教育学习

21、八下§2《分式》：用分数知识来类推   “运算”是代数研究的重点内容之一：选定一个“算子”即运算对象，然后制定对它的“算法”，最后寻找有助于简便运算的“算律”。 小学的自然数、分数、小数，初中的单项式、多项式、分式乃至方程其实都是算子，搞清它们的意义、基本性质之后，立刻转向研究它们的算法和算律（解方程其实就是方程的“运算”）。 算子、算法的扩充又有规矩（“固本原则”）：新算子要包容旧算子（如整数是特殊分数）、新算法要包容旧算法（如整数与小数的算法一致）——这固本原则源于化归化基本思想方法（化新为旧）。 通览《分式》一章，所运用的数学思想就是化归：分式不过是加了点新东西的分数，分式算法不过比分数算法稍微繁一点；只要熟悉分数及其算法，就可类推出分式及其算法——但要注意类推过程中的逻辑严谨性。 从叶澜提倡的结构化教学方法角度看，上述类推意味着：小学“学结构”（分数的知识结构、解决分数问题的方法结构），初中“用结构”（自主运用分数的知识和方法结构探究并解决分式问题）。 一、分数的意义与性质-→分式的意义与性质 我们可以先问学生：“什么叫分数呀？对分数有哪些规定呀？”然后由少到多地把数字改为字母，再问：“可以把它们称为什么呀？该对它作哪些规定呀？”最后让大家反思、小结、化归：由于任何字母不过代表某个数，因此分式在意义上不过就是分数（但不是确定的某个分数，而是分数的某一“类”），而且同样不能让分母为零。 再让学生自己回顾分数的基本性质，并据此类推出分式的基本性质：同样的，分子与分母同乘（除）一个非零多项式，所得分式与原分式相等。 二、分数算法-→分式算法 本节不再谈教法，只介绍算法的类推。 分式算法都可从分数算法类推出来，教材正是这样做的： 乘、除法法则，第29页说“分式……乘法和除法……与分数的乘、除法类似”；乘方法则，第32页以（4／3）n为例类推；同底幂除法法则，第36-37页以230／220为例类推；加、减法法则，第45页、47页分别说同（异）分母分式加减与同（异）分母分数加减“类似”。 至于分式方程解法，虽不是类推而得，但还是贯彻了化归化思想：将其化归为学过的一元一次方程。 三、可否插入演绎法推出某些运算法则？ 类推即“类比推理”，属于“合情推理”，优点是直观、快捷，缺点是不严谨、没有必然性；严谨而有必然性的推理是演绎推理。既然数学是培养演绎推理能力的最好学科，那么可否也用用演绎法来推出某些运算法则呢？比如： 既然分数乘方法则可从乘方定义和分数乘法法则演绎推出，那分式乘方法则也可从乘方定义和分式乘法法则演绎推出，即（x／y）n=（x／y）（x／y）……（x／y）=xx……x／yy……y=xn／yn；同理，同底幂除法法则也可从分式乘方定义演绎推出，即am／an=an· am－n／an= am－n（m＞n）。 四、注意：a0=1和a-n=1／an是“规定”而不是演绎推出的 几年前，我发现连几位中学骨干教师都认为a0=1是演绎推出的：因为am=am，所以am／am=1，而根据同底幂除法法则，am／am= am－m= a0，所以a0=1。 其实错了：同底幂除法法则am／an= am－n的前提条件是m、n都是正整数且m＞n，所以am／am= am－m=a0的推理过程没有依据。 请仔细读读教材第38页的说法，并特别注意我标成的黑体字：“如果想把公式①推广到m=n的情形，那么就会有am／am= am－m=a0。这启发我们规定a0=1（a≠0）。” 同样的，教材第39页说：“如果想把公式①推广到m＜n的情形，那么就会有a－n=a0－n= a0／an=1／an。这启发我们规定a－n= 1／an（a≠0，n是正整数）。” 为何要强调它们是规定的？原因有二：第一，教师的逻辑思维应该很严谨，不能没规矩地乱“推”；第二，这种“规定”做法正体现了公理化思想（源于逻辑化基本思想），在任何数学公理体系中，总有一些概念和原理是人为规定的“原始概念”、“原始命题”，它们是演绎推出一系列定理、公式的基石——但它们本身并不能用任何东西演绎推出。 ……

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「 [初中数学思想方法教育]19、八上§4《频数与频率》：统计中的思想方法 」

→shch002 发表于 2012-1-20 12:41:00

0 推荐 19、八上§4《频数与频率》：统计中的思想方法   一、统计研究的是“一组数据的分布特征” 教材在导语和“小结与复习”中为何把统计的研究对象分成“一组数据的特征性质”和“一组数据的分布情况”二种？我的理解是： 第一种指“不同数据组的不同整体形态”： 平均数是各数据分布其上下的“中间值”（教材“一般水平”的说法不得要领），不同数据组中间值不同；极差是各数据分布的集中程度（把教材“集中趋势”的说法改了一点），有的数据组极差小、分布集中，有的数据组极差大、分布离散；方差是各数据分布的“波动”形态，有的数据组方差小、分布波动小，有的数据组方差大、分布波动大。 第二种指“同一数据组中不同数据的分布状态”： 在同一组数据中会有不同数据（每个数据相同就没什么统计意义了），出现次数多的数据其频数大、频率高，出现次数少的数据其频数小、频率低。 请注意：为何我把前面所有的“分布”一词都标成黑体？因为：前述两种分别是跟别组比或在组内比，但比的不过都是“一组数据的分布特征”——这才是统计方法的实质及其意义。 概括出这一点，有利于学生明白学习统计的目的与价值。 二、得出频数、频率的数学量化基本思想方法 当今世界提倡以“问题解决”为中心展开教学，所以本章教材提出了了领域广泛的问题让学生通过学习和运用频数、频率去解决：谁该被选为正副班长（政治），怎样帮李奶奶设计最佳进货方案（经济），如何比较春秋两季降雨的多少（科技），如何了解本单位职工的年龄、学历与收入结构（管理），如何判断小明的射击成绩变化（体育），如何判定全班男生身高的合格程度（卫生保健），该为全班选购多大的运动服和运动鞋（生活服务），等等。 但千万不要淹没在这些问题的有趣情境或杂多数值计算之中哟！最值得我们关注的是：潜藏在解决问题表面技巧深处的数学思想方法是什么？让我们分析教材第124-126页“帮李奶奶设计进货方案”的例题来挖掘。 第125页的统计表说明，李奶奶5个品种牛奶和饮料的销量每天都在变，不懂数学的她找不出规律、找不到进货的好办法，干着急！ 懂数学的小明来帮忙了：收集每天销量的原始数据→分类统计各品种销量并发现其需求量很稳定→算出各品种平均销量→算出这些平均销量的近似比例6︰5︰6︰4︰3（频数→频率）→向李奶奶提出“按该比例进货”的建议。效果的确好，李奶奶“喜笑颜开，连连夸奖”！ 聪明的小明用了统计策略。但这一策略的深层源头是什么呢，是数学的量化基本思想方法：攻克“进货方案”碉堡的钥匙是各品种销量的组合关系，但它隐藏在一堆混乱的数据中，肉眼观察只能定性得知“有的销得多、有的销得少”——而算出各自的频数、频率就得到了这个组合关系精确量化的销量比，钥匙就找到了！小明的聪明不在于计算技巧，甚至也不在于知道统计策略，而在于他“把各品种销量组合关系量化”这一思路。我们该不该重视思想方法培养，教出更多的聪明小明来呢？ 如果组织学生解决前述每个问题时都强调对量化思想方法的运用，他们就更容易成长为聪明的小明了。 三、运用统计策略时离不开逻辑化基本思想方法 1、请注意，运用统计策略（或任何其他策略）解决实际问题离不开数学抽象——略去影响很小的细节、抽出本质性的规律。仍以“帮李奶奶设计进货方案”为例，小明就实施了三次抽象： 第一次，对各品种不同日子里实际销量的细微差别忽略不计，抽象出“每周各品种销量稳定”的结论； 第二次，对各品种两周之间实际销量的小额差别忽略不计，抽象出两周平均销量作为每周销量。 第三次，对各品种每周销量的实际比例（即频数）影响不大的尾数忽略不计，抽象得出6︰5︰6︰4︰3的进货比例。 能做上述抽象处理的依据是：（1）数学只是实际问题的“模型”、不等于实际问题的“原型”，如不通过抽象略去原型中影响不大的细节，将无法运用规范性的数学解决原型问题；（2）小明所略去的那些细节，对实际销售的影响不会大。 2、离不开的不止抽象，还有演绎推理。 表现之一：不论统计年龄分布、文化程度分布、收入分布、身高分布还是气温分布，都需要将杂多数据分段归放。分段要有可接受的标准，如国家对儿童、少年、中年、老年等概念的界定，国家教育体制所规定的学段，国家对低、中、高、收入标准的规定，国家对青少年合格身高标准的规定，国家对春夏秋冬四季的月份界定，等等。把一个具体数据归入哪一段，要依据相关规定进行演绎推理（如，国家规定中年是36-49岁-→某人38岁-→所以将他归入中年段）。 表现之二：从所得统计结果推导出某些结论也是在演绎推理。如教材第136页根据“职工家庭月收入频数分布直方图”发问：“你能从图中获得哪些信息？”而信息的“获得”要靠演绎推理，如：统计图显示月收入800元至840元一组的频数最大-→根据频数的定义可知该组人数所占比例最大-→所以这30户职工家庭的月收入水平集中在800元至840元这一组。 综合1、2：抽象也好、演绎推理也好，都属于逻辑思维——所以，运用统计策略时离不开逻辑化基本思想方法。 问题是，我们在教学中，重视了挖掘和利用这一点吗？

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「 [初中数学思想方法教育]20、八下§1《因式分解》：用数学思想解难 」

→shch002 发表于 2012-1-20 12:40:00

0 推荐 20、八下§1《因式分解》：用数学思想解难   因式分解难：抽象、枯燥、繁琐、易错。怎么办？建议用数学思想来解难。 一、用化归思想理解因式分解的目的 吴亚萍书第268页说：“因式分解……给学生……提出了严峻的挑战”，因为“对因式分解目的意义的理解很困难”。 所以本章开篇就问：“你会解方程x2-1=0吗”，用意就是克服此难： 通过此例，学生立刻明白“因式分解的目的是降次”（把高次多项式分解成低次多项式之积）： 二次式x2-1变成了两个一次式的积（x+1）（x-1）。干嘛降次？因为它利于解二次方程：从x2-1=（x+1）（x-1）容易得出解x=±1。而且今后好处还很多，如给分式约分和通分、解更高次方程和高次不等式，等等——这就是因式分解的意义即“价值”。 “降次”策略根源于化归化基本思想方法（把高次式化归为低次式），从而化繁为简、化难为易。为尽量“简、易”，教材又在第13和16页两次强调：“在因式分解中，必须进行到每一个因式都不能再分解为止”。 如果教学中有意识地指导学生领会化归化基本思想，他们将能更深刻领会因式分解的目的、方向，同时提高数学思维能力。 这还利于消除疑惑：（1）为何x2-1=（x2-1）×1不算因式分解？因为x2-1的次数没降；（2）为何不能x2-1=（x+1）（x-1）= x2-1？因为画蛇添足、刚降完次又把它升上来了；（3）为何x2+2x+1=x（x+2）+1不算因式分解？因为多了一个尾巴“加1”，没分成因式之积，实现不了解方程x2+2x+1=0的意义。 （可对学生补充说明：x+y=0的解无穷是因其“和形式”，而xy=0能得出x=0或y=0是因其“积形式”；所以，为利于解方程，非把多项式分解成“积形式”不可。） 不过x2-1=0的例子似乎不理想：（1）不必因式分解，移项便能得解x=±1；（2）x2-1次数太低，缺乏一般性。改用x3+3x2y+3xy2+1=0甚至x4-5x2+1=（x+1）（x-1）（x+2）（x-2）=0如何？ 二、用类比方法从质因数分解法推出提公因式法 用类比方法也能化难为易——小学已掌握的“质因数分解法”与“提公因式法”颇相似，从质因数分解法类推出提公因式法，能使后者更容易理解。 教材的具体做法是： 第2页：既然2和3叫做6的因数，那（x+1）和（x-1）就可叫做x2-1的因式——把“数”改成“式”而已；进而，如三个多项式f、g、h有f=gh，则把g和h叫做f的因式。 第3页：既然砖是“基本建筑块”、能用一块块转盖成各种建筑，那数学知识也能分解成“基本建筑块”，如“一个多项式可以表示成若干这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁”。 第3页：既然质因数分解能帮12和30找出最大公因数从而给分数12／30约分，那找到两个多项式的公因式也能给它们约分。 但请注意：类比也是一种逻辑推理，属于逻辑化基本思想方法，可见这个数学思想方法也在起到化难为易作用。 三、用演绎方法导出和运用公式 1、导出公式： 教材对a2-b2=（a+b）（a-b）和a2±2ab+b2=（a±b）2三个公式的导出方法很简单：“把乘法公式从右到左地使用”即可。 但这一做法的数学思想内核是什么呢？是逻辑化思想方法中的演绎推理： 比如，既然（a+b）（a-b）= a2-b2，那就意味着不论a、b取何值（暂限有理数），等式两边都等值，所以反过来也成立即a2-b2=（a+b）（a-b）——这就是演绎推理过程。 有人会说“多此一举，等式两边本来就是同一个东西！”非也！ 首先，这两者不是同一个东西，而是刻画不同数量关系结构的两种数学模型，意义不同：（a2-b2）的意义是“某数平方与另一数平方之差”，数量关系是先乘方后相减；（a+b）（a-b）的意义则是“某两数之和与该两数之差的积”，数量关系是先加减后相乘。不过两者异中有同即等值，所以可依据数学公理体系中的“等量公理”代换位置——你看，这又体现了逻辑化基本思想方法。再说，始终关注数学基本思想方法教育将有事半功倍之效。 2、运用公式： 以第15页练习题“1-25x2的因式分解”为例，其演绎推理过程是：根据乘方定义得1=12→根据幂运算法则得25x2=（5x）2→根据公式得1-25x2=（1+5x）（1-5x）。 对教师和好学生来说，“1”、“2”之中的推理过程隐而不发、下意识就完成了。但对初学者或没学好的学生就须明白指出了：第一可帮他们理解和信任解题方法，第二可培养他们的逻辑思维能力——这“第二”更重要。 四、把代数式直觉为整体以提高因式分解能力 因式分解能力高的学生，能把一个结构复杂的代数式直觉为一个整体。这种直觉能力叫式感，是数感的一种。 式感像数感一样有天生的成分（生物学家指出连乌鸦等动物都对数量有初级直感），但更能通过练习形成与发展。怎样练习？仅以B组复习题1（1）y2-（x2-10x+25）的因式分解为例来分析： ……

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「 [初中数学思想方法教育]18、八上§3《全等三角形》：逻辑化的较好样板 」

→shch002 发表于 2011-11-2 16:41:00

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「 [初中数学思想方法教育] 17、再探八上§2《一次函数》：数学建模 」

→shch002 发表于 2011-10-17 13:24:00

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「 [初中数学思想方法教育]16、首探八上§2《一次函数》：函数思想 」

→shch002 发表于 2011-10-12 0:08:00

0 推荐 16、首探八上§2《一次函数》：函数思想   本章的题目就是“一次函数”，可见函数思想是其重点之一。函数思想为何重要？因为它把量化基本思想方法从只能处理常量提升到还能处理变量的水平。 一、“函数”是伟大的创造 本章开头和《小结与复习》都说“函数是研究一些量（或各个量）之间确定性依赖关系的数学模型”，没点明实质——既然第32页已经对比“常量”定义了“变量”（含自变量和因变量）概念，为何不点明函数就是研究“变量”的？ 函数能研究变量太重要了！ 十七世纪之前的数学、今日学生初二之前所学的数学基本只研究常量。从自然数到实数都是常量，它们之间的计算是常量计算；即使代替数的字母也是常量，对其组成的单项式、多项式、方程、不等式的运算还是常量运算。但对十七世纪急需解决的自由落体、炮弹飞行、流体力学等一大批关乎国计民生的运动问题，只能处理常量的旧数学无能为力——因为运动中的量（如教材中火车行驶的时间与路程、随时间改变的气温等）不是常量而是变量…… 怎么办——数学家必须创新！ 克莱因概括这段历史说：“这个问题吸引了十七世纪的科学家和数学家。……数学从运动的研究中引出了一个基本概念。在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数——或变量间的关系——的概念。”（《古今数学思想》第2册41-47页） 对函数概念的这一创造，沈文选作了高度评价：“从常量数学到变量数学是数学思想的”第三次“根本变革”。（《中学数学思想方法》第17页）。 其实这一发展还有更深的意味：数学基本思想方法之一的量化思想方法威力大大扩展了——以前只能精确定量地研究常量、此后还能精确定量地研究变量！ 二、应逻辑严谨地认识函数概念 逻辑化是数学的另一个基本思想方法，要求数学思考清晰、严谨、规范，在认识函数及一次函数时同样应该遵守。 1、函数概念的严谨性。 教材说“函数……研究一些量之间确定性依赖关系”，应引导学生细致理解这句话。第一，所谓“依赖性关系”教材第32页指出是“变量y随着变量x而变化”，细致点说，是因变量随着自变量的变化而变化，吴亚萍书称之为二者“共变”。第二，所谓“确定性依赖关系”教材同页指出是“对于x取的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应”，为逐步熟悉数学语言，不妨告诉学生“有唯一的一个”简单说就是“有且唯一”。第三，为深刻理解“第二”，可举出变式（如教材第46页B组第3题中的常值函数y=2及y=x2之类），说明函数概念并不要求对不同的x值y值也要不同。 教材第32页“f（x）是英文a function of x（x的函数）的简记”这句话值得关注，并宜对学生展开说明：（1）“f”是function的简记，它的意思是“功能”、“函数”而不是代表数值的字母；（2）符号f（x）中的f与x不可分割，意思是“对x进行f方式的变换”，千万不要把它误认为是“f乘以x”；（3）提高点说，y值＝对x值作f方式变换的结果，所以很多时候y和f（x）是同一个东西。说实话，我直到读大学数学系时才真正弄明白上述三点，也才对函数有了深刻的认识。 2、一次函数概念的严谨性。 第一，要克服小学“正比例”概念的局限。 教材规定“当b≠0时，一次函数y=kx（k≠0）也叫做正比例函数”。估计学生会提出疑惑：“教材第41页例1说y=-2x是正比例函数，但x=1时y=-2、x=2时y=-4，此时x扩大了一倍y却缩小了一倍，这不是反比吗，怎么是正比？” 我觉得：首先，小学没学负数，那时的正比、反比概念是对正数而言的，现在增加了负数，原来的正比、反比概念就不适用了；其次，即使对负数而言，-2变成-4可理解为“负债2元变成负债4元”，不也是债务扩大了一倍吗？不知你认为这个回答如何。 第二，要准备回答学生对 linear译成“一次”的质疑。 教材给出了“一次函数”的英文“linear function”，学生可能质疑：“字典里linear的意思是直线的、直线性的、线性的，那为什么不翻译成‘线性函数’而翻译成‘一次函数’？”具体怎样解惑留给各位自己考虑，这里只提醒二点：其一，请运用教材第41页的一段话，它指出“一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线”；其二，学生的这个问题值得好好回答，因为线性关系、线性方程（组）、线性代数之类将来会是高等数学的重要概念。 三、请关注函数性质研究的“方法结构” 本章教材没有直说“研究函数性质”，但实际上研究了函数的两条重要性质——我们要归纳指出这一点，并让学生关注研究的程序和方法： 1、函数的定义域即教材第19页所说“自变量的取值范围”； 2、函数的单调性（单增或单减）与非单调性。教材第43页《探究》是研究函数的单调性：（1）是单增，（2）是单减，（3）是猜想并证明判断y=kx+b（k≠0）增减性的法则，且证明方法严谨、精细，值得重视——要知道以前我只在高中才接触它。此外本章还用许多实例研究了非单调性的函数，其图像为折线（如第41页《动脑筋》题等）。 当然本章没去研究函数的值域、极值、奇偶性、周期性等性质（高中再研究），但上述二项研究已经为今后系统研究函数性质打下了方法结构基础，——这就是吴亚萍书所提倡的今天“学结构”、明天“用结构”。

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「 [初中数学思想方法教育]15、八上§1《实数》数域扩展与数形互换 」

→shch002 发表于 2011-10-4 21:25:00

0 推荐 15、八上§1《实数》 数域扩展与数形互换中的思想方法运用   本章实数域和平面直角坐标系的建立，都丰富运用了数学基本思想方法，值得关注。 一、无理数“无理”吗？ 古人用了整数和分数（含小数）上万年，觉得不过是几根手指、半个月亮之类、天然合理，故后来把它们统称为rational number即“合理的数”（中文是“有理数”），并以为凡开不尽的方根都能化成有限小数。 “巴比伦人也有表示平方根、立方根……的数表。……他们可能相信，只要用足够多的位数，就可以用六十进制小数准确表达无理数”；古“埃及算术里也如巴比伦一样未能认识到无理数的性质”（《古今数学思想》第一册第7、第20页）。中国人也很早在《九章算术》中指出“若开方不尽者，为不可开”，并称它们为“面”（即现在所称的无理数），且只限于计算它们的近似值（原中科院数学研究所副所长李文林《中国古代数学发展及其影响》，载百度网）。古希腊人差不多，“毕达哥拉斯派所说的数仅指整数。和现代人不一样，它们不把两个整数之比看作是一个分数从而是另一类数（按：即只看作“比”）”（《古今数学思想》第一册第37页）。 但古希腊人的理性精神伟大：“毕达哥拉斯派发现有些比——例如等腰直角三角形斜边与一直角边之比或正方形对角线与其一边之比（按：二者的比值都是√2）——不能用整数之比表达”即不能化成分数，这一发现“归功于……Hippasus（公元前五世纪）”（同前书）。 于是“他们就感到惊奇不安”、恐慌、恼怒：“相传当时毕达哥拉斯派的人正在海上，就因这一发现而把Hippasus投到海里，因为他在宇宙间搞出这样一个东西否定了毕达哥拉斯派的信条，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”（同前书）！ 各地古人都对不能化成整数或分数的众多方根感到“不可理喻”，所以后人把它们称为irratilnal number（不合理的数）即无理数。 无理数真的“无理”吗？不，照样有理：第一，它看得见、摸得着，本章教材就折出了正方形的边长√8，还在数轴上找到了表示它的点；第二，正如教材第13页所说，无理数和有理数一样可以加减乘除并适用相同的运算法则和算律。正因为此，无理数和有理数一样称为“实数”（real number即真实可见的数）。 但我疑惑：教材引入无理数为何以√8而不以√2为例——√2久负盛名，从古希腊的毕达格拉斯派到现代数学家都曾用不同方法证明过它是不同于整数或分数的新数（《古今数学思想》第一册37-38页）！ 二、为何不紧接着研究实数四则运算？ 实数是“shù”，那就要“shǔ”即一步步研究比较大小、加减乘除。但教材对此却大省笔墨！对四则运算只在第13页一笔带过，“可以说明：实数也有加法、减法、乘法、除法（除数不为0）运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用”；对比较大小也只在第14页用不到150个字作出规定；最后简单规定“七年级上、下册至本册上一节讲的有关数、式、方程（组）、不等式（组）的性质、法则或解法，对于实数仍然成立”。这是为何？ 我想是为了“快刀斩乱麻”。首先，第二章要学一次函数、要靠平面直角坐标系，如果只有有理数，就会使函数图象上的很多点找不到横坐标值或纵坐标值而不严谨，所以必须赶紧在第一章引入无理数。其次，初二开始必须更多、更严谨地学习几何（比如下一章就是《全等三角形》），而线（直线和曲线）却是所有几何图形的基本要素——要使几何严谨首先就要使“线”严谨，如果只有有理数、很多线段的长度就没有对应数值，于是也必须赶紧引入无理数以实现实数与线上诸点的一一对应（教材第13页的说法是“实数和数轴上的点一一对应”）。为“急功近利”，就只得把实数四则运算的其余问题推后细究啦！ 不过也不要小看了本章那些简捷的规定：它们成了本教材不加证明的原始概念和公理，作为今后推出实数诸多运算法则的逻辑起点（具体是怎样推导的以后再说）。 总之我们要看到这一部分隐含的数学思想方法运用：其一，为了严谨、为了构建以后的推导依据，运用了逻辑化思想；其二，还隐含了化归化思想——在代数方面，新的实数运算仍然适用有理数的法则和算律（请回顾本系列第一篇提到的“数域扩展固本原则”）；在几何方面，把图形化归为“线”、“线”再化归为“点”。 三、数形互换运用了何种思想方法？ 本章最后一节是研究平面直角坐标系，其最大价值正如本章“小结”所说是“使得平面上的点与有序实数对一一对应”——即通常所说的“数形结合”。 我在一篇博文中认为“数形结合”不如改称“数形互换”，道理是：所谓“数形结合”在实践中无非是把“数”变换为“形”或把“形”变换为“数”。比如本章：12页-13页的《探究》，先把数变换为形，“每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示”，再把形变换为数，“数轴上每一个点都表示唯一的一个实数”；19-20页，口头或用电影票描述座位的方法都是把平面上点的位置变换为有序数对；…… 那么“数形互换”根据的是什么思想方法呢？是结构化思想方法。 实数集有“序结构”（布尔巴基学派的概念），三个以上实数有大小顺序、一对实数也有大小或先后顺序；数轴的点集也有“序结构”，各点之间有从左到右（或由下向上）的先后顺序。组成这两个集合的元素不同，但这两个集合元素之间的关系结构相同，这称为它们“同构”。从而，可以用其中一个做另一个的模型（比如用高粱杆做的假飞机做真飞机的模型），当直接研究实数（或真飞机）性质麻烦时就换成研究它的几何模型（或高粱杆飞机模型）——或反其道而行之。 北师大版数学课标解读第27页评价说：“布尔巴基学派……对20世纪上半叶以前的数学，用结构主义进行了总结，使多数数学学科的严密性得到了保证”，可见结构化思想方法何等重要！

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「 [初中数学思想方法教育]14、七下§6《数据的分析与比较》 」

→shch002 发表于 2011-9-16 17:58:00

1 推荐 14、七下§6《数据的分析与比较》 请思考统计方法的特点   本章对统计的介绍紧密服务于实际问题的解决，符合“大众数学”、“生活数学”理念，很好。但作为教师，还应深思“运用统计方法要注意什么”、“统计方法的根基是什么”等问题，并依此对教材进行适当改造，以提高实施数学思想方法教育的水平。 一、建议把6.1.2调到 6.1.1前面并适当补充内容 本章第一部分6.1.1和6.1.2的任务是用实际问题催生“权数”、“加权平均数”两个统计概念。但怎样的实际问题最好？它应该饱含催生这两个概念的资源。用这个标准衡量，6.1.1的观察题和例1、例2都不理想，不如6.1.2的例3、例4。 理由之一：实质上，用老办法“各数据之和除以数据个数”得出的“平均数”就是“加权平均数”，所以观察题和例1用两种办法算出的结果相同。但既然相同，干嘛费劲去学“加权平均数”这个没用的新东西？可见这两个问题没有激发学生学新知的必要资源。至于例2，它不是实际问题而只是纯数字题，价值就更小了。 理由之二：再看6.1.2。例3“求棉花纤维平均长度”，可先让学生发生错误“平均长度是（3+5+6）÷3≈4.67（cm）”，再通过讨论明白不“加权”不合理，正确的算法应该是3×0.25+5×0.4+6×0.35=4.85（cm），于是有实际意义地导出了“权数”和“加权平均数”概念。例4也有这个功能，因为不加权算的话，对“小明和小红谁更优秀”就会判断错误。 结论：删掉6.1.1，只用6.1.2作为导出“权数”和“加权平均数”的问题情境。 但仅如此不够，需要补充一些内容——因为教材没提供： （1）为何规定“权数是一组非负数”？“0”可以吗？分数可以吗？需结合实际问题经过讨论弄清。 （2）为何规定“权数之和为1”？也应结合实际问题经过讨论弄清。 二、请对一个习题发掘方法论内涵 第152页练习题3探讨加权平均数的应用：按2.4元价格卖出50千克、2元价格卖出35千克、1.6元价格卖出15千克，求平均价格。对这个题目不应只满足于“会算”，还应以它为资源对统计方法进行有方法论深度的发掘： 发掘一：为何总重量恰好设置为100千克？ “权数”是一种数学模型（源于结构化基本思想），但模型毕竟只是对真实情景的模拟——此题总重量恰好设置为100千克不过是编者的善意、想使计算简单，真实情况大多并不如此。为何不让数据更真实一些呢？要是我就会把总重量设置为小于或大于100千克，还正好能用分数来表征权数，既利于深刻理解“权数”的实质又不会增加多少计算量。 发掘二：用学过的老办法算，平均价格=总收入÷总重量，于是（2.4×50+2×35+1.6×15）÷（50+35+15），它与新学的加权平均数算法（2.4×0.5+2×0.35+1.6×0.15）结果相同！为什么？因为新办法不过是用分配律改变了计算程序，结果当然相同。那为何要学新办法？因为新办法包含了很有用的“权数”和“加权平均数”两个新概念，丰富并深化了统计方法。 三、请弥补违背统计方法要求的一个误差 统计分析是一种重要的数学方法，但要注意：只对某数据组做个统计就对该数据组结构性质得出分析结论是不科学的。 例一：第156页《说一说》的第三个结论“4月至9月……最高水位的极差达到了10.41m，最低水位的极差也有5.35m，反映了1998年湘江洪水暴涨，灾害严重”，可信吗？不可信：既不与其他年份比较、又不与容许极差值比较，你怎么知道1998年的情况是“暴涨、严重”？。 例二：第162页研究“如何评价一批棉花的质量”，方法是算出这批棉花的纤维长度平均数为4.85cm、方差为1.3275。但能根据这两个数据就说这批棉花“好”还是“不好”吗？不能：因为没有比较标准。 例三：第163页对“生产过程控制”的研究方法倒是对的！先算出两个时段所产两组零件的直径方差分别为0.026和0.008，再把它们与“方差应不超过0.01mm2”的标准比较，从而得出可信的结论：“8:30-9:30……生产情况不正常；经过调整后，……10:00-11:00……生产过程已恢复正常”。 四、请提炼并强调生成统计方法的数学基本思想 本章的主线是为解决一系列实际问题提出统计方法，很好。 但统计方法是如何生成于数学基本思想方法的呢？教材没说，可惜——因为这太重要了！那好，我们自己来提炼并向学生强调它吧。 以167-168页“派谁去参赛”问题的解决为例： （1）只看最快速度该派小华去，因为他的13.2s比小明的13.9s快很多。（2）只看最慢速度则该派小明去，因为小华的16.1s比小明的15.5s慢多了。（3）如看10次训练的平均速度又无法定论，因为一个14.6s、一个14.49s，差距极小。 哈，学生们为难了：究竟该派谁去呀？ 请他们再度审查、对比两组数据后，应能激发出新的猜想：那就看谁的训练成绩更稳定吧！ 如何衡量呢？“稳定”或“不稳定”只是定性的说法，要精确衡量、使人信服，必须用到数学的“量化基本思想方法”：创造一个数学模型，用它来数值化表征一组数据的波动幅度——这就是“方差”。 何止于此，其实所有的统计概念乃至整个统计学都是如此生成于数学量化思想方法的！不信的话，您可以回顾、反思一下。 此外，我们还可以留个尾巴让学生课外探究：第160页例2中，乙合唱队身高的方差是120cm2——数字这么大呀，该队最高的不过180cm、最矮的不过150cm呀？这说明“方差”这个数学模型还不太令人满意，那该怎么修改它呢？

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「 [初中数学思想方法教育]13、七下§5《轴对称图形》：站高一点分析、运用教材 」

→shch002 发表于 2011-9-12 8:57:00

0 推荐 13、七下§5《轴对称图形》： 站高一点分析、运用教材   本章教材其实蕴含了丰富的数学思想资源，建议大家站到高一点的立场去分析、发掘和运用它——但不排除对教材实行改进。 一、请用好数学语言训练资源。 数学思维包括形象思维，更包括抽象思维——用抽象符号作材料运作的思维。数字、字母、算符都是符号——但语言是更重要的符号。 思考过程要用“内部语言”，它无声、模糊、散乱、跳跃但很快；对思考过程与结果的表达则要用“外部语言”（话语、文字），为了让人听懂、看懂，它必须准确、清晰、符合逻辑，所以比用内部语言难得多。 因此，语言能力低←→思维能力低，我们必须高度重视数学语言训练。而本章就有相当多的数学语言训练机会，千万别浪费了！ 概念逻辑定义的表述：教材多次运用了“如果……那么叫做（就说、就称）……”之类的句式。 逻辑判断（描述两概念之关系）的表述：教材多次运用了“如果……则……”这样的单句，务必提醒学生，“如果……”半句是说“条件”、“则……”半句是说结论。所以，对随后多次出现的省略型单句（如第118页“线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等”），要引导学生补上“如果”和“则”，弄清谁是条件、谁是结论。 演绎推理（描述若干判断之关系）的表述更丰富！先用简单复句：第117页对人字形屋顶问题的推导过程“如……那么……于是……”。随后复句稍长：第118页8、9两行“由于……因此……又由于……从而……因此……”。再后复句更长：第123页例题第（2）问的推导过程“设……，则……‖所以……‖所以……”，第127页《动脑筋》题的解答过程“因为……‖所以……‖由此得出……”，第137页《动脑筋》题的证明过程“因为……‖所以……‖从而……‖再由……‖因此……”。此外，也要引导学生弄清复句中每个单句的功能——谁是条件、谁是结论。 二、请用好数学研究方法资源。 怎样才能贯彻新理念“让学生像数学家一样研究数学”，——那就要知道数学家研究数学的基本方法。 对此，刚修改的数学课标回答了一句话：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程”，——因为数学史证明数学家研究数学经历的就是“观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明”过程。 本章教材就提供了丰富的上述活动过程，我们要用好这一资源，大力发展学生的数学研究能力。 第115页先观察印章图样，再发现两图形的形状相同但方向相反，以此为基础提出“轴反射”概念及轴反射的性质；第117页先观察人字形屋顶图样，再发现中垂线；第118页先观察图示，再通过测量发现“线段中垂线上任一点到线段两端点等距”；第122页先观察三角形三条特殊内部线段的图示，再要求“试着为”这三条线段“命名”；同页还要求通过拼接操作自主发现三角形三边之间的关系；…… 我数了数，此类活动本章共设置了14次，真好！ 三、请关注：原命题为真，逆命题不一定为真！ 本章出现了很多原命题与逆命题皆真的情形，如： 第118页，两点A、B关于直线L对称﹤＝﹥直线L是线段AB的中垂线；118-119页，点在线段的中垂线上﹤＝﹥点到线段两端点等距；第131页加第133页，等腰三角形﹤＝﹥有两个角相等；第133页，等角对等边﹤＝﹥等边对等角；第137页，等边三角形﹤＝﹥三内角皆为600。 这是好事，让学生开始接触命题逻辑以培养逻辑思维能力。但一味如此会危险——容易暗示一个错误观念“原命题真、逆命题必真”！ 因此务必补充若干反例以澄清事实：如“金子是闪光的，闪光的却不一定是金子”之类；又如结合本章内容，三角形外角和等于3600，但外角和等于3600的图形却不一定是三角形（因为任何多边形的外角和都等于3600）。 四、能否换个办法定义“两图形关于某直线对称”？ 教材用“轴反射”来定义，对“对称点”则未给出精确定义。 此法似不理想。第一，塞进来的“轴反射”概念在本章再没用过，是否多余？第二，被模糊带过的“对称点”概念反倒在本章一用再用，岂非舍本逐末？ 换个办法如何？象第114页那样用对折法定义“轴对称图形”及其对称轴-→定义“对称点”（其连线被对称轴垂直平分）-→图形某部分的任一点都能在另一部分找到其对称点（对称轴上点的对称点就是它自身）-→推广到“两图形关于某直线对称”（图形a上的任一点都能在图形b上找到其对称点，反之亦然）。 这样做的好处是：复习巩固了逻辑化思想，严谨；复习巩固了量化思想，数量化、直观化；复习巩固了化归化思想（几何图形化归为点，如解析几何的起点就是“平面上的点与二元数组一一对应”），“化新为旧”、“化繁为简”；能消除“轴对称只是两图形轮廓线对称”的误解（对第114页第5行的“完全重合”须认真解读）；便于用来学习本章随后内容。 五、“结构化教学”别只关注“知识结构”！ 大家都知道应该推行“结构化教学”，吴亚萍《“新基础教育”数学教学改革指导纲要》的教学法建议概括地说就是“学结构、用结构”。 但“结构”仅仅是“知识结构”吗？不，吴书指出“结构”有三个：“知识结构”即数学知识的逻辑结构，“方法结构”即各种解决问题数学方法之间的关系结构，“认知结构”即学生学数学的认知活动结构（知情意相互影响、从感性到理性等）。 这样来看，本章教材的“小结”就需改进了。 其第一部分“基本概念”图示出了本章的知识结构，很好。 但第二部分“基本方法”却单薄了：用轴反射性质探究线段或角相等，用内角和性质探究外角和，用等腰或等边三角形性质探究线段或角相等。这些都只是“小办法”，只停留在“解题术”水平！ 难道本章没用更有价值的数学基本思想方法吗？非也，不但用了、还用得很多，仅举一例——本章研究三角形性质的部分： （1）量化方法：研究三边大小关系；研究内角和、外角与相邻内角互补、外角和；研究边角之间的大小对应。 （2）逻辑化方法：先研究一般三角形，再研究特殊的等腰、等边三角形；以三边长度关系为依据对三角形做划分；前文提到的概念逻辑、判断逻辑和演绎逻辑。 （3）化归化方法：将复杂轴对称图形化归为最简的对称点。 （4）结构化方法：全章都是研究三角形的结构特征。 所以，做教材分析确实要站高一点！

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「 [初中数学思想方法教育]12、七下§4《多项式的运算》：请开发思维（下） 」

→shch002 发表于 2011-8-24 10:20:00

0 推荐 12、七下§4《多项式的运算》：请开发思维（下）   四、还该让学生经历自主类比过程 课改提倡的合情推理有归纳还有类比，所以又该让学生充分经历自主类比过程。 （1）教材推导am·an=am+n用的就是类比推理：因为a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a·a·a·a·a=a5，与此类比得am·an=（m个a自乘）·（ n个a自乘）=（m+n）个a自乘=am+n （2）推出二个同底数幂相乘的法则后，教材紧接着问“当3个或3个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式表示运算的结果呢？”也可用类比法：与已得法则类比可得“仍然是底数不变、指数相加”。 （3）教材推出（am）n=amn，是通过将它与（a3）4=a3×4类比。 （4）教材推出（ab）n=anbn，是通过将它与（ab）3=a3b3类比。 （5）教材推出一般情形的多项式与多项式相乘法则，是通过将它与（a+b）·（m+n）=am+an+bm+bn类比。 （6）教材将算律ab=ba、a（bc）=（ab）c、a（b+c）=ab+bc不加任何说明就用于解决多于3个数的一般情形，其实也是将一般情形与只含3个数的特殊情形类比得出。 上述或明或暗的类比推理运用，我们先要自己弄明白，然后引导学生自主经历它们的过程，以此开发思维资源，培养学生合情推理的意识和能力。 五、演绎思维资源同样丰富存在 与“合情推理”相对的是“合理推理”即演绎推理，其“合理”指合乎逻辑，——给概念下定义、对概念作划分（即常说的“分类”）、判断概念之间的关系（如“1既不是素数也不是合数”）、推导判断之间的关系（即“推理”如“合数之和一定是合数，2和4都是合数，故其和6一定是合数”）等等，都必须符合相关逻辑法则。 我们熟知数学饱含演绎推理、学数学最利于培养演绎思维能力、要高度重视教学中演绎思维的开发，但遗憾地是，在代数教学中我们又往往只重运算技能培养却忽视演绎思维开发！ 其实代数与几何一样饱含演绎思维资源——就看我们在意了没有、发掘了没有。 本章教材有运用演绎推理的地方吗？多得是，至少每道运算题、化简题都包含演绎推理——每一步运算都必须以该运算的定义、法则及算律等为依据进行演绎推理才能实施（无须举例了）。此外还有一些地方： （1）第88页a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a·a·a·a·a=a5的推导过程就属于演绎推理，只少了一个说明：（a·a·a）·（a·a）=a·a·a·a·a的依据是乘法结合律。 （2）第89页《动脑筋》“当3个或3个以上的同底数幂相乘时，怎样用公式表示运算的结果”：其结果“底数不变、指数相加”对3个同底数幂来说可以严密推出（只需分两步、每次计算两个同底数幂的积）；如多于3个（如一般性的n个）则又需运用数学归纳法推导。 （3）如果以上一结果为依据，则第91页幂的乘方法则可以通过严密演绎推导出来。 （4）第92页积的乘方法则虽可通过类比得出，但如看做演绎推出，则推导过程不够严密——所用的推广交换律、推广结合律还没证明呢！ （5）第93页《动脑筋》计算4x2y与-3xy2z乘积的第一步是： 4x2y·（-3xy2z）=4·（-3）（x2·x）（y·y2）z，并追问“为什么？” 能简单地回答“根据乘法的交换律与结合律”吗？不能！因为原式首先只能展开成（4·x2·y）·〔（-3）·x·y2·z〕，然后须多次运用乘法结合律展开成4·x2·y·（-3）·x·y2·z——此时面对着多于3个数相乘，必须运用推广的乘法交换律才能得出4·（-3）（x2·x）（y·y2）z。 （6）注意补充：第95页单项式乘多项式法则的得出用到了推广分配律——原有的分配律只对三个数的关系有效，而此时面对的不止三个数。 （7）第97页对（a+b）·（m+n）的计算方法，教材先根据例题的实际意义得出，然后指出“利用……继续利用乘法分配律”便可独立得出——该推导严密。 您可能对这段内容有看法：何必如此细究？ 却不知，我早已发现有些教师（甚至是“优秀教师”）连自己都没弄清教材中演绎推理的深刻存在及其重要性——比如坚持认为“a0=1是推导出来而不是人为规定的”，那还怎能有效开发学生的演绎思维呢？ 六、再罗嗦二句 （1）教材第97页探究（a+b）·（m+n）的计算方法时，把它转换为求居室面积，这是用了“数形互化”策略——而这一策略的源头则是结构化基本思想方法：该几何问题与原代数问题各自的数量关系结构“同构”，故解决该几何问题的方法可用来解决原代数问题。 （2）请思考：教材第89页对同底数幂乘法法则为何规定“m、n都是正整数”——m、n是小数、分数、负数不行吗？