八年级数学勾股定理解题技巧专题训练

一、勾股定理与面积问题

1、 三角形中利用面积法求高

例题1、直角三角形的两条直角边的长分别为 5 cm，12 cm，则斜边上的高线的长为 (D ) 。

A、80/13 cm B、13 cm C、13/2 cm D、60/13 cm

例题2、点 A 、B、 C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为 1 ，则点 C 到线段 AB 所在直线的距离是多少？。

第2题图

答案：3√5 / 5 。

解析：如图，连接 AC，BC，设点 C 到线段 AB 所在直线的距离是 h ；

第2题解答图

∵ S△ABC = 3×3 - 1/2 × 2×1 - 1/2 ×2×1 - 1/2 × 3 × 3 - 1 = 3/2 , AB = √5 ,

∴ 1/2 × √5 × h = 3/2 解得 h = 3√5 / 5 。

2、利用乘法公式巧求面积或长度

例题3、已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则 Rt△ABC 的面积是 (D ) 。

A、48 cm2 B、24 cm2 C、16 cm2 D、11 cm2

例题4、若一个直角三角形的面积为 6 cm2，斜边长为 5 cm，则该直角三角形的周长是 (D )。

A．7 cm B、10 cm C、(5＋√37 ) cm D、12 cm

例题5、 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a，较短直角边长为 b，若 (a＋b)^2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( C ) 。

第5题图

A、3 B、4 C、5 D、6

3、利用割补法求面积

例题6、 如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形 ABCD 的面积。

第6题图

解：

第6题答图

连接 AC，过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 于点 E

∵ AB⊥BC ∴ ∠CBA＝90° .在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝13

.∵ CD＝13，∴ AC＝CD

.∵ CE⊥AD，∴ AE＝ 5

.在 Rt△ACE中，由勾股定理得 CE＝12

.∴ S四边形ABCD＝ S△ABC ＋ S△CAD = 30 + 60 = 90 。

例题7、如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形 ABCD 的面积 。

第7题图

解：延长AD，BC交于点 E

.∵ ∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°

∴ AE＝2AB＝8 在Rt△ABE中，由勾股定理得 BE = 4√3 。

∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，

∴CE＝2CD＝4 在 Rt△CDE 中，由勾股定理得 DE＝4√3 。

∴ S四边形ABCD = S△ABE - S△CDE = 1/2 × AB × BE - 1/2 × CD × DE = 6√3 。

二、勾股定理中的思想方法

1、分类讨论思想

① 直角边与斜边不明需分类讨论

例题8、一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以 x 为边长的正方形的面积为 （C）。

A、13 B、5 C、13 或 5 D、4

例题9、直角三角形的两边长是 6 和 8，则这个三角形的面积是 24 或 6√7 。

② 锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论

例题10、在△ABC中，AB＝10，AC＝2√10，BC 边上的高 AD＝6，则BC的长为 (C )。

A、10 B、8 C、6 或 10 D、8 或 10

例题11、在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC 的面积为10，则 BC＝ 2√5 或 4√5 。

2、方程思想

① 实际问题中结合勾股定理列方程求线段长

例题12、如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________。

第12题图

答案： 17 m 。

② 折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长

例题13、如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的长。

第13题图

解：

∵ 折叠前后两个图形的对应线段相等

∴ CF＝C′F ， 设 BF＝x .∵ BC＝9，∴C′F＝CF＝BC－BF＝9－x.

∵ C′ 是 AB 的中点，AB＝6，∴ BC′＝ 3

在Rt△C′BF 中，由勾股定理得 C′F^2＝BF^2＋C′B^2，即(9－x)^2＝x^2＋3^2，

解得 x＝4，即BF的长为 4 。

③ 利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长

例题14、如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积。

第14题图

解：

第14题答图

过点 A 作 AD⊥BC 交BC 于点 D

在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设 BD＝x，则CD＝BC－BD＝14－x；

在Rt△ABD 和 Rt△ACD中，由勾股定理得

AD^2＝AB^2－BD^2＝15^2－x^2，

AD^2＝AC^2－CD^2＝13^2－(14－x)^2，即15^2－x^2＝13^2－(14－x)^2，

解得 x＝9，在Rt△ABD中，由勾股定理得 AD＝12

∴ S△ABC＝1/2 BC·AD＝1/2 × 14 ×12＝84。

3、利用转化思想求最值

例题15、一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是________cm。

第15题图

答案：4√5 。

例题16、如图，A，B两个村在河CD的同侧，且AB＝√13 km，A，B两村到河的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km。现要在河边CD上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元。请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)。

第16题图

解：

第16题答图

如图，作点 A 关于 CD 的对称点 A′，连接 BA′ 交 CD 于 O，点 O 即为水厂的位置。

过点A′ 作 A′E∥CD 交 BD 的延长线于点 E，过点 A 作 AF⊥BD 于点 F，则AF＝A′E，DF＝AC＝1km，DE＝A′C＝1km。

∴ BF＝BD－FD＝3－1＝2 (km)。

在Rt△ABF中，AF^2＝AB^2－BF^2＝13－22＝ 9，∴AF＝3 km ∴ A′E＝3 km。

在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝4 km，由勾股定理得A′B＝ 5 (km)。

∴W＝3000×5＝15000(元)，故铺设水管的总费用为15000元。