所属专辑：一轮复习高考数学易混易错88点 高考复习讲义数学编辑部  笔记简介 平面向量·易混易错7点 易错点1：忽视零向量的性质致误
下列叙述错误的是 . ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同; ③|a|+|b|=|a+b|?a与b方向相同; ④向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa; ⑤ + =0; ⑥若λa=λb,则a=b.  【易错分析】 忽视零向量的特殊性,是本题出错的主要原因,本题前四个结论都与此有关;另外,两个相反向量的和是一个零向量,不是数零;最后一个结论忽视了λ=0的情况. 【正确解答】 对于①,当b=0时,a不一定与c平行. 对于②,当a+b=0时,a+b的方向是任意的,它与a,b的方向都不相同. 对于③,当a,b之一为零向量时结论不成立. 对于④,当a=0且b=0时,λ有无数个值;当a=0但b≠0时,λ不存在. 对于⑤,由于两个向量之和仍是一个向量, 所以 + =0. 对于⑥,当λ=0时,不管a与b的大小与方向如何,都有λa=λb,此时不一定有a=b.故填①②③④⑤⑥. 数0与零向量的区别:0的模是0,方向任意,并不是没有方向;0与任意非零向量平行;λ0=0,而不是等于0;0与任意向量的数量积等于0,即0·a=0. 零向量的方向不确定,所以在处理平行问题时,一般规定零向量与任何一个向量平行.在讨论两个向量共线时,考生容易忽视零向量. zhuangyuanbiji
零向量的特殊性 零向量是向量中最特殊的向量,规定零向量的长度为0,其方向是任意的,零向量与任意向量都共线. 易错点2：对向量线性运算的几何意义理解不透彻致误
已知△ABC和点M满足 + +=0.若存在实数m使得+=m成立,则m= A.2 B.3 C.4 D.5 【易错分析】 本题主要考查向量的有关运算以及向量运算的几何意义.求解该题时容易出现两个问题:一是不能根据++=0分析出点M与△ABC之间的关系,二是不能灵活利用三角形的性质和向量运算的几何意义找出,与之间的关系. 【正确解答】 由++=0,知点M为△ABC的重心,设点D为边BC的中点,则由向量加法,可知 . 由重心的性质,可知||=||, 而且与同向,故=, 所以=×(+)=(+), 所以+=3,故m=3,故选B. zhuangyuanbiji
向量线性运算的注意点 对于向量加法运算:一是两个向量的和仍是一个向量;二是利用三角形法则进行加法运算时,两向量要首尾相连,和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点,利用平行四边形法则进行加法运算时,两向量要有相同的起点;三是当两个向量共线时,三角形法则仍适用,而平行四边形法则不适用. 对于向量减法运算:一是向量减法的实质是加法的逆运算,两个向量的差仍是一个向量;二是利用三角形法则求差向量时,两个向量要有共同的起点,然后连接两向量的终点,并指向被减向量. 对于向量数乘运算:一是实数和向量可以求积,但不能求和或求差;二是λ=0或a=0可以推出λa=0. 易错点3：忽视平面向量基本定理的使用条件致误 已知=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上? 【易错分析】 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决,但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当a,b共线时,t可为任意实数这个解. 【正确解答】 由题设,知=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. ①若a,b共线则t可为任意实数; ②若a,b不共线,则有解得t=. 综上,可知a,b共线时,t可为任意实数;a,b不共线时,t=. 平面向量基本定理是建立向量的坐标表示的基础,它保证了向量与坐标是一一对应的,在应用时考生应该注意构成基底的两个向量是不共线的. 考生应该注意向量共线与直线共线的区别,向量共线是指向量所在的直线平行或者重合,而直线共线是指它们重合. zhuangyuanbiji
平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.特别地,当a=0时,λ1=λ2=0.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,再通过向量的线性运算来解决问题.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便. 易错点4：向量的模与数量积的关系不清致误
已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-kb|=|ka+b|,其中k>0. (1)试用k表示a·b,并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值; (2)当a·b取得最大值时,求实数λ,使|a+λb|的值最小,并对这一结果作出几何解释. 【易错分析】 本题可以通过对已知条件两端平方解决,容易出现的问题第一个是对向量的模与数量积的关系理解不清导致错误,如认为|a-kb|=|a|-|kb|或|a-kb|2=|a|2-2k|a||b|+k2|b|2等都会得出错误的结果.第二个易错之处就是在得到a·b=-后,忽视了k>0的限制条件,求错最值. 【正确解答】 (1)由|a-kb|=|ka+b|?(a-kb)2=3(ka+b)2?a·b=-(k>0). 所以a·b=-(k+)≤-, 当且仅当k=1时取等号. 所以a·b的最大值为-, 此时cos θ=-,θ=. 综上所述,a·b=-(k>0),a·b的最大值为-,此时a与b的夹角θ的值为. (2)由题意,a·b的最大值为-,此时|a+λb|2=λ2-λ+1=(λ-)2+, 所以当λ=时,|a+λb|的值最小,此时(a+b)·b=0,这表明(a+b)⊥b. 数量积的运算要注意a=0时,a·b=0,但a·b=0时不能得到a=0或b=0,因为a⊥b时,也有a·b=0 向量的数量积运算不同于两个实数积的运算,中间的“·”不能省略. 向量的坐标与点的坐标的表示形式不同,向量的坐标的表示形式是先写向量的名称,然后写等号,再写它的坐标;而点的坐标的表示形式中,点的名称和它的坐标之间不能写等号. zhuangyuanbiji
向量的模与数量积 向量的数量积有两种表示形式:一是按定义表示为a·b=|a||b|cos θ,二是用坐标表示为. 求解向量数量积主要有三种方法:一是直接用定义式来转化;二是建立直角坐标系,转化为坐标运算;三是以某两个不共线向量作为平面上所有向量的一组基底,借助三角形法则,将要求的向量转化为基底的和或差,从而使问题得到解决.求较复杂的向量数量积的运算时,可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简,然后进行计算. 向量的模与数量积之间有关系式|a|2=a2=a·a,这是一个简单但容易用错的公式.由此还可以得出 |a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2, |a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2, |a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2c·b等公式. 同时要注意实数范围内的一些重要结论在向量范围内仍然成立,如(a+b)·(a-b)=a2-b2. 易错点5：向量的坐标运算不准致误
已知向量,k,t为正实数,x=a+(t2+1)b,y=-a+b. (1)若x⊥y,求k的最大值; (2)是否存在k,t,使x∥y?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由. 【易错分析】 本题最易出错的是向量的坐标运算,如计算向量x,y时,数与向量的乘积只乘向量在x轴或y轴上的坐标;坐标形式的向量进行加减运算时,漏掉其中的某个坐标;当向量x,y垂直时数量积的运算错误,向量x,y平行时,向量的坐标之间的关系用错等.如把x∥y的条件“两个向量坐标交叉相乘之差等于零”错写成“交叉相乘之和等于零”,即(-2t2-1)(-+)+(t2+3)(--)=0,其结果是k=,这样只要给正数t一个大于的值,就得到一个正数k,其结果就是存在的. 【正确解答】 x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(--,-+). (1)若x⊥y,则x·y=0,即(-2t2-1)(--)+(t2+3)·(-+)=0, 整理得k==≤,当且仅当t=,即t=1时取等号, 所以kmax=. (2)假设存在正实数k,t,使x∥y,则(-2t2-1)(-+)-(t2+3)(--)=0,化简得+=0,即t3+t+k=0. 因为k,t是正实数,故满足上式的k,t不存在. 所以不存在k,t,使x∥y. 向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关. zhuangyuanbiji
向量的坐标运算 (1)在向量坐标化的前提下，如向量加法、减法、书城及向量的模都可以进行代数运算.如设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=.特别注意两向量相减时坐标的顺序. (2)用坐标形式来计算数量积是最常用的方法,一要熟悉数量积的坐标运算,防止运算上的错误,设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2;二要熟悉两向量的夹角公式cos θ=,在计算两向量夹角为锐角或钝角这类问题时,要注意排除共线的情况;三要了解两向量垂直的充要条件,设两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0. 易错点6：向量夹角范围不清致误 已知两向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2所成的角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2所成的角为钝角,求实数t的取值范围. 【易错分析】 两个向量所成角的范围是[0,π],两个向量所成的角为钝角,容易误认为两向量所成角为π时,所成的角也是钝角,导致所求的结果范围扩大. 【正确解答】 设向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为θ,由θ为钝角，知向量 ,故(2te1+7e2)·(e1+te2)=2t +(2t2+7)e1·e2+7t=2t2+15t+7<>解得-7t<>. 若向量2te1+7e2与向量e1+te2反向,则2te1+7e2=k(e1+te2)(k<> 从而且k<>解得即当t=-时,两向量所成的角为π. 所以t的取值范围是(-7,-)∪(-,-). 利用数量积的符号判断两向量的夹角取值范围时,不要忽视两向量共线的情况.若a·b<>则a,b>∈(,π];若a·b>0,则a,b>∈[0, ). 两个非零向量的夹角范围为[0,π],当两个非零向量共线时,它们的夹角可能为0,也可能为π. zhuangyuanbiji 解题时要全面考虑问题,数学试题中往往隐含着一些容易被考生忽视的因素,在解题时把这些因素考虑在内,是成功解题的关键,如【典例6】中的θ=π的情况,再如当已知两个向量所成的角为锐角时,要注意角等于零的情况. 易错点7：不能区分实数运算与向量运算致误
已知非零向量a,b满足a+3b与7a-5b互相垂直,a-4b与7a-2b互相垂直,则a与b的夹角为 . 【易错分析】 本题由向量互相垂直得到数量积为0的方程组使问题得解.但在进行运算时,由b2=2a·b得到b=2a是错误的,而导致计算出错. 【正确解答】 设a与b的夹角为θ,则cos θ= , 由已知条件,得 即 由②-①可得23b2-46a·b=0,即b2=2a·b, 代入①得a2=b2, 即|a|=|b|, 所以cos θ= = . 而θ∈[0,π],则有θ= .故填.
向量a与b的数量积是一个数,但它不同于两个数的乘积,它的大小不仅与两个向量的模相关,还与两个向量的夹角θ有关,即a·b=|a||b|cos θ.对于两个非零向量a与b,它们的夹角θ的取值范围是[0,π],应特别注意θ=0或θ=π的情况,如θ∈(0, )是a·b>0的充分不必要条件;θ∈(,π)是a·b<>的充分不必要条件;θ=是a·b=0的充要条件. zhuangyuanbiji
向量的数量积运算与数的运算的区别 向量的数量积运算的结果虽然是实数,但数量积运算与数的运算不同,数量积运算的结果由两个向量的模与它们的夹角确定,向量数量积的运算规律类似多项式的乘法.利用向量解决问题时,可以通过建立直角坐标系将其转化为坐标运算即数的运算来解,也可以利用向量运算的几何意义,通过向量的基本运算将其转化为平面图形中的相关问题来解决. |
