改进解题教学，减少学习疑难

改进解题教学，减少学习疑难

杨飞

【专题名称】高中数学教与学
【专 题 号】G312
【复印期号】2011年03期
【原文出处】《中学数学》(武汉)2010年11上期第3～5页
【作者简介】杨飞，重庆南开中学(400030)。
【关 键 词】EEUU

    数学教育是以教会学生解答数学问题为重要目标，数学教育离不开数学解题教学。然而，提高教师的解题教学能力的有效途径首先是提高教师的解题能力。一些知名的数学家和数学教育专家也重视解题研究，美籍匈牙利数学家波利亚的《怎样解题》和《数学的发现》是数学解题学名著，对怎样解题给出了精彩论述。但是，很多中学教师不重视解题研究，一些教学论文中的数学实例的解答方法非常笨拙，给学生学习制造困难。面对教学中的这些疑难，有的教师埋怨学生笨，有的老师从教育学和心理学角度寻找原因，把原因归咎于课程设置、知识呈现以及学习心理等层面，对自己的解题教学方法缺乏反思。笔者认为落后的解题教学会给学生制造学习障碍，良好的解题教学可以减少学生学习疑难。
    1.落后的解题教学会给学生制造障碍
    文[1]提出一个问题：已知x∈[-1，1]时，恒成立，求实数a的取值范围。
    作者调查所教的两个班，发现此题难度系数为0.21。对于这个疑难问题成因，作者从课程设置、教学过程、解题方法和学习过程等四个角度进行分析。在“从解题方法的角度分析”中作者这样写到：“……要清楚这类问题对很多学生而言是个巨大挑战，在处理时切不可‘滑过’，而是要‘循序渐进’——从具体到抽象、从特殊到一般。要引导学生把如下解题原理理解透。”最后作者重点阐述了“为什么要数形结合？”“为什么要分类讨论？”这两个问题。
    作者采取数形结合和分类讨论的解题教学方法，渗透了数形结合思想和逻辑分类思想，给教育研究者的感觉是分类全面，既传授了知识又渗透了数学思想，有广度、有厚度，应该称为“优秀教学方法”。但是，这样的文章给教学一线的数学老师感受是“荒唐可笑”，一定会质问：
    (1)此问题一定要分类讨论吗？
    作者认为“该问题的对称轴与给定区间的位置关系不确定，需要对对称轴的不同情形进行分类讨论。”我们想：这个问题不是探究对称轴与区间的位置关系，而是探究函数的最小值，凭什么要去讨论对称轴与区间的位置关系？这个问题不分类真的就不能解答吗？显然，这是对解题缺乏研究的人的观点。
    (2)此问题一定要数形结合吗？
    作者认为“函数的最值对应的图象特征是图象的最高点和最低点，……求二次函数在区间上最值，利用数形结合就会显得直观，非常有利于高效地解决问题。”笔者认为利用数形结合解题确实直观，但未必高效。因为作图本身就是一个缓慢的过程，况且此题容易知道最小值不是区间端点就是抛物线顶点，既然知道最小值的位置，还采取数形结合来直观描述，这是画蛇添足，绝对不可能提高解题效率。
    (3)按二次函数对称轴与区间的位置关系进行分类，学困生能想到吗？即使想到分类，学生能全面考虑对称轴在区间左边、区间右边、区间中间这三种情形吗？采取数形结合，作图、观察、求函数最值，这一系列问题，加上冗长的解答篇幅，中差生和学困生有没有心理压力？优秀学生面对简单问题复杂化的解答，能坚持听下去吗？
    下面给出一种简单解答。
    
    这样解答的优点是：
    (1)当x∈[-1，1]时，f(x)＞0恒成立，等价于，学生容易理解，如果学困生不能理解，可以这样举例说明：某班数学考试成绩＞60恒成立，等价于某班数学考试成绩最低分＞60。贴近生活，浅显明了，即使学困生也不会有障碍。
    (2)二次函数f(x)在[-1，1]区间上的最小值不是端点就是顶点，所以也容易理解，如果学困生不能理解，再作草图说明，绝对不会形成思维障碍。
    (3)所有恒成立问题都可以类似转化为，这种解法是通法，可以达到解一题通一片的效果。
    此问题本是一个简单问题，由于教师落后的解题教学，使问题的难度系数达到0.21，这种疑难问题，与课程设置和学习心理毫无关系，完全是教师人为制造的困难。
    2.良好的解题教学可以减少学生学习疑难
    二次函数根的分布问题是中学教学中一个重要问题，为了便于学生学习，老师通常将问题分类细化，数形结合，逐个讲解以下七种情形的充要条件，最后要求学生牢记。
    令(a＞0)，方程f(x)=0的两根为。
    (1)在(m，n)内有且仅有一个根的充要条件；
    (2)在(m，n)内有两个不相等的实根的充要条件；
    (3)两个根都大于m的充要条件；
    (4)两个根都小于m的充要条件；
    (5)一个根小于m，另一个根大于m的充要条件；
    (6)一个根小于m，另一个根大于n的充要条件；
    (7)一个根在(m，n)内，另一个根在(p，q)内的充要条件。
    以上解题教学方法在中学教学中非常普遍，网络和杂志上的论述屡见不鲜。这种解题教学方法。从分类角度看，全面细致。从数学教育角度看，渗透了数形结合思想和逻辑分类思想。很象一种优秀的解题教学方法。但是，有经验的教师一定会发现：
    (1)从图形上观察出充要条件是否正确，在数学上有理论依据吗？学生如何判断是充要条件还是必要条件？
    (2)学生真的能牢记七种情形的充要条件吗？一个月或者一年后，学生还能记住吗？各种情形怎么记忆才能不混淆？
    (3)即使学生能牢记七种情形的充要条件，他们是否真的能理解和灵活运用？出现其他情形该如何转化呢？例如，在(m，n)内有根就不属于以上七种情形。
    教学中发现很多优秀学生问：“有些情形不考虑判别式，有些情形要考虑判别式，有些情形不考虑对称轴，有些情形要考虑对称轴。我们如何判定对称轴和判别式的取舍？”于是老师又补充，根的分布问题主要从三个角度思考：第一，考虑端点函数值的符号；第二，考虑对称轴的位置；第三，考虑判别式的取舍。有些老师讲得更细致，通过图象左右平移来考虑是否需要对称轴，通过图象上下平移来考虑是否需要判别式。结果学生不到一个月时间就忘记了。可见，上述解题教学方法不便于学生学习，此问题确实是一个教学难题。
    下面将此解题教学方法改进如下。
    根的存在性定理：已知函数f(x)在[a，b]上连续，如果f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在[a，b]上至少存在一个根。
    推论1　函数，若f(m)f(n)≠0，那么方程f(x)=0在(m，n)上有且仅有一个根的充要条件是f(m)f(n)＜0。
    教学中重点讲解根的存在性定理和推论1，最后教学生把根的各种分布情形转化为推论1。
    这种解题教学的优点是：
    (1)大大减少了学生的记忆量，便利于学生持久记忆。
    (2)此方法不仅给出解答的理论依据——根的存在性定理，而且所有情形都可以转化为推论1，体现各种情形之间的内在联系。举例说明：
    
    对于此问题的解答，传统教学方法都是牢记模型，分类求解。由于情形太多，不利于学生持久记忆，使问题成为一个难以突破的教学难题。但是，通过解题教学方法的改进，大大减少了记忆量，不仅降低了教学难度，还培养了学生的转化思想，提高了学习效率。
    3.提高教师解题教学能力的途径
    3.1　强化数学功底，提高解题能力
    在教学实践中，需要解答很多数学问题，或多或少会遇到一些数学难题，如果教师不能回答学生提出的问题，就失去了“解惑”的能力，也不可能具备高超的解题教学能力。要解答教学中的数学难题，依靠教育学和心理学是不可能的，教师必须强化自己的数学功底，提高解题能力。提高解题能力常见方法是：
    ①认真阅读和研究高等学校试用教材《初等代数研究》和《初等几何研究》；
    ②坚持不懈地学习和研究各种初等数学杂志的解题方法；
    ③研究各种杂志和网络上的数学竞赛试题、有奖征解问题和数学猜想；
    ④学习和研究各种初等数学问题，坚持创作、投稿。
    3.2　研究难题教学，从解题方法上寻找突破口
    数学教学中有很多难题，有的问题过于抽象，学生难以理解；有的问题太过复杂，学生难以掌握；有的问题解答方法落后，学生容易失误。要解决这些教学难题，教育理论不可能给予帮助，了解学生认知规律也没有作用，最有效的方法就是从数学解题学上寻找答案。让抽象的问题具体化，让复杂的问题简单化，让落后的解题方法最优化，努力研究一种既便于学生理解和记忆，又便于学生掌握和操作的数学方法，以高超的解题方法来实现高超的教学技艺。
    3.3　集思广益，改进落后的解题方法
    前文中提到的“二次函数区间最值问题”和“一元二次方程实根的分布”，“分类讨论”的解题方法代代相传，每个老师都这样教，每个学生都感觉难学，一批又一批学生重复着别人的错误，这样的经典难题在数学教学中并不少见，要改进落后的解题教学方法，仅靠教师个人努力是不够的，需要教师敞开胸怀，互相交流，集思广益，才能突破传统对思维的禁锢，发现高超的解题教学方法。