专题限时集训(三)
[第3讲 函数与方程、函数的应用]
(时间：10分钟＋35分钟)
1．函数f(x)＝2x－x－的一个零点所在区间是( 
)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4
)
2．函数f(x)＝lnx＋x－2的零点所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
3．函数f(x)＝3cos2－log2x的零点的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准
地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振
幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
1．a是f(x)＝2x－log2x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)＝0 B．f(x0)<0
C．f(x0)>0 D．f(x0)的符号不确定
2．若函数f(x)＝ex－x3，x∈R，则函数的极值点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内( )
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点
4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( 
)
A．5公里处 B．4公里处
C．3公里处 D．2公里处
5．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
6．设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝2x－1.若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是_
_______．
7.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤4
0)，根据市场调查，销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．
(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；
(2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．
8.广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为x万美元，可获得的加工费近似为2ln(2x＋1)万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该
时段美元的贬值指数，m∈(0,1)，从而实际所得的加工费为f(x)＝2ln(2x＋1)－mx(万美元)．
(1)若某时期美元贬值指数m＝200，为确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应在什么范围内？
(2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为20x万美元，已知该企业加工生产能力为x∈[10,20](其中x为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
专题限时集训(三)
【基础演练】
1．B 【解析】 根据函数的零点存在定理进行判断．f(0)＝1－<0，f(1)＝1－<0，f(2)＝2－>0，f(3)＝5－>0，f(4)＝12－>0.根据函数的零点存在定理，函数f(x)的一个零点所在的区间是(1,2)．
2．B 【解析】 根据函数的零点存在定理进行判断．f(0)无意义，但在x接近零时，函数值趋向负无穷大，f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，f(3)＝ln3＋1>0，f(4)＝ln4＋2>0.根据函数的零点存在定
理可得，函数f(x)
零点所在的区间是(1,2)．
3．D 【解析】 把函数的零点个数转化为函数y＝3cos2x、y＝log2x图象的交点个数，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，根据函数图象并结合数据分析．两函数图象，如图．函数y＝3cos2x的最小正周期是4，在x＝8时，y＝log28＝－3，结合函数图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f(x)＝3cos2－log2x有5个零点．
4．6 10000 【解析】 由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lgA2＝lgA1－lgA2＝－＝9－5＝4.所以A2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．
【提升训练】
1．B 【解析】 函数f(x)＝2x－log2x在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据
函数的单调递增性，在(0，a)上这个函数的函数值小于零，即f(x0)<0.在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零．
2．D 【解析】 f′(x)＝ex－3x2，令g(x)＝ex－3x2，g′(x)＝ex－6x，结合图象不难知道g′(x)＝0有两个异号零点x1，x2，当x1<x2时，x1是函数g(x)的极大值点，x2是函数g(x)的极小值点，故函数g(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，函数g(x)最多存在三个零点，而g(－1)＝e－3<0，g(0)＝1>0，g(1)＝e－3<0，g(8)＝e8－3×64>28－192＝256－192>0，故函数g(x)在区间(－1,0)，(0,1)，(1,8)内各有一个零点，即函数g(x)至少有三个零点，但函数g(x)至多有三个零点，故函数g
(x)有且只有三个零点，即函数f(x)有三个极值点．
3．B 【解析】 在同一个坐标系中作出y＝与y＝cosx的图象如图，
由图象可得函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)上只有一个零点．
4．A 【解析】 设仓库建在离车站x 公里处，则y1＝x，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和y＝x＋0.8x≥8，等号当且仅当x＝5时成立．
5.，2 【解析】 因为f(1)<0，f(2)>0，f2＝8－3－1<0，所以f2f(2)<0，所以由已知可得出下一步断定该根在区间，2内．
6．(4，2) 【解析】 根据f(x－2)＝f(x＋2)，可得f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)是周期为4的函数，在同一个坐标系中分别画出函数f(x)和函数y＝loga(x＋2)
的图象，如图．
若方程f(x)－loga(x＋2)＝0在区间(－2,6]内只有3个不同的实数根，则就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝loga(x＋2)的图象只有三个不同的交点，由函数图象可得在x＝6时，函数y＝loga(x＋2)的图象在函数y＝f(x)的图象上方，而在x＝2处，函数y＝loga(x＋2)的图象在函数y＝f(x)的图象下方，由此得到实数a需满足不等式loga8>3且loga4<3，即log2a<1且log4a>3，即4<a<2.
7．【解答】 (1)设日销量q＝ex，则e30＝100，∴k＝100e30，
∴日销量q＝ex，
∴y＝ex(25≤x≤40)．
(2)当t＝5时，y＝ex，
y′＝ex，
由y′>0，得x<26，由y′<0，得x>26，
∴y在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，
∴当x＝26时，ymax＝100e4.
当每公斤蘑菇的出
厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．
8．【解答】 (1)由已知m＝200得，f(x)＝2ln(2x＋1)－200，其中x>0.
∴f′(x)＝2x＋1－200＝200(2x＋1).
由f′(x)>0，即199－2x>0，解得0<x<99.5，
即加工产品订单金额x∈(0,99.5)(单位：万美元)，该企业的加工费随x的增加而增加．
(2)依题设企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10,20]时，
都有2ln(2x＋1)－mx≥20x，
由2ln(2x＋1)－mx≥20x得20＋m≤2x.
令g(x)＝2x，x∈[10,20]，
则g′(x)＝2x2＝2x2(2x＋1).
令h(x)＝2x－(2x＋1)ln(
2x＋1)，
则h′(x)＝2－2x＋1
＝－2ln(2x＋1)<0，
可知h(x)在[10,20]上单调递减，
从而h(20)≤h(x)≤h(10)．
又h(10)＝20－21ln21<21(1－ln21)<0，
即x∈[10,20]时，可知g(x)在[10,20]上单调递减，
因此gmin(x)＝40，即m≤40－20.
故当美元的贬值指数m∈40时，该企业加工生产不会亏损．
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