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平 面 向 量
一、《标准》和《大纲》的比较
“平面向量”的比较
| 《标准》的内容与要求 |
《大纲》的教学目标 |
| (1)平面向量的实际背景及基本概念 |
通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。 |
(1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。 |
| (2)向量的线性运算 |
① 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。 |
(2)掌握向量的加法与减法。 |
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② 通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。
③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。 |
(3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件。 |
| (3)平面向量的基本定理及坐标表示 |
① 了解平面向量的基本定理及其意义。
② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 |
(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。 |
| (4)平面向量的数量积 |
① 通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 |
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。 |
| (5)向量的应用 |
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。 |
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(6)掌握平面两点间的距离公式,掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用;掌握平移公式。 |
二、分析与建议
《标准》指出:向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。要求学生了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力。
在《标准》中,大量的概念与运算法则是要求通过实例引入或通过实例来理解的。这既有利于概念、法则的理解,同时又使学生深刻感受到建立向量模型的丰富背景,便于学生及时运用向量解决相关实际问题。实际上,《标准》在给出知识与技能性目标的同时,也给出学习向量的过程性目标要求。而《大纲》对向量的相关内容的呈现未做具体要求,仅提出知识与技能目标。
《标准》在“说明与建议”中进一步指出:
向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手,物理背景是力、速度、加速度等概念,几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景,对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如,利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功,利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解,不必展开。
三、相关链接
(1)严士健等主编:《普通高中数学课程标准(实验)解读》
第八章 必修部分
(2)有关平面向量的教学(略)
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