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浅谈数学概念的教学方法
数学概念是整个数学知识结构的基础。有了概念，才可能进行判断和推理，才可能进行论证。数学概念的教学，就是要使学生获得数学概念。教师只有把数
数学概念是整个数学知识结构的基础。有了概念，才可能进行判断和推理，才可能进行论证。一个人的数学认知结构如何，解题能力的高低，数学思维品质之优劣，无不与数学概念有关。而数学概念的教学，是整个数学教学的一个重要环节，因此，教师必须注重数学概念的教学。 数学概念反映的是客观事物的空间形式与数量关系方面的本质属性，是用数学语言揭示事物的共同属性即本质属性的思维形式。每个概念都有它的内涵和外延。概念的内涵是对概念的“质”的描述，概念的外延对概念的“量”的描述。例如：“平行四边形”这一概念，它的内涵是“四条边，两组对边分别平行”，它的外延有“菱形、矩形、正方形、平行四边形”。概念的内涵和外延之间具有重要关系，“内涵增加，外延缩小；内涵减少，外延扩大”，这个关系叫做概念的内涵和外延间的反变关系。例如：自然数集→有理数集→实数集→复数集，在这一系列概念中，前面的概念的外延都小于它后面的那些概念的外延。 一、数学概念的组成 数学概念通常由概念的名称、定义、例子、属性和符号组成。如等边三角形这个概念，概念的名称是“等边三角形”（符号是“等边△”），定义是“三边都相等的三角形叫做等边三角形”，属性是“三直边、封闭图形，三边相等、三角相等”。符合定义特征的具体线段都是概念的例子称为正例，否则叫反例。 二、数学概念的主要特征： （1）数学概念具有抽象与具体的双重性。 数学概念代表的是一类对象而不是个别事物，它在一定范围内具有普遍意义。如“等边三角形”这个概念代表的是各种颜色、大小抽象的等边三角形，而任何具体颜色、大小的等边三角形都只是它的正面例子。数学概念是数学命题、数学推理的基础成分，就整个一个数学系统而言，概念是个实实在在的东西，这是数学概念具体性的一面。 （2）数学概念的概括性强，如“等边三角形”就是对千千万万个具体的等边三角形的高度概括的认识。 （3）数学概念的名称往往用特定的数学符号表示，如“等腰△”、“y=sinx”这些符号表示，使数学概念具有形式和简明的特点。 （4）数学概念具有系统性。每一数学分支的概念由原名出发，经过不断抽象定义，逐步形成一个严密的概念系统。就某一具体知识而言，相关的概念也组成一个系统。例如，与三角形这一知识相关的概念，边、角、高、中线………组成一个关于三角形概念的系统。 三、学生获得数学概念的前提 数学概念的教学，就是要使学生获得数学概念。学生获得数学概念，一方面依赖于已有的知识基础，另一方面也依赖于一定的数学思维能力，特别是分析、综合、抽象概括、分类比较、形式化、具体化等方面的能力。因此，数学概念教学应达到作为知识学习的一般要求，使学生认识概念的由来和发展，掌握概念的内涵外延及其表达形式，能正确地运用概念。还要充分展现获得数学概念的思维活动过程，使学生积极参与获得概念的智力和非智力活动，培养学生的数学能力，提高学生的数学素养。 四、学生获得数学概念的两种基本方式 学生获得数学概念有两种基本的方式：概念形成与概念同化。概念形成是在教师的指导下，从大量例子出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳方法概括出一类事物的本质属性。教学中这些实例大都是教师提供的。例如，要形成平行线这一概念，可举出一段铁路上两段笔直的铁路、黑板上下边缘等实例，给学生以平行线的形象。还可以在黑板上画出平面上一对平行线可能出现的各种位置关系，带领学生一起观察图形。为了提高教学质量，教师应该注意选择哪些刺激强度大，具有典型性、新颖性的实例，引导学生进行深入细致的观察，进行科学的抽象和概括，还应及时对新旧概念进行精确区分、分化，以形成良好的认知结构。 概念同化是利用学生已有的知识经验，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质。例如，学习梯形概念，一般是用概念同化的方式进行的。首先给出它的定义，“一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。”在上例中，要突出的的是“中有一组对边平行”这个主要特征。 在实际教学过程中，根据初中学生数学思维的特点，最好用概念同化和概念形成相结合的方式学习数学概念，扬长避短，互相补充，使教学效果达到最佳状态。 五、数学概念教学中应注意的几个方面 数学概念教学的根本任务，是正确的揭示概念的内涵和外延，使学生深刻理解概念，牢固地掌握概念，灵活地运用概念。因此，教师只有把数学概念讲清楚，讲准确，让学生深刻理解概念的内涵，准确掌握概念的外延，从质和量两方面明确概念所反映的对象，才能使学生自觉地掌握数学命题，在推理和证明的过程中有所依据，从根本上提高分析和解决问题的能力。所以，我认为，在进行数学概念的教学中，应注意一下几方面的问题： （1）注意概念的引入：概念的引入是概念课教学的开端，每节课的引言，巧妙地导语，生动的开头是使学生迅速进入学习意境的重要手段，它既吸引学生，使之全神贯注，又能启迪思维，使之兴趣盎然，积极参与，而且还能使学生了解概念的来龙去脉，正如人们常说的“良好的开端等于成功的一半”。概念的引入方法比较多，如趣味实例引入，类比转化引入法，教师应根据其具体情况灵活地导入新课。例如，在讲“合并同类项”这一节课时，就是通过充满趣味性的实例引入同类项概念的。引入方法如下： 引例：“参观一群动物时，幼儿甲说：图中有10只羊、牛、马。幼儿乙说：图中有2头牛，5匹马，1头牛，2只羊。试问，他们的表达妥帖否？” （2）注意抓住概念的本质特征。有些概念涉及的面比较广，教学时要抓住概念的本质特征，通过对本质特征的分析，带动对整个概念的理解。 （3）讲概念时，要揭示概念中每一词、句的真实含义。有的概念叙述简练，寓意深刻；有的式子表示比较抽象。对于这类概念，必须深刻揭示每一词、句的真实含义。例如，一次函数的定义是：“一般的如果y=kx+b(k、b是常数，k=0),那么，y叫做x的一次函数。”要使学生切实理解一次函数的概念，必须指出每一词、句的真实含义，特别要讲清楚再什么条件下一次函数才有意义。 （4）要注意阐明概念间的内在关系。数学概念之间有着密切的内部联系，注意把个别概念放在概念的相互联系中来教学，有助于揭示事物的本质，加深学生对概念的本质理解。例如，“一元一次方程”的概念，是建立在“元”、“次”、“方程”这三个概念基础上的。教学时可着重指出：“一元一次方程”是一个含有未知数的等式（方程）；“一元”表示一个方程中只含有一个未知数；“一次”表示方程中未知数的最高次数是一次；次数是就整式而言的，所以“一元一次方程”是最简单的整式方程。这样，就便于学生抓住“一元一次方程”的本质，并为以后学习“二元一次方程（组）”、“一元二次方程”等概念打下扎实基础，有助于学生举一反三，触类旁通。 （5）注意概念的比较。有比较才能鉴别。对于容易混淆或难以理解的概念，运用分析比较的方法，指出它们的相同点与不同点，有助于学生抓住概念的本质。有些概念从表面上看好像差不多，例如：乘方和幂，平方的和与和的平方，大于与不小于，正数与非负数，直角与900.，相似与位似，“都不”与“不都”等，学生常常分辨不清。教学时可引导学生找出它们的异同之点，从概念的内涵和外延上去区分。如“直角”与“90o”这两个概念，可以比较它们的外延，前者是指角的名称，后者是指角度或弧度的量数。“都不”与“不都”这两个概念，可以从内涵和外延的结合上进行比较。“都不”是对所考察对象的全体的否定，只指一种情形；“不都”是对“都”的否定，它与“至少一个”不具某种属性是同一个意思，一般包括多种情形。比如，“a、b都不为零”就是a=0,b=0；而“a、b不都为零”与“a、b至少一个不为零”是同义语，它包含三种可能情形：a=0，b=0;a=0，b=0；a=0，b=0。 有些难以理解的概念，还可以用对比的方法，化难为易，揭示本质。例如，“不等式的解”是一个难度较大的概念，教学时可以把它与方程的解进行比较，通过实例向学生指出：方程的解事使方程的两边的值相等的未知数的值，不等式的解是使其成立的未知数的取值范围；从使原式成立这一点来看，方程的解和不等式的解得意义是一致的；从解的个数来看，方程的解和不等式的解有明显的区别，方程在一般情况下解的个数是有限的，而不等式的解一般是一个或几个数值范围内的无穷多个数。反映在数轴上，方程的解是数轴上某一个点或者几个孤立点，不等式的解则是无数个点的集合。 （6）注意精心设计好练习题，让学生在练习中学会概念的应用，加深对整个概念系统的理解。 总而言之，加强数学概念教学，无论对学生掌握知识，还是发展能力，都是至关重要的，因此数学概念的教学是我们数学教师应该长期探索的一个课题。 |
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