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“直线的倾斜角和斜率”教学设计(浙江)

2011-04-18  一亿监利
“直线的倾斜角和斜率”教学设计(浙江)
浙江省艾青中学 阮彩香

一、内容和内容解析

内容:直线倾斜角与斜率的概念,直线的斜率公式。

内容解析:本课是人教版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时,是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一,是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示,是平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式来研究直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等)的基础。通过该内容的学习,帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程,初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章,奠定基调,渗透方法的作用。

直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素,课本结合具体图形,在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念:当直线与x轴相交时,取x轴作基准,x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角,当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为零,这样,直线倾斜角α的范围是0°≤α180°

直线的斜率是表示直线倾斜程度的代数表示,课本借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”引出直线斜率的概念:一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。定义本身给出了直线的斜率与倾斜角的关系,沟通了刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示的关系。

直线可由两点来确定,坐标平面内的点由其坐标确定,因此直线的斜率就可以用直线上两点的坐标来表示,这就是经过两点直线的斜率公式,它沟通了直线斜率与点的代数表示的关系。

直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。因此,正确理解斜率概念,熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。

“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。

教学重点:抽象概括直线的倾斜角和斜率概念,探究发现过两点的直线的斜率公式。

二.目标和目标解析

目标:理解直线的倾斜角和斜率概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线的斜率公式。

目标解析:

1.在平面直角坐标系中,观察具体图形并结合动画演示,在探索描述直线的倾斜程度的几何要素中,抽象出直线倾斜角的概念,明确倾斜角的取值范围。

2.借助日常生活中表示倾斜面的“坡度”问题,引出描述直线倾斜程度的直线斜率的概念经历用代数方法刻画直线斜率的过程,明确倾斜角和斜率之间的关系

3.在探究直线的斜率与直线上两点坐标关系的过程中,掌握过两点的直线的斜率公式的特点,能根据斜率的两个计算公式,求直线的斜率。

4.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生了解解析几何的“坐标法”思想和基本研究方法,进一步体会“数形结合”的思想方法。

三.教学问题诊断分析

1.两点确定一条直线,这是学生知道的,但就已知一点再需要增加什么量才能确定直线,以及如何来刻画这个量,对学生来说有点困难,所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的区别,从中形成倾斜角的概念。

2.对斜率概念的理解是本节的难点,学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向,而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的,而斜率却不这样,另外,为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生来说也有一定困难,教学中通过日常生活的例子,充分利用学生已有的知识(坡度概念),引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来,并通过坡度的计算方法,引入斜率的概念。

教学难点:倾斜角概念形成,斜率概念的理解。

四.教学条件支持

为了有效实现教学目标,考虑到学生的知识水平和理解能力,借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片,从激励学生探究入手,讲练结合,直观演示能使教学更富趣味性和生动性。

五.教学过程设计

(一)开篇语

引导性语言:在初中,不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示,开口向上或向下的抛物线可以用二次函数来表示,这样就把对图形的研究转化为对函数的研究,这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁,把几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何,它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。课后请同学们阅读课本P111《笛卡儿与解析几何》,进一步了解关于解析几何的介绍。

那么如何用代数的方法表示平面中其它简单图形?如与x平行或垂直的直线,开口向右或左的抛物线,圆等等。

设计意图:通过对已有知识及思想方法的回忆,寻找新的知识“生长点”,引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。

(二)课题引入

引导性语言:我们先研究坐标平面内最简单的图形——直线。为此,我们先探索确定直线位置的几何要素,然后在坐标系中用代数的方法把几何要素表示出来

设计意图:使学生明确本课学习的内容。

(三)探究新知

1.倾斜角概念

问题1如图1,对于平面直角坐标系内的一直线l,你认为它的位置由哪些条件确定?

设计意图:明确思维方向,探索确定直线位置的几何要素。

师生活动:引导学生发现:两点确定一条直线,过一点不能确定一条直线。 

  

问题2如图2在直角坐标系中,过点P1的不同直线的区别在哪里?

设计意图:引导学生发现过定点的不同直线,其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线

问题3在直角坐标系中,任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度,可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢?

设计意图:探索描述直线的倾斜程度的几何要素由此引出倾斜角的概念

  

问题4依倾斜角的定义,倾斜角的范围是什么?

设计意图:让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α180°

问题5任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直线其倾斜角一定不相同吗?你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么?

设计意图:使学生理解确定一条直线位置的几何要素是:直线上的一个点以及它的倾斜角,两者缺一不可。

2.斜率概念

引导性语言:我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素,那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢?

设计意图:告知目标,明确思维的方向,将几何要素代数化。

问题6在日常生活中,我们有没有碰到过表示倾斜程度的量?

设计意图:基于学生的客观现实,结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法

师生活动:引导学生在生活中举例,比如,山坡,楼梯等,教师适时给出游乐场里的水滑梯,大桥的引桥等教学情景。

   

问题71)观察图56,我们发现坡越陡,坡面与地平面所成的角越大,你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关?(2)观察图7,坡面与地平面所成的角不变的情况下,升高量和前进量都在变化,那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系?能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系?

问题8从上面的讨论,我们发现,如果使用“倾斜角”的概念,“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”,由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度?

设计意图:探索描述直线的倾斜程度的代数表示,由此引出斜率概念

 

问题9是否每条直线都有斜率?倾斜角不同,斜率是否相同?由此可以得到怎样结论?

设计意图:沟通数形关系,加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。

3.斜率公式

问题10两点确定一条直线,直线确定,倾斜角也就确定,斜率也就确定了,那么直线的斜率可以用直线上两点P1(x1,y1), P2(x2, y2)(其中x1x2的坐标来表示,你能自己导出它们的关系吗?

设计意图:让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。

     

问题11当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?

  

设计意图:通过自己的探索,完善两点式斜率公式k=x1x2,检验得到公式与P1P2两点的顺序无关。

师生活动:总结两点式斜率计算公式:k=x1x2)。

(四)应用举例

1.如下图,已知A(32),B(-41),C0-1,求直线ABBCCA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

设计意图:直接利用斜率定义式求解,熟悉斜率公式,并体验斜率与倾斜角之间的关系。

    

变式1.直线的斜率为k,倾斜角为α,若α,则k的范围是(   

A.-11 B.-∞-1∪(1+∞C.[-11] D. -∞-1][1+∞

变式2.设直线的斜率为k,倾斜角为α,若-1<k<1,则α的取值范围是            

A.(-,   B.    C.0∪(D.

设计意图:根据斜率的定义式,结合图象,熟悉倾斜角和斜率的关系。

2.在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1-1,和2的直线。          

设计意图:要求学生画图,体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。

 

(五)课堂小结

1在本节课中,你学到了哪些新的概念?他们之间有什么关系?

2怎样求出已知两点的直线的斜率?

3)从倾斜角(形)能刻画直线的倾斜程度,到斜率(数)也能刻画直线的倾斜程度,这个过程中主要体现了什么数学思想?

 

设计意图:培养学生反思的习惯,鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括。

师生活动:让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法:倾斜角(形)和斜率(数)。利用确定直线的两种方法,归纳出求斜率的两个计算公式。倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。

六、目标检测设计

1.已知直线的倾斜角为α,若sinα=,求此直线的斜率。

2.已知直线y=xsinθ-1,求该直线倾斜角范围。

3.在x轴上有一点PQ2)倾斜角为150o,求点P坐标。

4.求证:点A-23),B76),C45)在一条直线上。

设计意图:通过训练,巩固本课所学知识,检测运用所学知识解决问题的能力。

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