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圆柱和圆锥的体积

2011-11-08  吉祥鸟7270

小学数学总复习专题讲解及训练(五)

主要内容

圆柱和圆锥的体积

学习目标

1、结合具体情境,让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法,并能运用计算公式正确计算圆柱体积或圆柱形容器的容积以及解决简单的实际问题。

2、通过转化的思想,在实验的基础上使学生理解和掌握圆锥体积公式,能运用公式正确地计算圆锥的体积以及解决简单的实际问题。

3、通过圆柱、圆锥体积计算公式的推导、运用的过程,培养学生的观察、操作能力和初步的空间观念,培养学生应用所学知识解决实际问题的能力,并体验数学问题的探索性和挑战性,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,获得成功的喜悦。

考点分析

1、圆柱所占空间的大小是圆柱的体积,圆柱的体积(容积) 底面积 × 高,用含有字母的式子表示是:V = sh 或者V = лr2h 

2、圆锥所占空间的大小是圆锥的体积,圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的三分之一。即V =  sh 或者V =  лr2h 

典型例题

1、(计算圆柱的体积)一个圆柱,底面周长9.42分米,高20厘米。求它的体积?

分析与解:求圆柱的体积,一般根据V = sh或者 V = лr2h ,题中没有给出底面积,又没有给出底面半径,所以要先求出底面半径,同时题目中单位名称不统一,要注意化单位,可以统一为分米,也可以统一为厘米。

    

20厘米 = 2分米

底面半径:9.42 ÷ 3.14 ÷ 2 = 1.5(分米)

体积:    3.14 × 1.52× 2 = 14.13(立方分米)

答:它的体积是14.13立方分米。

点评:会使用圆柱体积计算公式是一个基本的要求。但知道圆柱体积计算公式的推导过程也非常重要。体积计算公式的推导过程和之前的圆柱的侧面积计算公式推导过程一样,都用了转化的数学思想。

2、(计算圆柱的容积)

一个圆柱形的粮囤,从里面量得底面周长是9.42米,高是2米,每立方米稻谷约重545千克,这个粮囤约装稻谷多少千克?(得数保留整千克数)。

分析与解:先通过底面周长求出底面半径,再求出底面积,进而求出容积。再去求能装稻谷多少千克。

3.14 ×9.42÷3.14÷22 × 2 × 545 = 7700.85 ≈ 7701(千克)

答:这个粮囤约装稻谷7701千克。

点评:虽然求容积的方法和求体积的方法相同,但并不意味着体积就是容积。体积的数据是从外面量的,而容积的数据要从里面量。所以一个物体的体积都比其容积要大。

3、(计算和圆柱的体积相关的实际问题)

有一个高为6.28分米的圆柱形机件,它的侧面展开正好是一个正方形,求这个机件的体积?

分析与解:圆柱侧面展开是个正方形,说明圆柱的底面周长和高相等。先通过底面周长求出底面积,再求体积。

3.14 ×6.28÷3.14÷22 × 6.28 =19.7192(立方分米)

答:这个机件的体积是19.7192立方分米。

点评:圆柱侧面展开之后得到一个长方形,长是圆柱的底面周长,宽是圆柱的高。在这儿展开之后是个正方形,就说明这个圆柱的底面周长和高相等。

4、(综合题)一种抽水机出水管的直径是1分米,管口的水流速度是每秒2米,1分钟能抽水多少立方米?

分析与解:每秒流出来的水的形状,可以看成是一个底面直径1分米,高2米的圆柱,这个圆柱的体积就是1秒种流出的水的体积,再乘60得出1分钟抽水的体积。

1分米 = 0.1

3.14 ×0.1÷22 × 2 = 0.0157(立方米)

0.0157 × 60 =0.942(立方米)

答:1分钟能抽水0.942立方米。

5、(综合题)把一根长4米的圆柱形钢材截成两段,表面积比原来增加31.4平方厘米。这根钢材的体积是多少立方厘米?

分析与解:长4米是圆柱的高,要求圆柱的体积还要知道底面积。把圆柱截成两段,增加了两个底面的面积,即增加31.4平方厘米,可以求出圆柱的底面积。

4米 = 400厘米

31.4 ÷ 2 = 15.7(平方厘米)

15.7 × 400 = 6280(立方厘米)

答:这根钢材的体积是6280立方厘米。

6、(计算圆锥的体积)一个圆锥的底面半径是6厘米,高是4厘米,求它的体积。

分析与解:已知圆锥的底面半径、直径、周长时,都要先求出底面积,然后根据V =  sh来计算圆锥的体积。在计算时,千万不要忘记除以3”乘 

  × 3.14 ×6 2 × 4 = 150.72(立方厘米)

答:圆锥的体积是150.72立方厘米。

点评:求圆锥的体积不能忘了最后要除以3。如果不除以3,求的就是和这个圆锥等底等高的圆柱的体积,而不是圆锥的体积。计算时,可以先算 ×6 2×4,最后再乘3.14,可以使计算简便,提高正确率。

7、(解决和圆锥体积计算相关的实际问题)

一个圆锥形沙堆高1.5米,底面周长是18.84米,每立方米沙约重1.7吨,这堆沙约重多少吨?

分析与解:要求沙堆的质量,先要求沙堆的体积。沙堆是圆锥形,已知它的高和底面周长,根据圆锥体积的计算公式,先求圆锥的底面积。

底面半径:18.84÷3.14÷2 = 3(米)

体积:  × 3.14 ×3 2 × 1.5 = 14.13(立方米)

沙堆的质量:14.13 × 1.7 = 24.021(吨)

答:这堆沙约重24.021吨。

8、判断:(1)圆锥的体积是圆柱体积的 。………… (   )

2)如果一个圆锥的体积是一个圆柱体积的 ,那么它们等底等高。… (   )

分析与解:(1)一个圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的 ,这一结论是将它的体积和它等底等高的圆柱进行比较得到的。

2)等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的 ;但圆锥的体积是圆柱体积的 ,并不意味着它们等底等高。

 

9、(综合题)一个圆锥的底面半径是3厘米,体积是75.36立方厘米,高是多少厘米?

分析与解:要求圆锥的高,根据圆锥体积计算的公式,可以先用体积乘3,求出和它等底等高的圆柱的体积,再除以底面积,即高 体积 × 3 ÷ 底面积,注意不能用圆锥的体积直接除以底面积。也可以根据圆锥体积计算的公式列方程解答。

方法1

底面积:3.14 ×3 2 = 28.26(平方厘米)

高:75.36 × 3 ÷ 28.26 = 8(厘米)

方法2:设高是厘米。

  × 3.14 ×3 2 × ⅹ = 75.36

9.42ⅹ = 75.36   ……  先算左边的 ×3.14×3 2

ⅹ = 8

答:高是8厘米。

点评:通过体积去求圆锥的高时要注意先用体积乘3,求出与这个圆锥等底等高的圆柱的体积,再除以底面积,求出高;也可以根据圆锥体积计算公式用方程解答。

10、(综合题)把一个棱长为12厘米的正方体木块加工成一个最大的圆锥,圆锥的体积是多少立方厘米?削去的部分是多少立方厘米?

分析与解:将正方体木块加工成一个最大的圆锥,圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。

正方体的体积:12 × 12 ×12 = 1728(立方厘米)

圆锥的体积: ×3.14 ×12÷22 × 12 = 452.16(立方厘米)

削去部分的体积:1728 – 452.16 = 1275.84(立方厘米)

答:圆锥的体积是452.16立方厘米,削去的部分是1275.84立方厘米。

 

小学数学总复习专题讲解及训练(五)

模拟试题

一、圆柱体积

1、求下面各圆柱的体积。

1)底面积0.6平方米,高0.5

2)底面半径是3厘米,高是5厘米。

3)底面直径是8米,高是10米。

4)底面周长是25.12分米,高是2分米。

2、有两个底面积相等的圆柱,第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7。第一个圆柱的体积是24立方厘米,第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米?

 

3、在直径0.8米的水管中,水流速度是每秒2米,那么1分钟流过的水有多少立方米?

 

4、牙膏出口处直径为5毫米,小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。这支牙膏可用36次。该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米,小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。这样,这一支牙膏只能用多少次?

 

5、一根圆柱形钢材,截下1.5米,量得它的横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米钢重7.8克,截下的这段钢材重多少千克?(得数保留整千克数。)

 

6、把一个棱长6分米的正方体木块,削成一个最大的一圆柱体,这个圆柱的体积是多少立方分米? 

                          

7、右图是一个圆柱体,如果把它的高截短3厘米,它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积减少多少立方厘米?

                        

二、圆锥体积

1、选择题。

   (1)一个圆锥体的体积是a立方米,和它等底等高的圆柱体体积是(    )

        ①  a立方米   ② 3a立方米   ③ 9立方米

   (2)把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体,圆柱体体积是6立方米,圆锥体体积是(    )立方米

       ① 6立方米     ② 3立方米    ③ 2立方米

2、判断对错。

  (1)圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍   ………( )

  (2)一个圆柱体木料,把它加工成最大的圆锥体,削去的部分的体积和圆锥的体积比是2 :1                                ………( )

3)一个圆柱和圆锥等底等高,体积相差21立方厘米,圆锥的体积是7立方厘米 

………( )

3、填空

1)一个圆柱体积是18立方厘米,与它等底等高的圆锥的体积是(  )立方厘米。

2)一个圆锥的体积是18立方厘米,与它等底等高的圆柱的体积是()立方厘米。

3)一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。圆柱的体积是(     )立方厘米,圆锥的体积是(       )立方厘米。

4、求下列圆锥体的体积。

1)底面半径4厘米,高6厘米。

 

2)底面直径6分米,高8厘米。

 

3)底面周长31.4厘米,高12厘米。

 

5、一个圆锥形沙堆,高是1.5米,底面半径是2米,每立方米沙重1.8吨。这堆沙约重多少吨?

 

6、一个近似圆锥形的麦堆,底面周长12.56米,高1.2米,如果每立方米小麦重750千克,这堆小麦重多少千克?

 

7、一个长方体容器,长5厘米,宽4厘米,高3厘米,装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米?

 

 

参考答案:

一、圆柱体积

1、求下面各圆柱的体积。

1)底面积0.6平方米,高0.5米     0.6 × 0.5 = 0.3(立方米)

2)底面半径是3厘米,高是5厘米。 3.14 ×3 2 × 5 = 141.3(立方厘米)

3)底面直径是8米,高是10米。    3.14 ×8÷22×10 = 502.4(立方米)

4)底面周长是25.12分米,高是2分米。

3.14 ×25.12÷3.14÷22 × 2 = 100.48(立方分米)

2、有两个底面积相等的圆柱,第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7。第一个圆柱的体积是24立方厘米,第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多多少立方厘米?

底面积相等的两个圆柱,第一个圆柱的高是第二个圆柱的4/7,第一个圆柱的体积也就是是第二个圆柱的4/7

24 ÷ 4/7 – 24 = 18(立方厘米) 

答:第二个圆柱的的体积比第一个圆柱多18立方厘米。

3、在直径0.8米的水管中,水流速度是每秒2米,那么1分钟流过的水有多少立方米?

3.14 ×0.8÷22 × 2 × 60 = 60.288(立方米)

答:那么1分钟流过的水有60.288立方米。

4、牙膏出口处直径为5毫米,小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。这支牙膏可用36次。该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米,小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。这样,这一支牙膏只能用多少次?

牙膏体积:1厘米 = 10毫米

3.14 ×5÷22 × 10 × 36 = 7065(立方毫米)

7065 ÷ [3.14 ×6÷22 × 10] = 25(次)

答:这样,这一支牙膏只能用25次。

5、一根圆柱形钢材,截下1.5米,量得它的横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米钢重7.8克,截下的这段钢材重多少千克?(得数保留整千克数。)

1.5米 = 150厘米

3.14 ×4÷22 × 150 × 7.8 = 14695.2(克)= 14.6952(千克)≈15(千克)

答:截下的这段钢材重15千克。

6、把一个棱长6分米的正方体木块,削成一个最大的一圆柱体,这个圆柱的体积是多少立方分米? 

             3.14 ×6÷22 × 6 = 169.56(立方分米)

答:这个圆柱的体积是169.56立方分米。 

7、右图是一个圆柱体,如果把它的高截短3厘米,它的表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体积减少多少立方厘米?

              底面周长: 94.2÷3 = 31.4厘米

             3.14 ×31.4÷3.14÷22 × 3 = 235.5(立方厘米)

答:这个圆柱体积减少235.5立方厘米。

二、圆锥体积

1、选择题。

   (1)一个圆锥体的体积是a立方米,和它等底等高的圆柱体体积是(    )

     ①  a立方米   ② 3a立方米   ③ 9立方米

   (2)把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体,圆柱体体积是6立方米,圆锥体体积是(    )立方米

     ① 6立方米     ② 3立方米    ③ 2立方米

2、判断对错。

  (1)圆柱的体积相当于圆锥体积的3倍   ………( × 

  (2)一个圆柱体木料,把它加工成最大的圆锥体,削去的部分的体积和圆锥的体积比是2 :1                    ………( √ 

3)一个圆柱和圆锥等底等高,体积相差21立方厘米,圆锥的体积是7立方厘米 

………( × 

3、填空

1)一个圆柱体积是18立方厘米,与它等底等高的圆锥的体积是( )立方厘米。

2)一个圆锥的体积是18立方厘米,与它等底等高的圆柱的体积是(54)立方厘米。

3)一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积和是144立方厘米。圆柱的体积是(  108   )立方厘米,圆锥的体积是(    36   )立方厘米。

4、求下列圆锥体的体积。

1)底面半径4厘米,高6厘米。   ×3.14 ×4 2×6 = 100.48(立方厘米)

2)底面直径6分米,高8厘米。 ×3.14×60÷22×8 = 7536(立方厘米)

3)底面周长31.4厘米,高12厘米。

 ×3.14×31.4÷3.14÷22×12 = 314(立方厘米)

5、一个圆锥形沙堆,高是1.5米,底面半径是2米,每立方米沙重1.8吨。这堆沙约重多少吨?

 ×3.14 ×2 2×1.5×1.8 = 11.304(吨)

答:这堆沙约重11.304吨。

6、一个近似圆锥形的麦堆,底面周长12.56米,高1.2米,如果每立方米小麦重750千克,这堆小麦重多少千克?

 ×3.14×12.56÷3.14÷22×1.2 ×750 = 3768(千克)

答:这堆小麦重3768千克。

7、一个长方体容器,长5厘米,宽4厘米,高3厘米,装满水后将水全部倒入一个高6厘米的圆锥形的容器内刚好装满。这个圆锥形容器的底面积是多少平方厘米?

  5 × 4 × 3 = 60(立方厘米)

              60 × 3 ÷ 6 = 30(平方厘米)

答:这个圆锥形容器的底面积是30平方厘米

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