<span style="color:#000000">2012年全国初中数学竞赛试题（正...

2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案

   一、选择题

 

1（甲）．C

 

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

 

，且，

 

所以  ．  

 

1（乙）．B

 

解：．

 

2（甲）．D

 

解：由题设知，，，所以.

 

解方程组得 

 

所以另一个交点的坐标为（3，2）.

 

注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.

 

2（乙）．B

 

解：由题设x²＋y²≤2x＋2y， 得0≤≤2.

 

因为均为整数，所以有

 

   

 

解得

 

        

 

以上共计9对.

 

3（甲）．D

 

    解：由题设知，，所以这四个数据的平均数为

 

，

 

中位数为             ，

 

于是                   .

 

3（乙）．B

 

解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.

 

 

（第3（乙）题）

 

由于AC = BC，CD = CE，

 

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE，

 

所以△BCD≌△ACE， BD = AE.

 

又因为，所以.

 

在Rt△中，

 

于是DE=，所以CD = DE = 4.

 

4（甲）．D

 

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得

 

 

消去x得                (2y－7)n = y+4，

 

               2n =.

 

因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

 

4（乙）．C

 

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即 . 由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或 ，1≤q≤2，此时都有. 于是共有7组符合题意．

 

5（甲）．D

 

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．

 

5（乙）．C

 

解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

 

设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则

 

，

 

解得                     ，．

 

二、填空题

 

6（甲）．7＜x≤19

 

解：前四次操作的结果分别为

 

 3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.

 

由已知得       27x－26≤487，

 

                   81x－80＞487.

 

解得  7＜x≤19.

 

容易验证，当7＜x≤19时，≤487 ≤487，故x的取值范围是

 

7＜x≤19．

 

6（乙）．7

 

解：由已知可得

 

 

 

．

 

7（甲）．8

 

解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以

 

 ，

 

由此得，所以.

 

 

（第7（甲）题）

 

在Rt△ABF中，因为，所以

 

，

 

于是             .

 

由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ，

 

      .

 

于是        ，

 

，

 

                 . 

 

又，所以.

 

因为，所以.

 

7（乙）．

 

解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以

 

，

 

．

 

 

（第7（乙）题）

 

所以    .

 

8（甲）．

 

解：根据题意，关于x的方程有

 

=k²－4≥0，

 

由此得                           (k－3)²≤0． 

 

又(k－3)²≥0，所以(k－3)²=0，从而k=3. 此时方程为x²+3x+=0，解得x₁=x₂=.

 

故==．

 

8（乙）．1610

 

解：因为==.

 

当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除；

 

当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除；

 

当被5除余数是0时， 不能被5整除.

 

所以符合题设要求的所有的个数为．

 

9（甲）．8

 

解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知

 

，

 

由此得0≤b≤43.

 

     又 ，所以. 于是

 

                     0≤≤43，

 

87≤≤130，

 

由此得 ，或.

 

当时，；当时，，，不合题设.

 

故．

 

9（乙）． ≤1

 

    解：由题设得

 

 

所以                   ，

 

即                      .

 

整理得

 

                        ，

 

由二次函数的图象及其性质，得.

 

又因为 ≤1，所以≤1.

 

10（甲）．

 

解：如图，连接AC，BD，OD.

 

 

（第10（甲）题）

 

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

 

依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O

 

的内接四边形，所以

 

∠BCF =∠BAD,

 

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 .

 

因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，

 

于是 . 因此

 

.

 

由△∽△，知．因为，

 

所以 ，BA=AD ，故

 

.

 

10（乙）. 12

 

解：由已知有，且为偶数，所以同为偶数，于是是4的倍数．设，则1≤≤25．

 

（Ⅰ）若，可得，与b是正整数矛盾．

 

（Ⅱ）若至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对满足；若恰是一个素数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足．

 

（Ⅲ）若是素数，或恰是一个素数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足．

 

因为有唯一正整数对，所以m的可能值为2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12个．

 

三、解答题

 

11（甲）．解： 因为当时，恒有，所以

 

，

 

即，所以．                          

…………（5分）

 

当时，≤；当时，≤，即

 

≤，

 

且                    ≤，

 

 

 

解得≤．                                         

…………（10分）

 

设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得

 

．

 

因为，所以

 

，

 

解得，或．

 

因此．                 

…………（20分）

 

11（乙）．解：因为sin∠ABC=，，所以

 

AB = 10．

 

由勾股定理，得 BO=.

 

 

（第11（乙）题）

 

易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6.

 

于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.

 

设点D的坐标为（m，n），由S_△COE = S_△ADE，得S_△CDB = S_△AOB.  所以 

 

               ，

 

，

 

解得n=－4. 

 

因此D为AB的中点，点 D的坐标为（3，－4）.           

…………（10分）

 

因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为.

 

设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y=a（x－6）（x+6）. 将点E的坐标代入，解得a =.

 

故经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为

 

.               

…………（20分）

 

12（甲）． 证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形．

 

 

（第12（甲）题）

             …………（5分）

 

设与交于点，连接OM，则．又因为，所以

 

．             

…………（15分）

 

又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以

 

△BOC∽△．           

…………（20分）

 

12（乙）．证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知

 

           

 

 

（第12（乙）题）

 

所以                         CI = CD．

 

同理，                   CI = CB.

 

故点C是△IBD的外心.

 

连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC，

 

所以OI⊥AC，即OI⊥CI.

 

故OI是△IBD外接圆的切线.                                 

…………（10分）

 

（2） 如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F.

 

由，知OC⊥BD.

 

因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以

 

Rt△BCF≌Rt△AIE，

 

所以BF = AE.

 

又因为I是△ABD的内心，所以

 

AB+AD－BD = 2AE = BD.

 

故AB+AD = 2BD．                                

…………（20分）

 

 

13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n²（n是正整数）.

 

因为                  (a+b)²－4ab = (a－b)²，

 

所以                  (2a－m)²－4n² = m²，

 

 (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m².    

 …………（5分）

 

因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以

 

            2a－m+2nm ²，2a－m－2n1.

 

解得               a，.

 

于是               = a－m.          

…………（10分）

 

又a≥2012，即≥2012.

 

又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.

 

当时，，，.

 

因此，a的最小值为2025.                       

…………（20分）

 

13（乙）．解：假设凸边形中有个内角等于，则不等于的内角有个．

 

（1）若，由，得，正十二边形的12个内角都等于；                                    

…………（5分）

 

（2）若，且≥13，由，可得，即≤11．

 

当时，存在凸边形，其中的11个内角等于，其余个内角都等于，．                                       

  …………（10分）

 

（3）若，且≤≤．

 

当时，设另一个角等于．存在凸边形，其中的个内角等于，另一个内角．

 

由≤可得；由≥8可得，且．        

 …………（15分）

 

（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．当时，存在凸边形，其中个内角等于，另两个内角都等于．

 

综上，当时，的最大值为12；当≥13时，的最大值为11；

 

当≤≤时，的最大值为；当3≤≤7时，的最大值为．        

…………（20分）

 

14（甲）．解：由于都是正整数，且，所以

 

≥1，≥2，…，≥2012．

 

于是  ≤．

…………（10分）

 

当时，令，则

 

.

…………（15分）

 

    当时，其中≤≤，令

 

，则 

 

．

 

综上，满足条件的所有正整数n为．  

…………（20分）

 

14（乙）．解：当时，把分成如下两个数组：

 

  和  ．

 

    在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．

 

在数组中，由于，所以其中不存在数，使得．

 

所以，≥．  

…………（10分）

 

下面证明当时，满足题设条件．

 

不妨设2在第一组，若也在第一组，则结论已经成立．故不妨设在第二组. 同理可设在第一组，在第二组．

 

此时考虑数8．如果8在第一组，我们取，此时；如果8在第二组，我们取，此时．

 

综上，满足题设条件．

 

所以，的最小值为．                          

 …………（20分）

20