数学教案:下学期 5.3实数与向量的积2
(第二课时) 一。教学目标 1。了解平面向量基本定理的证明。掌握平面向量基本定理及其应用; 2。能够在解题中适当地选择基底,使其它向量能够用选取的基底表示。 二。教学重点:平面向量基本定理 教学难点:理解平面向量基本定理。 三。教学具准备 直尺、投影仪。 四。教学过程 1。设置情境 上节课我们学习了共线向量的基本定理,通过它们判定两个向量是否平行,而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来。这个非零向量叫基向量。那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢?如果是这样的话,对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了。 2。探索研究 师:向量 与非零向量 生:有且仅有一个实数 ,使得 师:如何作出向量 ? 生:在平面上任取一点 ,作 , ,则 师:对!我们知道向量 是向量 平面向量基本定理:如果 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , 使 我们把不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 的确定是由平面几何作图得到的,同时也应用了上节课的共线向量基本定理。②对该定理重在使用。 下面看例题 【例1】已知向量 、 ,求作 。 【例2】如图所示, 的两条对角线相交于点,且 , ,用 、 表示 、 和 ? 解:在 中 ∵ ∴ 说明:①这些表示方法很常用,要熟记 ②用向量法讨论几何问题,关键是选取适当的基向量表示其他向量,本题的基底就是 、 ,由它可以“生”成 , ,……。 【例3】如图所示,已知 的两条对角线 与 交于 , 是任意一点,求证 证明:∵ 是对角线 和 的交点 ∴ , 。在△ 中, 同理: 相加可得: 注:本题也可以取基本向量 , , , ,利用三角形中线公式(向量),得 两种表示方式: ① ② ①+②得 证毕。 【例4】如图所示 、不共线, ( ),用 , 表示 。 解 ∵ ∴ 说明:①本题是个重要题型:设 为平面上任一点。 则: 、 、 三点共线 或令 , 则 、 、 三点共线 (其中 ) ②当 时, 常称为△ 的中线公式(向量式)。3。演练反馈 (1)命题 :向量 与 :有且只有一个实数 ,使 ;则 是 的( ) A。充分不必要条件 B。必要不充分条件 C。充要条件 D。不充分不必要条件 (2)已知 和 不共线,若 与 的值等于____________。(3)如图△ 中,点 是 的中点,点 在边 上,且 , 与相交于点 ,求 的值。 参考答案: (1)B (2) (3)解:(如图)设 |
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