东撰写的文章《我们为什么关注美国“课程焦点”》，有张奠宙教授等写的“编后漫笔”——《我们正在丢弃的，美国却要拾起来》。提出了“在争论中稳步推进数学教育改革”的五点建议。 上述讨论历时一年多，到目前也基本上形成了一些共识。（下面会具体谈。） 一、         课程标准修订情况的一些信息 （一）信息的来源 1．2006年6月初，收到课标修订组送来的《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》（征求意见稿）。此份“征求意见稿”只有相当于《课标（实验稿）》中的前三部分，即“前言”（现在叫“设计理念”）“课程目标”“内容目标”。 2．《中国教育报》2006年9月11日报道：教育部召开义务教育阶段数学课程标准研讨会。 2006年9月上旬，在东北师大召开的“义务教育阶段数学课程标准研讨会”，是在义务教育数学新课标（实验稿）的基础上，根据近年来课程改革的新情况和新经验，进一步完善和修订的一次重要会议。这次会议邀请了数学界的著名专家、中科院院士、北大教授姜伯驹和复旦大学教授李大潜等数位科学家，以及来自中小学教学第一线的教师代表，进行了深入研讨。教育部副部长陈小娅出席会议，感谢各位科学家和教师代表的积极参与和提出的重要建议，希望大家继续关注课程标准的修订工作。她强调指出，新课标的修订完善是推动基础教育课程改革的基础性工作，是关系到基础教育质量的一件大事。 3．2006年10月下旬在西安举行的全国初中青年数学教师优秀课观摩和评选活动上，东北师范大学校长，课标修订组组长史宁中教授做了《关于义务教育数学课程标准思考》的报告。 （二）对目前课标修订情况的理解和体会 1．人们对《课标（实验稿）》的意见： （1）一些文字的表述不易理解。如：数感、符号感等 （2）内容的选择与组织有待于进一步合理化。 （3）教学建议、评价建议的操作性不强。 （4）数学家们认为，知识水平降低，推理能力下降。 2．修订工作进行的过程： （1）第一次修订大约从2003年第四季度开始进行，2004年初年我们也收到过“征求意见稿”。 （2）第二次修订于2005年5月开始，重新组织专家成立修订组，史宁中教授任组长，主持修订，并于06年5月开始广泛征求修订稿的意见。 3．人们对课程标准修订工作的期望： 希望能处理好：  ○ 双基与创新能力、实践能力的关系；  ○ 教材、教学的学科逻辑与社会进步、科技发展、学生经验的关系；  ○ 学生的学习方法上，接受性学习与自主探索、合作学习等的关系；  ○ 所倡导的教育教学理念能适应农村教育教学条件的问题；  ○ 中国国情与有选择地汲取西方经验的关系；  ○ 可操作性与理想目标之间的关系；  ○ 合理、辩证的对待并处理好数学家们的意见；     等等，…… 4．如何改变标准？ 史宁中教授在报告“关于《数学课程标准》的若干思考”中认为： ○ 应把“双基”改变“四基”，即改为关于数学的： 基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 ○ 希望能够改变过去的教学方法，在教学活动中，能够： 继续：促进学生理解数学的基础知识、训练学生掌握数学的基本技能； 学会：启发学生领会数学的基本思想、帮助学生积累数学的基本活动经验。 ○ 不是简单的叠加，是一个有机的整体，是相互促进的。加上了后面的“两基”，就必须改造传统的“双基”，给出充分的空间与时间；在教学活动中“基本思想”将是主线，“基本活动经验”将成为重要的形式。 “基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。 5．对《课标（修订稿）》的理解。 （1）“修改稿”对“实验稿”肯定的方面：  ○  基本认同《课标（实验稿）》的基本理念。  ○ 认可《课标（实验稿）》的三维目标框架。  ○《课标（实验稿）》小学部分的教学内容基本合理，改变不大。 （2）与对《课标（实验稿）》比较，《课标（修订稿）》的变化： ①  对数学概念的陈述变化:回归本质。 《课标（实验稿）》：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。 《课标（修订稿）》：数学是研究数量关系和空间形式的科学（恩格斯的定义。）。 ② 基本理念的变化 ○ 关于对数学课程的要求：    《课标（实验稿）》：数学课程“使数学教育面向全体学生，实现：人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。” 《课标（修订稿）》：“数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。” ○ 关于课程内容，强调了：    ·数学结论、形成过程和数学思想方法的统一    ·处理好过程与结果、直观与抽象、联系生活创设情境与知识系统性的关系。 《课标（修订稿）》：“课程内容既要反映社会的需要、数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。课程内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，联系生活、创设情境与知识系统性的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性，以满足学生的不同学习需求。” ○ 关于教学活动，强调了：  ·教与学的统一，——“有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一”  ·培养学生良好的学习习惯、掌握有效的学习方法——“要注重培养学生良好的数学学习习惯、掌握有效的数学学习方法。” ·注重启发式和因材施教，处理好讲授与自学的关系——“注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系” ·接受学习与自主、合作、探究学习的统一，——“除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是学习数学的重要方式” ③ 设计思路中关于“学习内容”的陈述，有变化：  ·加强了培养运算能力和模型思想——“运算是基于法则和运算律进行的。运算能力是指能够正确地进行运算，能够寻求合理的运算途径解决问题。……模型是“数与代数”的重要内容，……” ·注重合情推理和演绎推理的统一，——“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理贯穿在整个数学学习中。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。” ④ 小学部分内容标准的变化——变化不是很大。  举例： ○ 数与代数    · 口算一位数乘除两位数移至第一学段  · 解方程不规定用等式的性质来解。 ○ 空间与几何（原称“空间与图形”） 第一学段，不要求画平移及轴对称图形。 第一学段，不要求看简单的路线图。 将面积单位“平方千米”和“公顷”的认识移至第二学段。 ○ 统计与概率 第一学段，不学习可能性，降低统计的要求。 第二学段，只出平均数，不出中位数、众数。 第二学段，可能性的大小只要求定性描述，不要求定量描述。 ⑤ 其他变化   ○ 语言更严谨、简练、逻辑性强。 举例：课程总体目标： 《课标（实验稿）》：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：    ·获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；    ·初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；    ·体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；    ·具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。” 《课标（修订稿）》：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够： 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。 3.了解数学的价值，激发好奇心，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。”   ○ 有一些结构和用语上的变化。 举例：   ·《课标（实验稿）》：叫做“四个学习领域”，《课标（修订稿）》：叫做“四个方面的课程内容”，更通俗易懂。 ·《课标（实验稿）》：叫做“空间与图形”，《课标（修订稿）》：叫做“图形与几何”，更通俗易懂。   ·《课标（实验稿）》：第四个学习领域，在第一学段是“实践活动”，在第二学段是“综合应用”，在第三学段是“课题学习”。《课标（修订稿）》：三个学段都称作“综合与实践”。 ·《课标（修订稿）》将原来安排在“设计思路”中的对叙述课程目标所使用的术语的解释，安排在“附录1”中。 ·《课标（修订稿）》将分散于内容目标中“案例”集中安排在“附录2”中。 …… 二、第二学段数学教材编排介绍及教学中应注意的问题 （一）第二学段教材中教学内容的安排 1．数与代数   四年级 五年级 六年级 上册 下册 上册 下册 上册 下册 数的认识   亿以内数的认识； 十进制计数法； 亿以上数的认识 小数的意义和性质   分数的意义和性质； 因数和倍数、2、3、5的倍数的特征； 奇数、偶数、质数、合数   百分数的意义和写法 负数的初步认识 数的运算 三位数乘两位数；   除数是两位数的除法     四则运算；   运算定律与简便运算； 小数的加法和减法 小数乘法   小数除法 分数的加法和减法（同分母、异分母分数的加、减法，分数的加、减混合运算）   分数乘法   分数除法   式与方程       简易方程（用字母表示数、理解等式的基本性质，会用其性质解简易方程）     比例的意义和基本性质； 正、反比例的意义； 数学思想方法 数学广角： 优化思想方法（烙饼问题、烧水问题、卸货问题）   对策论的思想方法（田忌赛马） 数学广角： 植树问题的思想方法； 建立数学模型的思想方法   数学广角： 数字编码的思想方法 数学广角： 优化的思想方法（找次品 ）； 解决问题策略的多样化 数学广角： 解决问题策略的多样化（鸡兔同笼问题）：罗列的方假设的方法、列方程的方法 数学广角： 抽屉原理       2．空间与图形     四年级 五年级 六年级 上册 下册 上册 下册 上册 下册 图形的认识           认识直线、射线、平角、周角； 平行四边形 和梯形   三角形（三角形的特性、三边之间的关系、内角和、三角形的分类） 观察物体 能辨认从正面、侧面和上面观察到的简单物体或两个及一组立体图形的位置关系和形状；   认识长方体和正方体 认识圆 认识圆柱和圆锥 测量 角的度量（从数学化的角度认识角）；   多边形的面积（平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式）   体积和体积单位； 长方体和正方体的表面积； 长方体和正方体的体积 圆的周长 圆的面积 圆柱的表面积和体积； 圆锥和体积   图形与变换       图形成轴对称的特征和性质； 图形旋转的特征和性质； 运用对称、平移和旋转在方格纸上设计图形     图形与位置   根据方向和距离确定物体的位置； 描述简单的路线图     用数对来表示位置     3．统计与概率       四年级 五年级 六年级   上册 下册 上册 下册 上册 下册 统计 两种形式的复式条形统计图 单式折线统计图 中位数的意义及求中位数的方法 认识众数，理解众数的统计意义； 认识复式折线统计图，了解其特点，并对数据进行分析和推测   .扇形统计图 误导信息： 利用统计图对数据进行不适当的描述和解释； 调查统计的对象分类不合适或数据不清   概率     事件发生的等可能性以及游戏规则的公平性； 求简单事件发生的概率                         4．综合应用   四年级 五年级 六年级 上册 下册 上册 下册 上册 下册 综合应用 一亿有多大？   你寄过贺卡吗？ 营养午餐；   小管家 量一量，找规律；   铺一铺 粉刷围墙；   打电话   确定起跑线；   合理存款 自行车里的数学；   节约用水 （二）第二学段教材编排的主要特点      第二学段教材对于教学内容的编排和处理，是以整套实验教材的编写思想、编写原则等为指导，力求使教材的结构符合教育学、心理学的原理和学生的年龄特征。所以，各册教材仍然具有内容丰富、关注学生的经验与体验、体现知识的形成过程、鼓励算法及解决问题的策略多样化、改变学生的学习方式，体现开放性的教学方法等特点。具体的说，这些教材还具有下面几个明显的特点。 1．认数的教学，注重对数的意义的理解，发展学生的数感。 （1）优化大数认识的编排结构，突出数学的文化特色，提供丰富素材，培养学生的数感  “大数的认识”的编排，改变了原通用九年义务教育教材把大数的认识分成“亿以内的数”和“亿以上的数”两个单元，分别在四年级上、下两册分散编排的做法，而是在四年级上册整合成一个单元进行教学。这样的编排，一方面是由于学生的知识基础和抽象思维能力较三年级有了较大的提高，能够接受丰富而系统、逻辑较为严密的数概念内容；另一方面由于知识相对集中，便于学生在已有知识和经验的基础上通过迁移类推获得新知，形成较完整的认知结构。例如，在教学亿以内数的读写时，先在万以内数读写法的基础上教学整万数的读写法，再教学含有两级的数的读写法，以便于学生的迁移类推，同时突出了我国的四位一级的计数规律。 “大数的认识”单元的编排不仅结构合理，而且内容的安排和素材的选择突出了数学的文化特色，例如通过数字的产生、计算工具的发展史、古代计数方法的介绍等内容，渗透了数学的发展与人类社会的发展紧密联系并相互促进的思想，使学生逐步体会到数学不仅是有用的工具，同时也影响着人们的生活方式，促进人类的进步；数学是人类共同的文化。 使学生形成良好的数感是认数教学的重要目标之一。实验教材与原通用教材相比，加强了数学与现实生活的联系，结合具体的情境和实际活动让学生感受大数的意义，培养学生的数感。例如，教材设计了地球赤道长度，光传播的速度，一小滴血液中的红细胞、白细胞数量，地球、太阳的直径，全球总人口数，九大行星与太阳的距离，地球陆地、海洋总面积等科普知识和相关的情境，不仅大大丰富了学生对大数的感性经验，也使学生认识到所学数的知识在生活中有广泛应用，同时了解到很多科学知识。教材还设计了全国人口普查的数据、面积最大的六个省份、塔克拉玛干沙漠的面积等有关国情的素材，渗透对学生的爱国主义教育和保护环境教育。 （2）认识小数的教学安排，注重学生对小数意义的理解，发展学生的数感。    为了便于学生理解和掌握小数概念，小数认识的教学仍然采用了以往教材的编排体系，把小数划分为两个阶段教学。第一段安排在三年级下册，在学生初步认识分数的基础上认识两位小数，学习一些简单的小数加减法。第二段安排在四年级下册，在初步认识分数和小数的基础上，让学生开始系统学习小数，学习小数的意义和性质以及小数的加、减法。在具体安排上，注意提供丰富有趣的学习素材，在学生已有知识和经验的基础上阐述新的内容，给学生创设自主探索的空间，同时，还注意采取了下面几个方面的措施：     （1）简化小数的意义的叙述。小数实质上是十进分数的另一种表示形式，其依据是十进制位值原则。但考虑到学生的接受能力，实验教材淡化了十进分数为什么可以依照整数的写法用小数来表示的道理，着重从“小数是十进分数的另一种表示形式”来说明小数的意义，使学生明确：分母是10，100，1000……的分数可以用小数表示。     （2）重视对小数意义的理解。对小数意义的理解要涉及到十进分数，由于学生没有系统学习分数的知识，理解分数的十进关系有困难，为此教材介绍小数的意义时，主要借助计量单位的十进关系来帮助学生理解。     （3）加强与实际生活的联系。为了让学生深刻体会小数在实际生活中的广泛应用，教材单设一小节“生活中的小数”，将生活中的小数、单名数与复名数的互化合并在一起进行教学。并且注意从解决问题的角度来介绍单名数与复名数的互化，使学生体会到单名数与复名数的互化是解决实际问题的需要。     （4）改变了“小数点位置移动引起小数大小变化规律”中“扩大……倍”“缩小……倍”的说法。针对长期以来一直存有争议的“扩大几倍就是乘几，缩小几倍就是除以几”的规定，实验教材进行了尝试性的改变。在“小数点位置移动引起小数大小变化规律”中，将“扩大……倍”“缩小……倍”叙述为“扩大到……倍”“缩小到……分之一。”希望通过实验教学的探索找到解决此问题的有效方法。 （3）改进因数与倍数教学的编排，体现数学教学改革的新理念，培养学生的数学素养。 在小学阶段，有关因数与倍数的知识是传统的教学内容，以往人们认为，它既是小学生应该掌握的重要的基础知识，又是发展小学生逻辑思维的良好素材。同时，人们普遍认识，这部分教学内容概念集中，比较抽象，概念之间的联系紧密，学生理解起来比较困难。也由于以往对这部分内容的编排，联系实际的素材不多，学习这部分内容，既需要学生理解并记忆一些概念，又要求能够运用这些概念进行一定的推理、判断。所以，学习过程显得比较枯燥。因此，这部分内容向来是小学数学教学的难点内容。， 对这部分内容的处理，主要的依据是《标准》的要求和所提倡的理念。 “在《标准》中这部分内容的要求有所降低，明确在1～100的自然数中认识有关的概念和性质，并且这部分内容不作为一个独立的领域出现，在教材的编排中可以将这部分内容分散到数的认识和计算中去。”① 教材的编排既注意体现《标准》中关于因数与倍数教学与教材编排的要求，同时注意体现近年来有关这部分内容教学改革的经验。首先，将以往教材“因数与倍数”的教学内容分散编排，安排在两个单元里教学。第二单元“因数与倍数”包括因数和倍数的意义，2、5、3的倍数的特征，质数和合数的含义等，重点是让学生了解和掌握这些重要的概念和性质；在第四单元“分数的意义和性质”中，结合约分教学最大公因数的概念和求法，结合通分教学最小公倍数的概念和求法。其次，注意所涉及的数的范围在1～100的自然数内，避免题目中的数目过大。此外，在例题的安排、素材的选取、习题的设计等方面都采取了新的措施，使得上述两单元中相关内容的编排与以往的教材相比有下面几个特点： （1）精简教学内容，突出基本概念教学。①不再以整除概念为基础引出因数与倍数，而是在直观的基础上，通过乘法算式得出因数与倍数的概念。由于学生已经积累了丰富的区分整除与有余数除法的知识和经验，对整除的含义能够清晰的理解，不出现整除的定义不会对学生理解其他概念产生影响。因此，本套教材中不再出现“整除”的数学化定义，而是借助整除的模式na＝b直接引出因数和倍数的概念。②“分解质因数” 和“用短除法分解质因数”不作为正式教学内容。在以往的教材中，“分解质因数” 及“用短除法分解质因数”是作为求最大公因数、最小公倍数的基础知识和技能安排的，因此，“分解质因数”一直作为必学内容编排。而在本册教材中，由于允许学生采用多样的方法求最大公因数和最小公倍数，分解质因数失去了其基础知识作用，因此不再作为正式教学内容，而只作为一个补充知识，安排在“你知道吗？”中介绍。 （2）增加了直观和联系实际。以往人们普遍认为，这部分内容的教学过于形式化，一系列的概念引出，似乎都与现实生活无关；从概念到概念，似乎都难以直观。而小学数学的大多数教学内容的引出都注意了从实际引入，都比较注重提供直观支柱。因此，本套教材对这部分内容的编排，内容的呈现、展开注意贴近学生的认知特点。例如，在2、5、3的倍数的特征的教学中，例题和练习中，都增加了联系学生生活实际的素材和插图；用铺地砖的问题情境引出最大公因数和最小公倍数的概念等。这样处理的好处是便于揭示数学与现实世界的联系，有利于学生理解有关概念的现实意义，也有利于培养学生的数学抽象能力。 （3）增加探索性和开放性。例如，“3的倍数的特征”的得出，“做100以内的质数表”，找出最大公因数和最小公倍数的过程，等都体现了放手让学生探究，鼓励用多种方法解决问题，培养学生的探索意识和解决问题的能力。 （4）加强了拓展性和知识性。内容精简之后，出于拓展学生知识面的考虑，教材在相关教学内容之后，利用“你知道吗？”“生活中的数学”等栏目，安排较多的拓展性知识作为阅读资料提供给学生。例如，介绍完全数（第14页）、互质数（第83页）的概念，奇数和偶数在日常生活中的应用，哥德巴赫猜想，以及怎样利用分解质因数的方法求两个数的最大公因数（第81页）等，以丰富学生的数论知识，激发继续探求的欲望，培养学生对学习数学、探索数学持久而稳定的兴趣。 归上所述可以看出，这样的编排使因数与倍数教学的教育价值得到扩充与提高。通过这样的教学，不仅可以使学生很好的掌握与数论相关的最基础的知识，体会数学学习的乐趣和实际价值，同时可使学生获得逻辑思维的训练，自主探索意识和能力的培养，从而逐步提高数学素养。 （4）改进认识分数的编排，注重沟通知识间的相互联系，加强学生对分数意义的理解。 分数的概念比较难理解，计算起来也比较复杂。为了便于学生理解和掌握分数，本套实验教材仍然采用了以往教材的编排体系，把分数划分为两个阶段教学。第一段安排在三年级上册，借助操作直观，使学生对分数有初步的认识，虽然也出现了简单的分数大小比较和同分母分数加、减法，目的是为了帮助学生更好地理解分数的初步概念，给学生积累一些感性知识。在系统认识了小数和初步认识分数的基础上，本册的教学将引导学生由感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，比较完整地从分数的产生、分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的基本概念，掌握必要的约分、通分、分数与小数互化等技能，以及分数的加、减法计算。在具体安排上，本套实验教材一方面注意体现《标准》所提倡的教学理念，提供丰富有趣的学习素材，在学生已有知识和经验的基础上阐述新的内容，给学生创设自主探索的空间，同时，还注意采取了下面几个方面的措施： （1）加强直观，加深学生对分数意义的理解。在小学数学里，引进分数概念是小学生数概念的一次重要扩展。对于小学生而言，分数比较抽象，学生在实际生活中遇到分数也比较少，因此理解和掌握是比较困难的。教材的编排比以往更重视用直观的手段帮助学生体会、理解有关知识。例如，“分数的产生”提供古人测量与孩子分物的两幅直观图，帮助学生感悟分数是怎样产生的，促进对分数意义的理解；“分数的意义”则通过直观插图，从两个方面说明 的含义（可以表示一个物体的 ，也可以表示一些物体的 ），在此基础上给出分数单位的概念，揭示分数表示部分与整体的关系，加深对分数概念的理解。 （2）对部分教学内容作了适当的调整或精简。其一，求一个数是另一个数的几分之几的实际问题适当后移，不再安排在本单元中。其二，分数大小比较与通分结合在一起教学。其三，将以往“约数与倍数”的部分内容与分数的相关知识结合起来教学。即：将公因数、最大公因数与约分编为一节，且公因数、最大公因数在约分之前教学；同样，将公倍数、最小公倍数与通分编为一节，公倍数、最小公倍数在通分之前教学。这些的调整，分散了教学的难点，充分利用学生已学知识的迁移，降低了学习的难度，有利于学生认识的螺旋上升。 （3）加强开放性，培养学生灵活的思维和解决问题的能力。例如，教学求两个数的最大公因数或最小公倍数，不再采用唯一的、固定的短除法分解质因数的方法，而是引导学生采用多样的方法“找”最大公因数和最小公倍数。教学分数化成小数的方法，改进了过去只介绍单一的一般算法的做法，还介绍了利用分数的基本性质改写成小数的方法。这样的编排体现了算法多样化、尊重学生个性化的选择，培养学生善于从不同的角度思考和解决问题的意识和能力。 （4）加强联系实际，从现实问题情境引出数学问题，得出数学知识。如前所述，有关分数、整除的知识都比较抽象，本套教材的编排特别注意了联系实际，从解决实际问题的角度入手探讨新知识。例如，无论是公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的引入，还是约分、通分的给出，教材都创设了适当的现实问题情境，进而在解决实际问题中，抽象出数学的概念，得出数学的方法，揭示数学与现实世界的联系。这样的编排既有利于学生理解公因数、最大公因数概念的现实意义，也有利于培养学生的数学抽象能力，还有利于培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。 （5）改进百分数的编排，注意知识的迁移和联系实际，加强学生学习能力和应用意识的培养。 百分数的编排注意体现当前数学教学改革的新理念。首先，加强数学知识与生活实际的联系。随着我国经济生活的不断繁荣，数学知识的广泛应用，百分数的实际应用也日益广泛。所以，教材选取了较为丰富的、贴近学生生活又富有时代气息的素材。例如，百分数意义的教学，教材用主体图的形式列举了大量当前实际生活中百分数应用的实例；“百分数与分数的互化”的编排，教材采用解决实际问题方式引入互化的教学，使学生体会互化知识的实际应用。在“用百分数解决问题”一节，增加了当前学生比较容易接触到的商品的“折扣”的教学，，还介绍了纳税和利息等知识中百分数的计算知识。这样的编排，使学生在联系生活实际中认识百分数，理解百分数的意义，感受百分数在生活实际中的应用，有利于形成学生对数学价值的正确认识，提高学生用数学解决问题的能力。其次，加强了教学的探索性和开放性。教材注意利用合适机会设置有效的数学活动，让学生通过自主探索，体会、理解百分数的的知识。例如，百分数意义的教学，在列举了生活中百分数应用实例的基础上，教材通过小精灵提出要求，让学生自己试着说一说这些百分数的具体含义，使学生在自主探索、讨论交流中体会和理解百分数的含义。又如，教学求百分率的实际问题时，在第（2）题探索了发芽率的含义和求法的基础上，教材在“做一做”中设计了一个小组合作的探索活动，放手让学生自己讨论如何求出出勤率、成活率、命中率等。既拓展了学生所学的知识范围，加深学生对百分率知识的理解；又培养了自主探索、合作交流的良好学习习惯。 （6）增加认识负数的教学，体现数学教学改革的新理念，加深学生对数概念知识的理解。 负数是《标准》第二学段规定的教学内容，也是小学阶段数学教学新增加的内容。很久以来，负数的教学一般安排在中学教学的起始阶段进行，现在考虑到负数在生活中的广泛应用，学生在日常生活中已经接触了一些负数，有了初步认识负数的基础，《标准》将其提前到小学阶段教学。认识负数，对于小学生来说是数概念建立过程中的一次拓展。他们以往所认识的数——整数、分数、小数等都是算术范围之内的数，建立负数的概念则使学生认数的范围从算术的数拓展到有理数，从而丰富了小学生对数概念的认识。 “负数”概念对于小学生来说比较抽象，《标准》要求“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义。” 因此，教材的编排，注意为学生的学习提供丰富多彩、贴近生活的素材，如学生熟悉的天气预报中对气温的表示方法、日常生活中对收入与支出的记录方法等，让学生在实际生活背景中感受和体会负数产生的必要性、正负数的含义。在此基础上，教材又安排了两个例题，通过生动有趣的活动和联系实际的素材，让学生学习在直线上表示所学过的数，初步渗透数轴的概念，形成数的比较完整的认知结构（例3），以及初步体会负数、零和正数的大小关系，初步认识数轴上数的顺序（例4），加深学生对有关数的知识的理解。 2．计算教学的体现改革的理念，注重培养学生灵活的计算能力，发展学生的数感和应用意识。 四则计算的知识与能力是小学生学习数学需要掌握的基础知识和基本技能，在小学阶段计算教学的分量比较重，但是它有着重要的教育价值。通过计算教学可以使学生认识到数学与现实的密切联系，体会到数学是解决问题的重要工具，从而感受数学的价值，为形成科学的世界观打下基础。计算教学突出地体现了：将计算作为解决问题的一个组成部分进行教学，让学生进一步体会计算是帮助人们解决问题的工具，逐步形成——面对具体问题，先确定是否需要计算，再选择合适的计算方法（口算、估算、笔算等），最后应用计算达到解决问题的目的——这样一种思维方法。这样，不仅能使学生较好地理解计算的意义，形成灵活选择计算方法的能力，发展起良好的数感；而且也能使学生认识到解决问题策略的多样性，提高解决问题的能力。 内容：整数乘、除法；四则混合运算；运算定律；小数四则运算；分数四则运算。 （1）整数乘、除法教学体现计算教学改革的基本理念，注重培养学生灵活的计算能力。 整数乘除法教学（三位数乘两位数和除数是两位数的除法）注意体现《标准》中关于计算教学改革的基本理念，在内容编排的顺序、例题的安排、素材的选择等各个方面都采取了新的措施，具有这样几个特点：（1）精心设计教学顺序，加大教学的步子，留给学生更大的探索和思考空间。（例如，除数是两位数的除法教学，从现行教材的22课时减少为15课时，例题也从16个减少为6个。）（2）让学生在自主探索中获得对笔算过程与算理的理解，不出现文字概括形式的计算法则。（3）让学生在现实情境中理解计算的意义和作用，培养学生用数学解决问题的能力和良好的数感。（4）加强估算教学，使学生掌握估算的方法和策略，体会估算的作用。 （2）改进四则运算的编排，降低学习的难度，促进学生的思维水平的提高。     四则运算的知识和技能是小学生学习数学需要掌握的基础知识和基本技能。以往的小学数学教材在四年级时要对此前学习过的四则运算知识进行较为系统的概括和总结，如概括出四则运算的意义和运算定律等。对于这些相关的内容，本套实验教材在本册安排了“四则运算”和“运算定律与简便计算”两个单元。但是“四则运算”单元的教学内容主要包括四则混合运算和四则运算的顺序。而关于四则运算的意义，则根据《标准》“结合具体情境，体会四则运算的意义”的要求未进行概括，从而简化了教学内容，降低了学习的难度。     四则混合运算和运算的顺序是计算教学部分的重要基础知识。学生掌握四则运算顺序，能够正确地进行混合运算，不仅丰富了计算知识，提高了计算能力，为进一步学习代数运算做好准备，同时也使学生学会列综合算式解决问题，提高学生用数学解决问题的能力。     以往的小学数学教材对于这部分内容的教学安排一般采用的是多次循环的编排方式。即在低年级逐步引入混合运算、直观描述运算顺序（如人教版九年义务教育六年制小学教科书数学第四册，下同），接着逐步出现整数四则三步混合运算的各种情况（第五册～第八册），之后在高年级（第九册）对四则混合运算顺序加以整理和概括——出现第一级运算和第二级运算的概念，为学生初中时学习第三级运算做准备。这样的编排有利于学生加深对混合运算顺序的理解，逐步形成列综合算式的能力；但是也造成了循环过多，比较烦琐，教学步子比较小，留给学生探索的空间不足等问题。     本套实验教材根据《标准》的理念与要求——“能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算”，改进了混合运算和运算顺序的编排方式。首先，在低年级结合现实的素材逐步引入混合运算，如一年级上册和二年级上册出现的“加减混合”，二年级上册出现的乘加、乘减，二年级下册出现的含有小括号的加减混合运算，等等。使学生在解决现实问题的过程中，初步理解混合运算的作用，体会运算顺序。在中年级时，即本册的四则运算单元结合解决现实问题，较为系统的介绍四则混合运算及运算顺序。这样的编排既让学生有较长的时间，通过较丰富的现实素材，逐步体会、理解混合运算及运算顺序，分散了教学的难点，减轻了学生的学习负担；也使得原来比较枯燥的计算教学由于有了现实的背景而变得生动、有趣。同时，在丰富的感性经验的基础上，四年级出现比较抽象的运算顺序，符 合学生数学学习的认知规律，并可促进学生思维水平的提高。     关于运算定律，与以往的教材相同，安排了加法和乘法的五条运算定律。对于这些运算定律，学生在前面几册的学习中已经接触到了大量实例，有着良好的认知基础。因此，这部分内容的编排，教材注意了这样几个方面：（1）相对集中教学，以便于学生形成比较完整的认知结构。将有关运算定律的知识集中于一个单元，加以系统编排，便于学生感悟知识之间的内在联系与区别，有利于学生通过系统学习，构建比较完整的知识结构。（2）从现实的问题情境中抽象概括出运算定律，便于学生理解和应用。如加法运算定律，安排了李叔叔骑车旅行的情节；乘法运算定律则创设了学生植树的问题情境。这样便于学生依托已有的知识经验，分析比较不同的解决问题的方法，引出运算定律。（3）重视简便计算在现实生活中的灵活应用，有利于提高学生解决实际问题的能力。教材在“简便计算”的小节里，改变了以往简便计算以介绍算法技巧为主的倾向，着力引导学生将简便计算应用于解决现实生活中的实际问题，同时注意解决问题策略的多样化。这对发展学生思维的灵活性，提高学生分析问题、解决问题的能力，都有一定的促进作用。 （3）改进小数乘、除法计算的编排。 小数四则计算在实际生活中以及进一步学习中都有着广泛的应用，是小学生阶段需要学生掌握的基础知识和基本技能。本册教材安排了小数乘法和小数除法。这两部分的计算教学，知识容量大，具体的计算过程比较复杂，所以它们既是本册教学的重点内容，也是难点内容。教材的编排，在内容方面与以往教材变化不大，但在编排的思想上与以往有较大的不同。实验教材注意体现《标准》中关于计算教学改革的基本理念，在内容的安排、例题的设计、素材的选取等方面都采取了新的措施，使得这两部分内容的编排与以往的教材相比有下面几个特点： （1）与前一册教材中小数加、减法的教学相同，本册教材没有概括小数乘、除法的意义，而是让学生在探索解决有关实际问题和计算方法的过程中，体会、理解小数乘、除法的意义，减轻了学生的学习负担。例如，小数乘法的例1，学生在解决“喜鹊风筝每个3.5元，买3个风筝多少钱？”的问题时，在探索怎样计算3.5×3的过程中，获得对小数乘整数意义的体会和理解。 （2）让学生在自主探索中理解和掌握小数乘、除笔算的算法和算理，不出现文字概括形式的计算法则。与整数笔算教学相同，小数乘、除法的算法、算理，主要由学生通过自主探索获得，教材展示了学生探索笔算算法的过程，体现了算法多样化，并注意用学生已有的知识帮助学生理解算理。例如，小数乘法，例1展示了学生根据实际问题中的具体条件自主探索，提出关于3.5×3的三种不同算法；例2、例3探讨小数乘法笔算的一般算法和算理，注意借助于学生已有的“积的变化规律”引导学生理解算理；例4则提示让学生小组合作，讨论交流，共同归纳出小数乘法计算的一般方法。 （3）计算教学与解决问题教学有机结合。计算教学从解决实际问题引入，各部分内容的教学都注意解决问题能力的培养。例如，小数乘整数、小数乘小数、小数除以整数、一个数除以小数等的教学，都是从需要解决的实际问题入手，探讨解决问题的策略和具体的计算方法。而在连乘、乘加、商的近似数等内容的例题设计上，教材安排了对实际问题的探索，不仅有助于对所要学习的知识的理解，而且蕴涵有效的解决问题策略的培养。在小数除法单元还安排了“解决问题”小节，让学生学习用除法计算解决常见的实际问题，使培养学生解决问题的能力在计算教学单元得到扎扎实实的落实。 归上所述可以看出，这样的编排使计算教学的教育价值得到扩充与提高。通过这样的计算教学，不仅可以使学生很好的掌握小数乘除法的算法，理解算理，获得相关的知识，体会计算在解决问题中的实际作用和价值，同时可使学生获得解决问题策略的训练，自主探索意识和能力的培养，从而逐步提高数学素养。 （4）改进分数乘、除法计算的编排。 分数四则运算的知识和技能是小学生应该掌握的基础知识和基本技能。分数四则运算在计算方法上与整数、小数计算有一定的区别，在算理上比整数、小数计算稍显复杂，所以学生理解和掌握起来更困难一些。分数的加法和减法，在计算方法上与整数、小数的加法和减法虽有区别，但是在算理上与整数、小数的加、减法又有联系，都是相同单位的数才能直接相加、减。为了突出这一共同的规律，加之学生已学习过简单的同分母分数加、减法，所以，在五年级下册里，实验教材将分数的加法和减法安排在同一单元里穿插教学。分数的乘法和除法有密切的联系，教学分数除法需要有分数乘法作基础；而且分数乘、除法的内容比较多，学生理解它们的算理也更为困难些；因此，本套实验教材仍采用分单元教学分数乘法和分数除法的编排方式。在具体编排上，两个单元都先结合实际问题教学每种计算的算法和算理，然后将解决一些含有特殊数量关系的问题安排在 “解决问题”小节里单独教学。通过解决实际问题，理解这类问题的数量关系，在掌握解题思路和方法的同时，进一步加深学生对分数乘、除法的理解。这样的编排重点突出，比较有利于学生理解和掌握分数乘、除法的算理、算法和实际应用。 与原通用教材的编排相同，在分数除法单元仍安排“比”的小节，教学比的意义、性质和应用。把“比”提前到分数中教学，主要出于两点考虑：第一，比和分数有密切的联系，两个整数相除（除数不等于0）可以用分数表示它们的商，也可以说成两个数的比，两个数的比也可以用分数形式来表示。加强比和分数的联系，可以加深学生对分数的意义的理解和对比的认识，还可以提高学生灵活运用知识解决简单实际问题的能力。第二，提早教学比的概念，可以为后面教学圆周率、百分数、统计等打好基础。例如，学生有了比的概念，就容易理解百分数为什么还可以叫做百分比。在这里有关比的应用，只教学按比例分配的问题，比例尺则放在“比例的应用”中教学。 与整数、小数的计算教学相同，分数的乘法和除法的教学，同样要体现计算教学改革的理念。因此，实验教材的编排与原通用教材相比有以下几方面的改进。 （1）不单独教学分数乘法、分数除法的意义，而是让学生通过解决实际问题，结合具体情境和计算过程去理解运算意义。 （2）通过实际问题引出需要用分数乘、除法计算的问题，让学生在现实情境中体会、理解分数乘、除法算法和算理，将解决问题教学与计算教学有机地结合在一起，在学习计算的同时培养学生应用数学的意识和解决问题的能力。 （3）借助操作与图示，引导学生探索并理解分数乘、除法的算法和算理。对分数乘、除法计算方法的探索与理解，历来是教学的难点。教材根据学生的思维特点，设计了涂色、折纸、画线段图的等活动，采用手脑并用、数形结合的策略加以突破。 （4）不再出现文字叙述式的计算法则，简化了算理推导过程的叙述及解决问题思路的提示，通过直观与操作等手段，在重点关键处加以提示和引导，为学生探索与交流提供更多的空间。 （5）调整了分数乘、除法应用问题的编排，注重培养学生用数学解决实际问题的能力。用分数乘、除法解决问题以往也是小学数学教学的难点教学内容，本套实验教材的编排，根据《标准》的要求，一方面降低了题目数量关系的复杂性，从而也就降低了解题的难度；另一方面选取了在日常生活中经常遇到的实际问题进行分析，进而达到培养学生用数学解决实际问题的意识和能力。 3．改进简易方程的教学安排，加强了探索性和开放性，发展学生的数学思维能力。 简易方程单元是小学阶段正式教学代数初步知识的单元。从算术到代数是人们对现实世界的数量关系认识过程中的一个飞跃，在数学方法上也是一次突破。在小学阶段让学生学习一些代数初步知识，学习用代数的方法解决问题，不仅有助于学生巩固和加深理解所学的算术知识，提高他们用数学解决问题的能力，同时可以促进抽象逻辑思维能力的发展，提高他们的数学素养。 本册实验教材关于简易方程的安排，在内容上仍然是用字母表示数、解简易方程，以及简易方程在解决一些实际问题中的运用。但是在具体内容的编排上有较大的变化，体现了《标准》的教学要求和新的教学理念。主要体现在下面几方面： （1）内容的呈现、展开更贴近学生的认知特点，增强了探索性，体现知识的形成过程。用字母表示数的教材编排，从学生熟悉的探索规律入手，由符号表示数过渡到用字母表示数，让学生感受用字母表示数的优越性。教学用字母表示数量关系和一个量时，增加了开放性和探索性，如让学生自己试着“用一个式子简明地表示任何一年爸爸的年龄”并问学生“你喜欢哪一种表示方法？”。又如，教学等式的基本性质，教材用四幅插图展示天平实验游戏，引起学生的探究兴趣，呈现探究等式基本性质的过程。解方程的教学，也是借助天平演示的插图，展现了解这些方程的完整思考过程。 （2）以等式的基本性质为解方程的依据，生动直观地呈现解方程的原理。长期以来，在小学阶段教学简易方程，方程变形的主要依据是四则运算各部分间的关系。这实际上是用算术的思路求未知数。这样的教学利用了学生已有的知识，因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，到了中学还需要重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程。现在，根据《标准》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。不仅有利于加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展。 （3）调整简易方程的教学内容，突显利用等式基本性质解方程的优势。 引进等式基本性质作为解简易方程的认知基础之后，教材根据《标准》的要求调整了简易方程的内容，暂不出现形如a－x＝b和a÷x＝b的简易方程。内容调整后，利用等式基本性质解方程的优越性就显现出来了，例如，解形如x＋a＝b与x－a＝b的方程，都可以归结为等式两边减去或加上a，得x＝b－a与x＝b＋a。解形如ax＝b与x÷a＝b的方程，都可以归结为等式两边除以或乘上a，得x＝b÷a与x＝ab。这样的解方程过程显然比原来依据逆运算关系解方程，思路更为统一。 （4）解方程与解决实际问题的教学有机结合。 在以往的教材中，解方程的教学与列方程解应用题的教学是分开进行的，前者属于计算，后者属于应用。本册教材编排将解方程与解决实际问题的教学有机结合，恢复计算与应用的天然联系。在教学解方程时，例题的内容都是实际问题；学习“稍复杂的方程”时，由实际问题引入方程，在现实背景下求解方程并检验，这样处理有助于学生理解解方程的过程，也有利于加强数学知识与现实世界的联系，培养学生的数学应用意识，提高解决问题的能力。 4．改进比例的编排，突出比例的概念，丰富联系实际的内容，培养实践能力。 比例是传统的教学内容之一，也是小学高年级学生需要学习和掌握的重要基础知识。首先，它有着较大的实用价值，有一些实际问题需要用比例来解决。例如绘制地图、图形的扩大或缩小等；其次，它是学生进一步学习的基础知识，中学理科学习过程中常常要用到比例知识。另外，通过对正比例与反比例知识的学习，还可以加深学生对数量关系的认识，初步渗透函数思想，为中学的数学学习打下基础。因此，比例仍然是小学生高年级重点教学内容之一。 与以往的教学大纲比较，《标准》对这部分内容的教学要求有所提高。不仅要求学生认识正比例关系的图像，“能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值” 而且，在比例的应用方面要求学生“能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小。”这部分教材的编排，既注意体现了《标准》的要求和所提倡的数学教学新理念，又突出了比例在学生数学知识结构中的作用和地位。因此，实验教材的编排与原通用九年义务教育教材相比有以下几方面的改进。 （1）概念教学注意联系实际，加强探索性。比例单元的概念教学分量较重，比例、正比例、反比例等基本概念是后续学习的重要基础，本册教材的编排，先用前两小节集中进行概念教学。一方面注意引导学生通过观察、比较、判断、归纳等方法建立明晰的概念，另一方面注意联系实际，由实际问题引入概念学习，增加学习的探索性。例如，由大小不同国旗的长宽关系问题引入比例意义的学习，从“世界公园”埃菲尔铁塔模型与原物的关系问题引入解比例。又如，“成正比例的量”和“成反比例的量” 两部分的教学，都是通过研究圆柱形杯子的体积、底面积与高这三个数量的依存关系，使学生理解正比例与反比例的意义。同时教材不再对研究的过程作详细的引导和说明，只是提供研究的素材与数据，出示关键性的结论，充分发挥学生的主动性，以体现自主探究、合作交流的学习过程。 （2）“比例的应用”增加内容，提供丰富的学习素材。比例在实际生活中有着广泛的应用，本册教材一方面根据《标准》的要求增加了图形的放大与缩小的内容，另一方面，将比例尺的教学移到这里，使得“比例的应用”由比例尺、图形的放大与缩小、用比例解决问题三部分组成，丰富了教学内容。其中“比例尺”的教学内容也比原通用义务教育教材内容丰富，增加了将实际尺寸放大的比例尺如何表示的实例（第48页），安排了综合运用比例尺知识进行实际作图的例题（第50页例3）。使得这部分内容不仅对于前两小节的概念学习起到巩固和加深理解的作用，而且对于学生体会比例在实际生活中的应用，培养应用意识、解决问题能力以及动手实践能力都是很好的素材和机会。 （3）注意渗透函数思想。函数是近代数学的重要概念之一，在现代科学技术中有广泛的应用，是中学数学学习的一个重要内容。在小学阶段，主要是通过一些知识的学习渗透函数思想。正比例和反比例意义的教学正是渗透函数思想的重要内容。本册教材继续使用原通用义务教育教材的编排方法，教学正比例概念之后接着教学反比例概念，便于对两个概念含义进行对比；在实例的基础上，用列表的形式体现变量之间的关系，接着用 、 的式子表示两个变量之间的关系。同时，增加了认识正比例图像的教学，在本单元安排“你知道吗？”介绍反比例的图像。这些内容都可使学生体会到成正、反比例的量的变化规律，对一种量怎样随着另一种量的变化而变化有鲜明的印象，使学生对对函数思想获得初步的了解。 5．提供丰富的空间与图形的教学内容，注重动手实践与自主探索，促进学生空间观念的发展。 小学阶段空间与图形教学的主要目标是发展学生的空间观念，与前面几册一样，第二学段教材继续把促进学生空间观念的发展作为空间与图形内容编排的研究重点。 在编排上突出的变化是： ◎ 加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，使学生得到较多的有关空间观念的训练机会。 ◎ 为学生的学习和教师的教学，都提供更为丰富学习素材和开放的教学空间。 ◎ 设计了大量的活动，帮助学生理解图形的性质和变换，发展空间观念。 6．加强统计与概率内容的教学，发展学生的统计观念，逐步形成从数学的角度进行思考问题的思维习惯。 在第一学段的教学中，学生已经学习了收集和整理数据的方法、用简单的统计图表表示统计的结果，学习了根据统计图表提出一些简单的问题等。通过这些学习，学生初步经历了用统计的方法解决问题的过程，为建立统计观念打下了良好的基础。第二学段的统计教学，教材一方面注意利用学生已有的知识和经验学习新的统计知识；另一方面教材继续注意结合实际问题，进一步教学根据统计图表进行简单的数据分析，作出合理的推断。这样就把数据分析与解决问题结合在一起，使学生更好地理解统计在解决问题中的作用，逐步形成统计观念。 7．实践与综合应用活动的安排，着重于培养学生综合的解决问题能力。 实践与综合应用活动的安排，着重于培养学生的综合能力，（包括数学知识的综合和学科间的综合）。选择综合性强、具有可操作性、应用数学的活动，培养学生的综合能力、实践能力和解决问题能力。 8．安排对小学阶段数学学习的整理和复习，使学生所学的数学知识系统化，做好中小学数学教学的衔接。 本套教材的最后一个单元仍然安排了“整理和复习”，把小学阶段所学的主要内容进行系统地梳理和提纲携领地复习，使学生对所学的数学知识得到巩固和加深理解，各种能力得到进一步提高，更好地达到小学数学教学的预定目标，为中学的数学学习做好必要的准备。 整理与复习是小学数学教学的一个重要环节。尽管《标准》为体现义务教育的整体性，将整个义务教育阶段划分为三个学段，使各学段之间数学课程的联系更为密切了。但是由于诸多因素影响，目前我国绝大多数地区的学校教育实际上仍然是小学和初中独立建校，使得小学和初中的教学基本上是分开进行的。而从小学到初中，学生学习的数学知识、学生的学习方法都发生了较大的变化。因此，在小学生完成学业之前，对所有数学学习内容进行一次系统的、全面的回顾与整理是非常必要的。通过整理与复习，使那些最为核心的基本概念和基本原理以及它们之间的联系突出出来，形成良好的认知结构，为新知识的学习打下坚实的基础，解决中小学数学学习的衔接问题。同时“整理与复习”的设置也体现了学生学习的一般规律。学生对数学知识的理解，由浅入深、由此及彼，进而认识相关知识之间的内在联系。在完成了小学数学全部内容的学习之后，进行总体的整理和复习，可以使原来分散学习的知识得以梳理，使数学的知识点串成知识线，再构成知识网，帮助学生完善头脑中的数学认知结构，增进持久的记忆，对于提高学生的数学能力也是十分有益的。因此，“整理和复习”单元不仅是本册教材的重点教学内容之一，也是全套小学数学教材的一个重要组成部分。 与原通用九年义务教育教材相比，本册教材对“整理与复习”单元的编排有以下几点改进。 （1）依据《标准》划分的学习领域，对小学数学的学习内容进行梳理归类，依次进行整理和复习。 （2）精简内容，突出整理和复习的重点，为学生主动参与知识的整理提供空间。与原通用九年义务教育教材比较，本册教材在内容编排上作了较大幅度的精减。不求面面俱到，覆盖已学知识的细节，给出所学概念的描述。而是突出重点，抓住主要内容、主要问题进行整理和复习。这一方面使教材摆脱了知识点罗列，概念、法则汇编的局面，另一方面也给学生提供了梳理知识的线索，留给学生参与知识的整理的空间。例如，“数的运算”关于四则运算的意义和方法的复习，教材先通过主题图所创设的问题情境，让学生重温四则运算在解决问题中的应用，然后让学生小组讨论交流四则运算的意义，对整数、小数、分数的计算方法进行比较，找出它们的共同点和不同点，进而达到对所学四则运算意义和方法的融会贯通。 （3）注重问题情境的创设，注重所学知识的应用，发展学生用数学解决问题的能力。本册教材在这里尽可能通过问题情境，包括现实的情境与数学的情境，着力引导学生联系实际或联系数学实例，加深对已学知识的理解，加强对相关知识内在联系的认识。同时注意所学知识的运用，特别是在实际问题情境中的应用，从而学以致用，在“用”的过程中，促进理解和巩固。这对提高复习的有效性，提高学生解决问题的能力都非常有益。 9．有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。 数学学习不仅可以使学生获得参与社会生活必不可少的知识和能力，而且还能有效地提高学生的逻辑推理能力，进而奠定发展更高素质的基础。因此，培养学生良好的数学思维能力是数学教学要达到的重要目标之一。本套实验教材总体设想之一是：系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。通过教学使学生受到数学思想方法的熏陶，形成探索数学问题的的兴趣与欲望，逐步发展数学思维能力。据此，在第二学段的每册教材都安排了“数学广角”单元。通过直观和实际操作，使学生经历数学思想或方法的探究过程，对一些简单的实际问题“模型化”，会用某一数学方法加以解决，使学生感受数学的魅力，促进逻辑推理能力的发展，培养分析、推理、解决问题的能力，以及探索数学问题的兴趣。 10．情感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的收获激发学生的学习兴趣与内在动机。 本次数学课程改革强调了对学生情感、态度和价值观的培养，全面提高学生的素质。小学高年级学生已经具有了一定的知识和生活经验，对自然与社会现象有了一定的探求欲望，此时需要教育者进行有目的的启发与引导。在数学教学中，就是要通过数学学习活动，使学生形成丰富的情感、积极的态度和正确的价值观，这同样是学生学习、生存和发展的重要基础。本册教材不仅内容涉及数学教学内容的各个领域，为学生探索奇妙的数学世界提供了丰富素材，而且注意结合教学内容安排了许多体现数学文化的阅读材料、数学史实等，使学生的数学学习活动丰富多彩、充满魅力。这些都有助于学生初步认识数学与人类生活的密切联系，了解数学的价值，激发学生学习数学的欲望。 （三）第二学段教学中应注意的问题 1．根据学生发展的特点进行教学和能力培养。 例如，及时抽象、教给学生思维的方法、解决问题的步骤等。 （1）第二学段学生的思维特点和学习特点：小学中高年级学生则处于由形象思维向抽象思维过渡的阶段。要适应学生的思维特点，又要通过数学知识的教学，发展学生的思维能力。 （2）及时抽象，建立模型。 数学教学的目的之一是使学生发展数学能力，例如在众多的实际问题、具体问题中抽象出数学问题，建立起数学模型，并会用这样的模型解决问题。因此数学教学不能只满足于具体的操作或探索活动，而不引导学生进行抽象。 郑毓信教授的思想：如果我们始终停留于实际操作的层面，而未能很好地实现活动的“内化”，包括思维中的必要重构，就根本不可能发展起任何真正的数学思维。 （3）教给学生思维的方法。 数学之所以得以广泛的应用，可归结为它能够用非常简洁、有效、精确地表达和交流思想、解决问题。数学的基础知识和基本方法在实现从算术到代数、从实验几何到论证几何、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机性数学等重大转折中起着的重要作用。 2．要求学生严密思考，培养学生逻辑推理能力；同时鼓励学生独立思考，培养学生合情推理能力。 所谓合情推理能力，指归纳推理和类比推力。（归纳推理：由特殊性前提引出一般性结论的推理。类比推理：由特殊到特殊的推测方法） 史宁中教授认为： 创新能力依赖于：知识的掌握、思维的训练、经验的积累。     思维的训练：主要是训练演绎能力、归纳能力。 演绎能力：能够熟练使用演绎推理的能力。 演绎推理是一种前提与结论之间有必然性联系的推理，是基于概念、按照规则进行的推理，是由一般到特殊的推理。就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符号，按照规定的法则进行命题证明或者公式推导。 我们的数学教育缺少什么呢？ 史宁中教授认为：演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。 我们缺少的是根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。而这正是归纳推理的能力。 就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。与演绎推理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。 借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。 3．空间与图形教学和统计与概率教学应注意的问题。 （1）注意概念的科学性。 教师要加强学习，提高自己的知识水平，避免出现科学性错误。 例如，图形的变换，小学数学涉及到有两种：合同变换、相似变换。 ◎ 合同变换（保距变换）：轴对称、平移、旋转，只改变图形的位置，不改变形状和大小。 ◎ 相似变换（保角变换）：图形的放大、缩小，只改变图形的大小和位置，不改变形状。 小学阶段：直观认识平移现象。即物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变。　 又如，对概率的正确理解。概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中发生与否是随机的，大量的试验就会体现出规律性。随机中有精确，精确中有随机。 案例一：连续两次抛掷一枚硬币，一定是一　次正面朝上、一次反面朝上吗？　 案例二：某种彩票的中奖概率是1%，那么买100张彩票一定能中奖吗？ （2）处理好生活中的概念与数学概念的关系。 例如：可能当中概率有大小：可能性很大、较大、较小、很小，但都是可能。 　　可能性很大≠一定 　　可能性很小≠不可能 案例一：袋子里有99个白球、1个红球，任意摸一个，一定是白球吗？不可能是红球吗？ 案例二：课程表安排明天第四节课上音乐，那么明天第四节课一定上音乐吗？ （3）适当把握教学要求，不要加深难度、不要拔高要求。 ① 空间与图形： ◎ 图形的认识：图形的概念、性质等内容丰富，在第三学段还会深入学习。 ◎ 图形与变换：轴对称、平移、旋转、相似等，无论是画变换后的图形，还是设计图案，都在方格纸上 ◎ 图形与位置：坐标思想只是渗透 ② 统计与概率： ◎ 统计图表的规范：统计表：标题（名称）、项目（标目）、数据等；统计图：标题（名称）、图目（标目）、图尺（坐标分度）、图形、图线、图例等。 ◎ 除扇形统计图外，都要求绘制。 ◎ 初步体会数据可能产生误导。 ◎ 试验结果与概率可能产生矛盾。 　第一学段，摸球试验，两种球的比例要合适。　　 　第二学段，学生分组进行抛掷硬币试验，汇总小组试验结果，再呈现历史上试验的大量数据，引出有两种结果，每种结果的可能性相等，都是1/2。 ◎ 淡化概率计算，重在思想观念的渗透。 ◎ 统计的内容，除了知识与技能、过程与方法外，还要联系实际，在现实中收集信息、读懂信息。 （4）空间与图形教学，要处理好实验几何与抽象成几何模型的关系。 要注意贯彻加强探索、操作活动的新理念，但同时要注意从形象思维向抽象思维的过度，概念要抽象概括，公式、性质要总结，在理解的基础上掌握。 4．提高学生综合运用知识解决问题的能力。 （1）实验教材根据《标准》的理念和要求，采取的编排措施是： ① 结合各部分知识安排应用所学数学知识解决实际问题的内容。 实验教科书注意结合各部分教学内容，提供应用所学知识解决问题的例题或练习。这样就使解决问题与计算等知识有机的结合起来。 ② 提供培养学生从生活中发现并提出简单数学问题能力的机会。 实验教科书特别注意创设信息丰富的开放的问题情境，引导学生根据现实情境发现和提出各种数学问题，通过独立探索和合作交流来解决。  ③ 让学生体会解决问题策略的多样性。 实验教科书中有的情境表现了不同的学生想出了不同的解决办法，使学生通过交流了解同一问题可以有不同的解决办法。 ④ 解决问题的内容具有探索性和开放性。 解决问题的内容丰富，信息量大，问题多样，答案不唯一，要求人们具有某种程度的独立见解和创造性。 ⑤ 加强渗透数学思想方法。 解决问题，不仅仅解决一些实际问题,还要发展学生的数学思维能力，学习数学思想方法。实验教科书除了在数与代数、空间与图形、统计与概率知识领域渗透和应用数学思想方法外，还尝试系统地渗透数学思想方法，如引导学生探索简单的排列组合数，简单的推理，简单的集合和等量代换等思想的渗透等。 （2）解决问题编排的优点与不足 ◎ “解决问题编排”探索的优点：内容联系实际、开放性、探索性、合作交流、提出问题。有利于培养学生的解决实际问题的能力、创新精神、实践能力和合作精神。 ◎ “解决问题编排”的不足：使理解问题和分析数量关系弱化、造成解题方法和步骤不规范。 （3）进行解决问题教学中应注意的问题 ① 理解四则运算的意义。 解决问题在小学数学中最主要的部分是利用四则计算解决实际问题。因此，让学生理解加减乘除的含义非常重要，一步计算的问题是进一步学习的基础。 ② 重视分析数量关系。 注意引导学生分析数量关系，掌握解题思路，来培养学生分析问题和解决问题的能力。重视学生获取知识的思维过程，如注意引导学生在学习过程中进行比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等思维活动，以培养学生的逻辑思维能力。只有有了一定的逻辑思维作基础，才有可能更好地发展创新思维能力。 实验教材重视让学生经历创设情境，抽象成数学模型，解释与应用的过程。实际上对于四则运算的数学模型来说，就是数量关系式。因此，要重视分析数量关系，但要在教师的启发下，引导学生独立分析数量关系的意识和能力，这样才能培养自主学习的能力。 ·速度×时间＝路程　　单价×数量＝总价　　工效×时间＝工作总量 ·单产×面积=总产     ·耗油量/千米×千米数=总耗油量 ·合格率=合格产品数÷产品总数× 100% ·面积和体积公式  ·由数量关系式演变的及其他的正比例关系和反比例关系 ③ 理解生活及数学语言，并学会将生活化的语言转化为数学语言。 从实验教材解决问题的素材上看，内容丰富，提问题的方式多样；不像旧教材应用题的提问题那样数学化。这样就要求学生多接触社会、深入生活，知道数学在生活中的各种应用。这样才能理解生活语言，进而转化成数学语言，再结合四则运算的意义通过分析数量关系建立模型。 ④ 掌握解题基本步骤。 解决问题强调探索性和开放性，但它与解决问题方法和步骤的规范性并不矛盾。解决问题方法和步骤的规范性并不影响探索性和开放性，有利于提高解决问题的效率和能力。 是否写答案？是分步还是综合列式？ 是否写答不作规定。分步列式还是综合列式都是可以的，只要解答正确便可。但要引导学生在分步列式的基础上列综合算式，以便于学习四则混合运算的顺序和简便运算，以及列方程解决问题。 ⑤ 渗透数学思想方法。 数学思想方法是数学的灵魂。那么，要想学好数学、用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。要加强对学生数学思想方法的培养。 例如，会用转化、类比、统计、集合、函数、方程、归纳、优化、分类、模型、实验猜测，等等。 5．注意中小学数学教学衔接问题，为第三学段的教学打下良好的基础。 （1）初中数学的特点。 ①数与代数： ◎ 从算术到代数——代数式成为重要学习对象（概念、运算、符号化），由算术运算到代数运算 ◎从研究常量到研究变量——从数字到字母、从研究常见的数量关系到研究函数（即反映事物的变化与联系的模型。） ◎ 解决实际问题的数学方法，起初全用算术解法，然后引入简单的方程，算术与方程两种解法并存，再过渡到以方程为主的代数解法。 ② 空间与图形： ◎ 从直观形象的实验几何到抽象逻辑推理的论证几何。 （2）初一部分学生过早出现两级分化的原因。 ·小学数学的基础知识和技能不扎实。 ·对初中的数学学习内容的不适应。 ·学生对教师的教学方法不适应。 ·学生对教师的管理方法不适应。 ·学生的学习方法不适应中学阶段的学习。  ·学生的非智力因素障碍。 （3）注意打好各方面的基础。  ① 小学计算的基础。 较强的口算能力：能熟练口算20以内的加减法，表内乘法和表内除法。 良好的笔算能力：万以内的加减法，多位数的乘除法保证正确。 解决问题：会分析数量关系，较好的建立模型能力。  ② 注意方程和函数思想的渗透。 方程和比例：高标准教学，低要求考试。有利于中小学衔接。 ③ 渗透数学思想方法 在小学数学教学中，经常能够体现的数学思想方法是： ◎ 化归（转化） ◎ 数形结合 ◎ 以简驭繁 ④ 培养良好的学习习惯 除了泛学科的学习习惯之外，根据数学学习的特点，不容轻视的学习习惯还有，检验、预习、复习，以及反思。 附录： 一、空间与图形 1．图形的变换，小学数学涉及到有两种：合同变换、相似变换。 ◎ 合同变换（保距变换）：轴对称、平移、旋转，只改变图形的位置，不改变形状和大小。 ◎ 相似变换（保角变换）：图形的放大、缩小，只改变图形的大小和位置，不改变形状。 小学阶段：直观认识平移现象。即物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变。　 ① 轴对称变换 　一平面到自身的变换，若存在一条定直线l，使对于平面上的每一点P及其对应点P′，其连线PP′都被定直线l垂直平分，则称这种变换为对称变换，定直线l称为对称轴．对称变换有如下性质： ◎ 把图形变为与之全等的图形； ◎ 关于l对称的两点连线被l垂直平分． ② 平移变换 一平面到自身的变换，将平面上任一点P变换到P′，使得： ◎ 射线PP′有给定的方向； ◎ 线段PP′有给定的长度． 则称这种变换为平移变换．在平移变换下，图形变为与之全等的图形，直线变为与之平行的直线． 小学阶段：直观认识平移现象。 物体在直线方向上移动，本身没有发生方向上的改变 ③ 旋转变换 　一平面到它自身的变换，使原点O变换到它自身，其他任何点X变到X′，使得： ◎ OX′=OX； ◎ ∠XOX′=θ(定角)． 　则称这样的变换为旋转变换，O称为旋转中心．旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化． ④ 相似变换 　一平面到自身的变换，它把任一线段AB变成A′B′，且使在相似变换下，直线上的点变换为对应直线上的点，保持角度大小不变，线段长度保持比例关系． 2．思考与解决问题的方法　 （1）演绎推理（三段论法） 由一般到特殊的推理，大前提，小前提，结论。例如，正方形、平行四边形等面积公式的推导。 （2）合情推理——归纳推理、类比推理。 ① 归纳推理：由特殊性前提引出一般性结论的推理。又分为：完全归纳法、不完全归纳法、数学归纳法。 ◎ 完全归纳法：考虑一切特殊情况而作出的推理。如三角形内角和是180度的探索。 ◎ 不完全归纳法：根据几个特别情况作出的推理。在小学数学中，一般用的是不完全归纳法。如实验操作得出的结论，长方形、圆的面积公式，长方体、圆柱、圆锥的体积公式等。　 ◎ 数学归纳法：用有限解决无限的问题。 ② 类比推理：由特殊到特殊的推测方法。 数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。 在空间与图形内容的学习中，从直线到平面，从平面到空间，经常运用类比的方法。如从长度单位到面积单位再到体积单位。从求面积是求包含多少个面积单位，类比联想到求体积是求包含多少个体积单位。 3．投影、视图、直观图与观察物体 （1）投影：光线照射物体在平面上得到的影子。 ◎ 平行投影：由平行光线形成的投影。如太阳光照射物体的影子。其中，投影线垂直于投影面产生的投影叫正投影。 ◎ 中心投影：同一点发出的光线形成的影子。如灯泡发出的光照射物体的影子。 （2）视图：物体在平行光线下的正投影。 ◎ 三视图：从正面、左侧面、上面观察物体得到的视图，分别称为主视图、左视图、俯视图。 ◎ 直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形。 （3）观察物体：能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。 看到的形状实际上是投影或图像。对于小学生来说，有一定难度，可以比喻为照相得到的图像。一定要注意观察的位置，所观察物体的大小合适，保证是正投影，否则就变成了直观图。 二、统计与概率 1．事件的分类。 （1）确定事件：必然事件、不可能事件。 （2）随机事件　　 2．频率与概率的区别，概率的类型。 　　　　　　　　　　　　　　    ╱ 古典概型 随机事件→频数→　频率→　概率\ 　　　　　　　　　　　　　　     几何概型　 ◎古典概率模型：基本事件的个数有限，每个基本事件出现的可能性相等。 ◎几何概率模型：每个基本事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积）成比例。 3．概率的正确理解。 概率是理论上的精确值，但是随机事件在具体一次试验中发生与否是随机的，大量的试验就会体现出规律性。随机中有精确，精确中有随机。 　案例一：连续两次抛掷一枚硬币，一定是一次正面朝上、一次反面朝上吗？ 　案例二：某种彩票的中奖概率是1%，那么买100张彩票一定能中奖吗？ 　案例三：天气预报说降水概率是80%，一定下雨（雪）吗？