小小三角板 数学大舞台

小小三角板 数学大舞台

山东省汶上县第二实验中学　李启锋

三角板是教师、学生很熟悉的学习用具了，在近年来的数学中考题中以它为载体出现的试题层出不穷，屡见不鲜，从选择题、填空题到中等题，再到压轴题，均有涉猎,现采撷了一些考题供大家参考。

1.（2011?遵义）把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（　　）

A、115°         B、120°

       C、145°         D、135°

考点：平行线的性质。

分析：由三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角相等，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．

解答：解：在Rt△ABC中，∠A=90°，

∵∠1=45°，

∴∠3=90°﹣∠1=45°，

∴∠4=180°﹣∠3=135°，

∵EF∥MN，

∴∠2=∠4=135°．

故选D．

 

点评：此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．

2.（2011湖南省娄底市）如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（　　）

A、80            B、50

       C、30            D、20

考点：平行线的性质；三角形的外角性质。

专题：计算题。

分析：由BC∥DE得内错角∠CBD=∠2，由三角形外角定理可知∠CBD=∠1+∠3，由此可求∠3．

 

解答：解：如图，∵BC∥DE，∴∠CBD=∠2=50°，

又∵∠CBD为△ABC的外角，

∴∠CBD=∠1+∠3，

即∠3=50°﹣30°=20°．

故选D．

 

点评：本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，关键是利用平行线的性质，将所求角与已知角转化到三角形中，寻找角的等量关系．

 

 

3．(2011年河南省)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______________．

考点：平行线的性质；三角形的外角性质。

专题：计算题。

分析：由AB∥DE得∠ABE=∠E, 由三角形外角定理可知∠1=∠ABE+∠A，由此可求∠1．

解答：∵AB∥DE，∴∠ABE=∠E=30°，

又∵∠1为△ABC的外角，

∴∠1=∠ABE+∠A，

即∠1=30°+45°=75°．

点评：本题重点考察平行线的性质、三角形的外角，关键是将所求角与已知角转化到三角形中。

4. （2011年龙岩市）一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行。

（1）如图①，α=______°时，BC∥DE；

（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：

图②中α=______°时，______∥______；图③中α=______°时，______∥______。

 

 

考点：平行线的知识，旋转的性质。

专题：计算题

分析：（1）由旋转的性质得∠α=∠DAE-∠BAC=15⁰

     （2）如下图②∠α=∠B=60⁰时，BC∥DA；  如下图③∠B=∠BAE，即∠α=∠BAE+∠DAE=60⁰+45⁰=105⁰ 时,BC∥EA（或∠D+∠DAC=180⁰，即∠α=180⁰ -∠D -∠BAC=105⁰  时，DE∥AC；或∠D+∠α=180⁰，即∠α=180⁰-∠D=135⁰时，DE∥AB）。

点评：本题考察平行线的知识，旋转的性质。关键是找准在旋转的过程中哪个边和哪个边平行,考察学生的空间想象能力。

 

5．（2011年株洲市压轴题）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：

（1）若测得（如图1），求的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

 

考点：坐标系的知识、二次函数的知识，对称的性质，三角形的相似，方程的知识等等。

专题：压轴题。

解答：

（1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，

 ，，

∴，∴(，)    

将(，)代入抛物线得，.

（2）解法一：过点作轴于点，

点的横坐标为，∴ (1，)，

∴.  又 ，易知，又，

∴△∽△，  ∴ 

设点（，）（），则，，∴

∴，即点的横坐标为.        

解法二：过点作轴于点，

点的横坐标为，∴ (1，)，

∴    

 ，易知，

∴，

设点（-，）（），则，，∴

∴，即点的横坐标为.

解法三：过点作轴于点，

点的横坐标为，∴ (1，)，

设（-，）（），则

，，，

 ，

∴，

解得：，即点的横坐标为.

（3）解法一：设（，）（），（，）（），

设直线的解析式为：，     则，

得，，

 ∴           

又易知△∽△，∴，∴，∴

∴.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）

解法二：设（，）（），（，）（），

直线与轴的交点为，根据，可得

，

化简，得.

又易知△∽△，∴，∴，∴

∴为固定值.故直线恒过其与轴的交点（,）

点评：这是一道以三角板为载体的综合题，解决本题我们默认了一个事实是三角板中的∠AOB=90⁰。

 

一副三角板，实际上是两个特殊三角形，以它为媒介来出的中考试题中，我们要认清这样的一些事实：它的每个角是多少度，边与边之间的数量关系，角与边之间的关系，也就是解直角三角形的知识。充分利用这些隐含的条件，再结合其他的数学知识来解决问题。

下面再给出一些练习题：

 

1. （黄石市2011年）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图（1），则三角板的最大边的长为（   ）

A.       B.     C.      D.  

2、（2011年四川绵阳）将一副常规三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为

A、75°           B、95°        

  C、105°            D、120°

 

3. （2011年恩施自治州） 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是：

 A、43°      B、47°        C、30°      D、60°

 

4、（2011?金华）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（  　）

       A、30°          B、25°

       C、20°          D、15°

 

5．（2011年山东省东营市）一副三角板，如图所示叠放在一起．则图中∠α的度数是(   )

  A．75°    B．60°

  C．65°    D．55°

6、（2011?宜昌）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为（　　）

A、30cm         B、20cm

C、10cm         D、5cm

 

7、(2011四川乐山)如图，直角三角板ABC的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板的位置后，再沿CB方向向左平移，使点落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板平移的距离为

(A) 6㎝       (B)   4㎝   

（C） （6－ ）㎝ 

（D）（）㎝

8.(2011年山东省菏泽市)一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，

则∠等于

A.30°       B.45°        C.60°                   D.75°

 

 

9. (2011年江西省中考题)一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示,∠1+∠2=___________度.

　

 

10 （2011年江西省南昌市）如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，∠DAB =30°，有以下四个结论：①AF⊥BC  ②△ADG≌△ACF  ③O为BC的中点 ④AG︰DE=，其中正确结论的序号是   ______________.

11．（2011年山东省枣庄市）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是________cm². 

 

12．(2011年内蒙古包头市)在Rt△ABC中，AB＝BC＝5，∠ABC＝90?．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，将三角板绕点O旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC或其延长线于点E、F，图①、②是旋转三角板所得图形的两种情况．

(1)三角板绕点O旋转，△COF能否成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况(即给出△COF是等腰直角三角形时BF的长)；若不能，请说明理由．

(2)三角板绕点O旋转，线段OE和OF之间有什么数量关系？用图①或图②加以证明．

(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图③)，当AP∶AC＝1∶4时，PE和PF有怎样的数量关系？证明你发现的结论．

13．（2011年山东省威海市）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长。

　　　　　　　　　　　　　　

 

练习题参考答案：1 D； 2 C； 3 B；4 B；5  75°；6 C；7 （C）；8  75°； 9  90° ； 10  ①②③④ ；11  24.5；

12 提示：（1）BF=或BF=0；（2）OE=OF   连接OB 证明△OBE≌△OCF

（3）PE∶PF＝1∶3  过点P分别作AB BC的垂线，利用相似三角形证明。

13 提示：CD=15-5

2011-08-09  人教网