从最佳答案谈思考问题的角度

昵称3826483 2012-05-01

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从最佳答案谈思考问题的角度

湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学　赵国瑞

一次，英国某家报纸举办了一项资金丰厚的有奖竞答活动，题目是：

3位科学家同时乘坐一个充气不足的热气球旅行．第一位是个环保专家，他的研究可以拯救无数人，使他们免于因为环境污染而面临死亡的厄运．第二位是个核专家，他有能力防止全球性的核战争，使地球免于遭受灭亡的绝境．第三位是个粮食专家，他能够运用其专业知识在不毛之地种植多种粮食，使成千上万的人脱离饥荒的命运．

此刻，热气球即将坠毁了，我们必须选出一个人，把他丢下去以减轻重量，使其余的两人得以存活，请问我们该丢下哪一位关系世界兴亡命运的科学家呢？

问题刊出后不久，各地的信件便如雪片般飞来了，大家谁都想拿到那笔诱人的丰厚奖金，因此每个人都竭尽所能，甚至是天马行空地阐述着他们认为必须丢下那位科学家的宏观见解．

但最后的结果却让所有人大吃一惊，巨额奖金的得主竟然是一个不到10岁的小男孩．他的答案是：把最胖的科学家丢下去．

三个科学家都是在不同领域对世界兴亡产生举足轻重的人物，表面上看丢下哪一位科学家都不行，如果仅停留在三位科学家“谁更重要”这个角度，就会陷入出题者布下的陷阱！而小男孩能够独辟蹊径，从“如何减轻重量”这个角度思考，当然应该把最胖的科学家丢下去，从而赢得巨额奖金．看来，思考问题的角度很重要，解决数学问题亦是如此．

先看2007年四川内江的一道中考题：小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图1，请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是( )

　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1

A．106cm B．110cm C．114cm D．116cm

对于该题，大部分同学会这样思考：为了求出100个纸杯整齐叠放在一起时的高度，需先求出一个纸杯的高度及每增加一个纸杯时增加的高度．

于是设一个纸杯的高度为xcm，每增加一个纸杯高度增加ycm，根据图中的信息，得即解这个方程组，得

所以100个纸杯的高度是7+1×(100-1)=106(cm)．故应选(A)．

还有一部分同学注意到“每增加一个纸杯时增加的高度相同”，便断定纸杯的高度与纸杯的个数两者具有一次函数关系．于是设纸杯的高度y与纸杯的个数x之间的函数关系式为y=kx+b．

根据题意，得．解得．所以纸杯的高度y与纸杯的个数x之间的函数关系式为y=x+6．当x=100时，y=106(cm)．故应选(A)．

上面两种解法分别是从“一个纸杯的高度加上增加的纸杯的高度”和“一次函数”的角度求解，都需要列方程组，本来无可厚非．能不能对原题的解法再进行改进呢？

如果能从“原来纸杯的高度加上增加的纸杯的高度”这个角度来求100个纸杯整齐叠放在一起时的高度的话，本题根本无需列方程组，甚至可以口算．由“3个纸杯叠放在一起时的高度是9cm”可知，只要用9cm再加上增加的97个纸杯叠放在一起时的高度就是100个纸杯叠放在一起时的高度(当然也可由“8个纸杯叠放在一起时的高度是14cm”，用14cm再加上增加的92个纸杯叠放在一起时的高度)．结合“8个纸杯叠放在一起时的高度是14cm”可知，每增加一个纸杯高度增加(14-9)÷(8-3)=1(cm)，所以100个纸杯整齐叠放在一起时的高度为9+97=106(cm)．故应选(A)．这样思考是不是更简捷呢？

再看2010年广西南宁的一道中考题：

正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图2所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为( )

　　　　　　　　　　　　　　图2

A．10 B．12 C．14 D．16

注意到△DEK是一个一般三角形，直接求其面积非常困难，于是我们想到运用割补法，将△DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3

如图3，延长AE交PK的延长线于点H．则S_△DEK=S_{正方形ABCD}+S_{正方形BEFG}+S_矩形EHPF-S_△ADE-S_△CDG-S_△PGK-S_△EHK．

不妨设正方形ABCD、正方形RKPF的边长分别为a、b，则

S_△DEK=a²+4²+4b-a(a+4)-a(a-4)-b(b+4)-b(4-b)

=a²+4²+4b-a[(a+4)+(a-4)]-b[(b+4)+(4-b)]

= a²+4²+4b-a·2a-b·8=a²+4²+4b-a²-4b=4²=16．故应选(D)．

或许有些学生认为上面求S_△DEK的表达式比较麻烦，他们注意到四边形AHKD是一个梯形，这样S_△DEK可表示为S_梯形AHKD-S_△DAE-S_△EHK，表达式肯定会变得简单．于是

S_△DEK=S_梯形AHKD-S_△DAE-S_△EHK=(a+4-b)(a+4+b)-a(a+4)-b(4-b)

=[(a+4)²-b²-a(a+4)-b(4-b)]=(a²+8a+16-b²-a²-4a-4b+b²)

=(4a-4b+16)．

由于已知条件并没有直接告诉4a-4b的值，有的同学做到这里“卡壳”了．怎么办呢？下面的事情就是求出4a-4b的值，为此需要找出a，b的关系．注意到△DCG∽△GPK，则有=，即=．∴ab=(a-4)(b+4)，整理得4a-4b=16．

于是S_△DEK=(4a-4b+16)=(16+16)=16．

所以从表面上看，将S_△DEK的表达式变得简单了，似乎求解过程也应该简单．然而在求解过程中，还需用到相似三角形的知识，不仅麻烦，有时甚至在这里“卡壳”，反而弄巧成拙！．

从所给的选项可知△DEK的面积可以求出来，而已知条件仅告诉了正方形BEFG的边长为4(相当于告诉了正方形BEFG的面积)，我们可以大胆猜测：△DEK的面积仅与正方形BEFG的面积有关，而与其它两个正方形的面积无关！于是我们应该设法让△DEK与正方形BEFG发生联系！　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4

联想到平行线具有“传递面积”的功能(等底等高的三角形面积相等)，于是我们连接DB、GE、FK，如图4所示，则∠DBA=∠GEB=45°，∴DB∥GE．所以△GED与△GEB等高．∴S_△GED=S_△GEB．同理S_△GEK=S_△GEF．于是S_△DEK=S_△GED+S_△GEK=S_△GEB+S_△GEF=S_{正方形BEFG}．这样做是不是十分简捷呢？

这样原题就有三种解法，这三种解法都是从“割补”的角度思考问题，将原三角形的面积转化为规则图形的面积的和差，其中前两种解法又是从“补形”的角度思考问题，而第三种解法是从“分割”的角度思考问题．前两种解法通过用字母表示出有关正方形的边长，求出三角形的面积表达式，侧重于代数方法，第三种解法主要通过平行线的“传递面积”功能，将三角形的面积转化为正方形的面积，又侧重于几何方法．另外，尽管前两种方法都侧重于代数方法，但由于思考角度还是有细微差别，直接导致解答过程的繁简程度不同．

从以上两个问题可以看出，在解决数学问题的时候，思考问题的角度非常重要！这就要求我们在平时的学习和解题过程中，要注意积累解题经验和技巧，对于不同的数学问题，要注意选准问题的视角，然后“对症下药”，尽可能使复杂的问题简单化！

快乐体验：

1．商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图5中的信息，当有10张塑料凳整齐的叠放在一起时的高度是＿＿cm．