勾股定理中数学思想的运用

核心提示：勾股定理是中考的重要考点之一，其中蕴含着多种数学思想，而数学思想是数学解题的“灵魂”，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，而熟练的运用这些数学思想则可提高独立分析问题和解决问题的能力. 现把勾股定理中运用到的数学思想总结如下：

一.勾股定理中方程思想的运用

方程思想是指：在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决。

例题1．如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）

分析：折叠问题是近几年来中考中的常见题型，解折叠问题关键抓住对称性，图中CD在Ｒt△ACD中，由于AC已知，要求CD，只需求AD，由折叠的对称性，得AD=BD，注意到CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之。

解：如右图所示，要使A，B两点重合，则折痕DE必为AB的垂直平分线。连结AD，则AD＝BD。设CD＝x，则AD=BD=10－x．在Rt△ACD中，由勾股定理，得故选D。

点拨：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解。

二.勾股定理中分类讨论思想的运用

分类讨论思想是指：在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决。最后综合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法。

例题2．已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，求△ABC的面积。

分析：应分△ABC是锐角三角形或钝角三角形两种情况分别求之。

解：AD是△ABC的高，由勾股定理，得

BD² = AB² – AD² = 20² – 12² = 256, ∴BD = 16

CD² = AC² – AD² = 15² - 12² = 81, ∴CD = 9

（1）若∠C为锐角，如图（1）所示，

则BC = BD + CD = 16 + 9 = 25

（2）若∠C为钝角，如图（2）所示，

则BC = BD – CD = 16 – 9 = 7

即△ABC的面积为150或42

点拨：在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不惟一时，要注意分情况进行讨论，避免漏解。

三.勾股定理中类比思想的运用

类比思想是数学学习的重要发现式思维，它是一种学习方法，同时也是一种非常重要的创造性思维。它通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性，去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性。从而大胆猜想得到结论(必要时要加以证明)。

例题3．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃

（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之间有什么关系？(不必证明)

（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系并加以证明

分析：从同学们熟悉的勾股定理入手，①②容易得证，③中要求出等边三角形的面积。

解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为α、b、c，则c² = α² + b²

（1）S₁ = S₂ + S₃

（2）S₁ = S₂ + S₃．证明如下：显然，

点拨：本题从特殊到一般，从已知到未知，类比勾股定理的探究过程，其关键就在于理解勾股定理．当然，学习了相似三角形的知识后，还可以继续探究：分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，上述结论是否还成立呢？

四.勾股定理中整体思想的运用

整体思想是指：对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解；如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目。

例题4．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S₁、S₂、S₃、S₄，则S₁＋S₂＋S₃＋S₄=_____．

分析：本题不可能求出S₁、S₂、S₃、S₄，但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S₁＋S₂、S₂＋S₃、S₃＋S₄

解：易证Rt△ABC ≌ Rt△CDE ∴ AB = CD

又∵CD² + DE² = CE²,而AB² = S₃,CE² = 3,DE² = S₄

∴S₃ ＋ S₄ = 3，同理S₁ ＋ S₂ = 1，S₂ ＋ S₃ = 2

∴S₁ ＋ S₂ ＋ S₂ ＋ S₃ ＋ S₃ ＋ S₄ = 1 ＋ 2 ＋ 3 = 6，即S₁ ＋ S₂ ＋ S₃ ＋ S₄ ＝ 4

点拨：化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力。

五.勾股定理中数型结合思想的运用

所谓数形结合思想，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的。

例题5．在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？

分析：根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解。

解：如右图所示，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m

设BD的长是xm，则树高（x + 10）m

∵AC + AB = BD + DC，∴DC = 20 + 10 – x

∵在△ACD中∠A = 90°，∴AC² + AD² = DC²

∴20² +（x + 10）² = （30 –x）²，解得x = 5

∴x + 10 = 15，即树高15米

点拨：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系。利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决。

数学思想方法是解决数学问题的灵魂。在运用勾股定理解题时，更应注重思想方法的运用，以提高独立分析问题和解决问题的能力。