关于《数学课程标准》的若干思考 史宁中

关于《数学课程标准》的若干思考 史宁中  

 

一．制定《数学课程标准》的目的。 应试教育？减轻学生负担？引发学生学习兴趣？这些是表象不是目的。 →学生发展的需要：适应市场经济； →国家发展的需要：培养创新性人才必须从基础教育抓起。 成为创新性人才三个条件：意识、能力、机遇。 二．创新能力的基础。 创新能力依赖于：知识的掌握、思维的训练、经验的积累。 思维的训练：演绎能力、归纳能力。 爱因斯坦：西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里德几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。（见《爱因斯坦文集》第一卷） 三．我国教育的现状。 杨振宁：我很有幸能够在两个具有不同文化背景国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。（见《我的生平》） 演绎能力：能够熟练使用演绎推理的能力。 演绎推理来源于亚里士多德，他在《工具论》提出了著名的三段论理论，即大前提、小前提、结论。是一种前提与结论之间有必然性联系的推理，是基于概念、按照规则进行的推理，是由一般到特殊的推理。就数学而言，演绎推理是基于公理、定义和符号，按照规定的法则进行命题证明或者公式推导。克莱因说：逻辑可以是数学的标准和约定，但不是它的本质。（见《数学家谈数学本质》） 就欧氏几何而言，在公理和公设的基础上：“已知A求证B”，其中A和B都是确切的命题。演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。 这与“数学双基教育”的目的是一致的。 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实； 基本技能（证明技能与运算技能）熟练。 绵延千年的科举：基本功扎实、知识的记忆、八股文的写作； 重视操作技能：熟能生巧。 四．还缺少什么？ 根据情况“预测结果”的能力；根据结果“探究成因”的能力。 归纳能力为熟练使用归纳推理的能力。 现代归纳推理来源于培根，他在《新工具论》认为就“帮助人们寻求真理”而言，三段论的“坏作用多于好作用”。休谟利用这个思想研究了因果关系，已经成为现代科学的动力。穆尔在他的著作《论自由》中系统地总结了归纳推理。 就方法而言，归纳推理十分庞杂，枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析，以及观察实验、比较分类、综合分析等均可被包容。 与演绎推理相反，归纳推理是一种“从特殊到一般的推理”。 借助归纳推理可以培养学生“预测结果”和“探究成因”的能力，是演绎推理不可比拟的。从方法论的角度考虑，“双基教育”缺少归纳能力的培养，对学生未来走向社会不利，对培养创新性人才不利。 五．如何培养归纳能力。 可能与传统的数学教育有很大不同，需要认真研究、实践和总结。 传统数学教育重视知识的传授和技能的训练。“知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。”（见“关于教育的哲学”，史宁中，《教育研究》，10，1998年）→结果的教育、知识的积累。 归纳推理可以表现为一种智慧。“智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。”→归纳能力是建立在实践的基础上的。→过程的教育、经验的积累。 “过程的教育”不是指在授课时要讲解、或者让学生经历知识产生的过程，甚至不是指知识的呈现方式。而是，探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程，等等。 大量的调查表明：现在的课堂比过去活跃了，学生的学习兴趣也比过去高了。这是非常好的事情。 但是教学的形式不是本质的。《义务教育法》：“国家鼓励学校和教师采用启发式教育等教育教学方法，提高教育教学质量。”（原则） 教育教学活动，除了知识与技能之外，必须能够：引发学生思考，激发学生兴趣，调动学生积极性；培养学生良好的学习习惯，掌握有效的学习方法。 如果在讨论的课堂上，教师重视的还是学生讨论的结果，评价的标准还是结果的对错。那么，成效只在于帮助学生理解。应当让学生通过讨论，理清自己的思想、理解他人的意思。 我们必须清楚，世界有很多东西是不可传递的，只能*亲身经历。智慧并不完全依赖知识的多少，而依赖知识的运用、依赖经验，你只能让学生在实际操作中磨练。下面我举例说明。可以给小学三年级以下的学生出这样的题目： 自己选择某一个标准将全班同学分成两类，并与同学交流分类的标准和分类的结果。 分类在数学中是很重要的，一个好的分类必须抓住事物的本质特征。对于这样的问题，答案是无所谓对错的，只要分类的结果与分类的标准一致就可以。可以让学生感悟到，标准是可以自己订的，这种思维是创新的根本思维。教师要是帮助学生整理清思路。对于三年级以上的学生，问题可以提的更为深入一些： 如图所示，桌上散落着一些扣子，请同学们想一想可以把这些扣子分成几类？分类的标准是什么？然后，数一数每一类各有多少颗扣子，并用文字、图画或者列表等方式把结果纪录下来。 这个问题要复杂一些，因为可以逐渐加多分类的标准，把类分的更细。开始可能不一样，结果会“殊途同归”。到了初中阶段，问题就可以更复杂了： 某电视台希望了解本地区居民喜欢电视节目的类型，请同学帮助设计一个调查方案。 这个问题就十分复杂了，涉及到不同年龄段以及这个年龄段的居民所占比例；涉及到不同文化背景及其所占比例；涉及到不同类型的人看电视的时间；涉及到需要调查的人数，等等。但是，这个问题的核心还是在于标准和结果的关系。 学生通过类似这样的贯穿始终的训练，是能够逐渐领悟归纳的思想的。 代数的例子： 在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子供16个，如果椅子腿与凳子腿加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？ 这是典型的“鸡兔同笼”的问题，但是椅子和凳子相差一条腿，有利于学生进行“尝试”。对于低年级学生，可以让学生列表尝试：            椅子数        凳子数             腿的总数              16             0               4?/span>16＝64              15             1               4?/span>15＋3?/span>1＝63              14             2               4?/span>14＋3?/span>2＝62 继续运算下去，可以得到椅子数12，凳子数4时，腿数正好60。也可以引发学生思考：从计算可以看出，每减少一个椅子就要增加一个凳子，腿的总数就要减少4-3=1。如果这个思考是正确的，腿的总数为60时，需要减少的椅子数是64-60=4，于是椅子数是12，凳子数是4。最后验证是否正确。到了高年级，可以仍然用尝试的方法列出方程：            椅子数         凳子数               腿的总数            a＝16         16－a＝0         4?/span>a＋3?/span>(16－a)＝64            a＝15         16－a＝1         4?/span>a＋3?/span>(16－a)＝63            a＝14         16－a＝2         4?/span>a＋3?/span>(16－a)＝62 这样，合题意的方程为4?/span>a＋3?/span>(16－a)＝64。 这些也许就是“过程的教育”，让学生自己探索答案，而不一定是通过讲道理分析出答案。通过“道理”直接给出方程固然是好的，但是通过有规律的计算寻求这个规律是得到一般结果的有效手段，特别是能够帮助学生更直观地理解“道理”。这是归纳推理的手法，也是我们过去的数学教育忽视的地方。 当然，不需要每一个问题都这样处理，但需要在整个中小学阶段不间断地进行，引导学生自己去感悟、去体会，帮助学生积累经验，最终掌握归纳推理的思想和手法。 结果是重要的，最终还是要通过结果验证。正如李大潜先生所说，数学素养不可能凭空出现，它是在知识的传授过程中逐步熏陶而来的。 在有些情况下，即使结果错了，只要思路正确也是应当给予肯定的。如果思路正确结果错误，那只能是前提不对，而前提是可以修改的。看下面这个例子。 学习的内容是有理数乘法运算：“负负得正”。有一位学生通过计算，得到（－3）祝ǎ?/span>4）＝＋9的结论。这个结果显然是错误的，教师不加思索就否定了这个学生的结果，并批评这个学生计算不用心。这个结果的得来是因为计算不用心吗？课后与这位同学交流。这位学生回答：“根据乘法法则，－3乘以－4就是按照数轴的反方向的反方向，以3为单位、数4个单位。你看，我从数轴上的－3这个位置开始，向正方向数，不正好数到＋9的位置吗？” 学生说的是有道理的，这是利用数轴解释有理数乘法运算所引起的问题： 在解释加法运算时，是从数值所在位置开始的；在解释乘法运算时，为什么就必须从0的位置开始呢？如果都从0的位置开始、与数值所在的具体位置无关，那么用数轴解释还有什么意义呢？ 这个学生的想法是合理的，是非常好的。如果教师回答不了这些问题，可以通过举例给这个学生讲解：按照你的思考，（＋2）祝ǎ?/span>2）会等于几呢？应该是＋6，从＋2这个点处开始数不正好是＋6吗？这样可以引导学生自我发现问题之所在。 有时候，教师是需要听一听学生是如何思考的，特别是学生得到的结果很特殊的时候、有规律性的时候。应当看到，帮助学生整理清楚思路，比让学生单纯地认同和模仿要重要的多，我们不应当忽视。 六．如何改变标准？ 把“双基”改变“四基”，即为关于数学的：基础知识、基本技能。 →基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 希望能够改变过去的教学方法，在教学活动中，能够继续：促进学生理解数学的基础知识、训练学生掌握数学的基本技能；学会：启发学生领会数学的基本思想、帮助学生积累数学的基本活动经验。不是简单的叠加，是一个有机的整体，是相互促进的。加上了后面的“两基”，就必须改造传统的“双基”，给出充分的空间与时间；在教学活动中“基本思想”将是主线，“基本活动经验”将成为重要的形式。 关于时间与空间 几何（形式≠逻辑）。 证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。 我们先设这个圆的圆心为O，圆外一点为P，两个切点分别为A和B，分析下面两种叙述方法： ⑴证明：连接OA和OB。因为PA和PB是圆的切线，则∠PAO=∠PBO=90埃川SPOA和⊿POA均为直角三角形。又因为OA=OB和OP=OP，则⊿POA与⊿POA全等。于是有PA=PB。 ⑵证明：连接OA和OB。 ∵ PA和PB是圆的切线（已知）， ∴∠PAO=∠PBO=90埃ㄇ邢咝灾剩?/span> 即⊿POA、⊿POA为直角三角形。 ∵ OA=OB（同圆半径相等），OP=OP， ∴⊿POA≌⊿POA（斜边直角边定理）， ∴ PA=PB（对应边相等）。 代数（技巧≠技能）。 绝对值中的字母。 “韦达”定理。 解方程：列方程、递归（三元→二元→一元）。 确定二元一次方程的系数。 关于基本思想 “基本思想”主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线。在具体的问题中，会涉及到数学抽象、数学模型、等量替换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。 之所以用“基本思想”而不用基本思想方法，就是要与换元法、递归法、配方法等具体的数学方法区别。每一个具体的方法可能是重要的，但不具有一般性，作为一种思想掌握是不必要的，经过一段时间，学生很可能就忘却了。这里所说的思想，是希望学生领会之后能够终生受益的那种思想方法。 七．结束语。 如果在我国中小学数学教育中，一方面保持“数学双基教学”合理的内核，一方面添加“基本思想”和“基本活动经验”，出现既有“演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式，就必将会出现“外国没有的我们有、外国有的我们也有”的局面，那一天，我们就能自豪地说，我国的基础教育领先于世界