从被开方数入手

从被开方数入手

湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

二次根式中被开方数的非负性，时常是求解二次根式问题的重要隐含条件。从被开方数入手，将会使很多问题迎刃而解。

一、确定二次根式有意义

例1.下列各式中一定是二次根式的是（    ）

A.       B.       C.       D.

分析：二次根式的两个基本特征是①带二次根号“”，②被开方数必为非负数。A中被开方数为负数；B中不带“”，而是“”；D中被开方数的正负无法确定；所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被开方数恒大于0，且带“”，故选（C）。

例2.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴     ⑵     ⑶       ⑷

分析：使二次根式在实数范围内有意义，必有被开方数大于等于0。如果式子中含有分母，分母不能为0。

解：⑴由2－ｘ≥０，ｘ－１≥０，∴１≤ｘ≤２，∴当１≤ｘ≤２时，⑴式有意义；

⑵由2x—1＞0　（∵分母2x—1≠0）∴x＞ ， ∴当x＞时，⑵式有意义；

⑶由x—1≥0，x—2≠0，∴x≥1且x≠2 ，∴当x≥1且x≠2时，⑶式有意义；

⑷由于( x—3)≥0，∴x取任何实数时，⑷式都有意义。

二、含有相反数的被开方数根式的化简与求值

例3.已知y=，求（xy—64）的算术平方根。

分析：由被开方数x—7，7—x互为相反数，且均需满足被开方数大于等于0。故x—7=7—x=0，由此求出x、y。

解：由  ∴x—7＝7—x＝0  得x=7，∴y＝9

∴＝＝＝1

例4.设等式在实数范围内成立。其中，m、x、y是互不相等的三个实数，求代数式的值。

解：由m≠x≠y，∴x—m≠0，  y—m≠0

又被开方数    x—m≥0 ， m—y≥0即y—m≤0

即有x—m＞0，y—m＜0

而被开方数     ∴        ∴m＝0

将m=0代入等式，得      ∴x＝－y＞0

∴＝＝＝

 

下面两道练习题，同学们不妨试试。

1.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

⑴    ⑵    ⑶    ⑷

2.若y=，试求（4x－2y）的值。

 

（发表于《小博士报·中学辅导》2006年10月23日）