利用向量统一正、余弦定理的证明

利用向量统一正、余弦定理的证明

沂水县第二中学  王文正   2011年7月13日 10:59

 

       正、余弦定理是解三角形强有力的工具，关于这两个定理有好几种不同的证明方法，人教版是用向量的数量积（内积）给出证明的，在证明正弦定理时用到：作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积，这种构思方法过于独特，不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义，利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明，方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,则

（1）（正弦定理）==；

（2）（余弦定理）

c²=a²+b²-2abcos C,

b²=a²+c²-2accos B,

a²=b²+c²-2bccos A。

证明：建立如下图所示的直角坐标系，则A=（0，0）、B=（c,0），又由任意角三角函数的定义可得：

C=（bcos A,bsin A），以AB、BC为邻边作平行四边形ABCC′，则∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))

=C′（-acos B,asin B）。

根据向量的运算：

=（-acos B,asin B），

=-=（bcos A-c,bsin A）,

（1）由=：得

asin B=bsin A,即

=。

同理可得：=。

∴==。

(2)由=（b-cos A-c）²+(bsin A)²=b²+c²-2bccos A，

又||=a,

∴a²=b²+c²-2bccos A。

同理：

c²=a²+b²-2abcos C；

b²=a²+c²-2accos B。