二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用
［学习目标］ 1. 熟练掌握二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；运用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。 2. 学会用列一元二次方程的方法解实际应用题。 3. 通过二次三项式的因式分解的学习，提高分析问题，解决问题的能力；进一步了解认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。 4. 通过一元二次方程的应用的学习，提高化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养用数学的意识；深刻体会转化，方程，数形结合等初等数学的思想方法。
二. 重点、难点： 1. 教学重点： ①应用公式法将二次三项式因式分解；会用列一元二次方程的方法解决实际应用的问题。 ②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找出表示全部含义的相等关系，是能否列出方程的前提和保证。
2. 教学难点： ①一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系；一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。 ②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找等量关系是难点；注意求解后，检验根是否符合实际意义。
【典型例题】 例1. 分解因式 ① ③ ⑤ 分析：前四个均为二次三项式 第五个用平方差公式，再用公式法分解二次三项式。 解：①令 ∴ ②解法1：令 ∴ 解法2： 解法3： ③令 ∴ ④∵ ∴ ⑤ ∵令 ∴ ∵令 ∴ ∴ 点拨：②中三种方法各有千秋，公式法，配方法，十字相乘法，注意结果写成幂的形式。③二元时选其中一元为主元，另一元为已知数，即可。注意最终结果的简洁形式，④⑤中都要考虑二次三项式
例2. 分解因式： 分析：形如 解：解法1： ∵ ∴ 解法2：设 比较对应项系数 ∴ 解法3：整理为关于x的二次三项式 令 ∴ ∴
例3. 黄岗百货商店服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为迎接“六·一”，商场决定降价，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 分析：经济类问题应用。要切实理解减少库存是本题需要。 解：设每件童装应降价x元，根据题意， 解得： 因要减少库存，∴ 答：每件童装应降价20元。
例4. 某中学的校办工厂的年产值1998年是50万元，年年增加，到2000年达60.5万元。问（1）平均每年的年产值增长率是多少？（2）三年总产值多少？ 分析：储蓄中复利计本利和与生产值增长率问题。假设年利率为x，本金a，则n年后本利和为 解：（1）设每年平均增长率x，则1999年产值 由题意： 解得： 答：平均每年增长率为10%。 （2） 答：1998至2000年这三年总产值为165.5万元。 点拨：注意舍去不合题意的根，别忽略（2）的计算与做答。
例5. 两个连续偶数积为288，求这两个数。 分析：两个连续偶数差2，可设x， 解：设这两个偶数分别为x，x+2，根据题意， 解得： 答：这两个连续偶数是16，18或－18，－16。 点拨：如果两个连续奇数也可这样设，但更好的设法是： ∴
例6. 一个矩形的硬纸片，它的长比宽的2倍少4厘米，在它的四个角上各剪去一个边长为2厘米的正方形，然后折成一个无底的小盒子，如果这个小盒的体积为484立方厘米，求原来矩形纸片的长和宽。 分析：设原矩形宽为x厘米，那么长 解：设原矩形纸片的宽为x厘米，则长为
∴ ∴ 答：原矩形纸片的长为26厘米，宽为15厘米。 点拨：列一元二次方程可解决体面积有关的应用题，注意舍根。
例7. 一个直角三角形，斜边 分析：在Rt△中，三边a，b，c满足 解：设一条直角边长为x cm，则另一条边长为 根据题意列方程 解得 答：两条直角边长分别是8cm和4cm。 点拨：很多几何题求边时，用方程思想解决，而相等关系多由勾股定理提供，掌握本题很重要，体现了“几何问题代数化”。
例8. 用100cm的金属丝，作成矩形的框子，使面积分别为（1）500cm2；（2）625cm2；（3）800cm2。是否办得到，求出它的长和宽（精确到mm）。 分析：可列方程组解决面积问题。 解：设矩形长为x(cm)，宽为y(cm)，则 （1） 由 答：面积为500cm2时，长约是36.2cm，宽约是13.8cm。 （2） 易知x，y是方程 答：面积为625cm2时，长是25cm，宽也是25cm，围成边长25cm的正方形。 （3） x，y为方程 答：面积800cm2，周长100cm的矩形不存在。 点拨：解题后，思考三小题：用100cm长的铁丝围成500cm2的矩形做成了；再围大点，面积625cm2，围成了正方形；再大点，面积800cm2，围不成。长度有限的铁丝怎能围出要多大，有多大的矩形呢！当正方形时面积达到最大值。
［总结扩展］ （1）用公式法将二次三项式 （2）二次三项式 （3）联系所学知识总结出遇见二次三项式因式分解的步骤：①首先考虑能否提取公因式；②其次考虑能否选用十字相乘法；③最后考虑公式法。 （4）通过二次三项式因式分解的学习，提高分析问题、解决问题的能力；通过结论探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律。 （5）注意：①在进行类似 （6）“一元二次方程的应用”是“一元一次方程的应用”的继续和发展。由于用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的。所以，通过学习大家要认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性。 （7）列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程，解方程，判断根是否适合题意，作出正确的答案。列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在。 （8）善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程。由此培养学生用数学的意识，渗透转化与方程的思想方法。 （9）进一步体会数字在实践中的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。
【模拟试题】（答题时间：30分钟） 一、选择题 1. 下列多项式不能在实数范围内分解的是 A. C. 2. 多项式 A. B. C. D. 3. 两个连续正整数的和的平方比它们的平方和大112，则这两个正整数是 A. 5，6 B. 7，8 C. 8，9 D. 6，7 4. 某印刷厂一月印50万册，二，三月共印132万册，问二、三月平均每月增长的百分数是 A. 20% B. 5. 某工厂计划在长24米，宽20米的空地中间划出一块32平方米的长方形建一住房，并且四周剩余地一样宽，那么这宽度应是 A. 14米 B. 8米 C. 14米或8米 D. 以上都不对
二、填空题 6. 因式分解 ① ② ③ ④ ⑤ 7. 一个两位数等于它个位数的平方，且个位数比十位数大3，则这个两位数是_________。 8. 某药品经两次降价，从原来每箱60元降为每箱48.6元，平均每次降价率为_________。 9. 有两个数不等，和17，积比小点数的平方大30，用方程求这两数，设_________，根据题意，列方程得_________。 10. 一矩形面积132cm2，周长46cm，则矩形长是_________，宽是_________。 11. 连续两个正奇数的平方和等于202，这两个奇数中较小的是_________。
三、解答题： 12. 已知二次三项式 13. 面积为150m2的矩形鸡场，长边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，若篱笆长35m，求鸡场的长和宽。 14. 一批上衣原来每件500元，第一次降价，销售甚慢，第二次大幅降价的百分率是第一次的2倍，结果以每件240元价格迅速售出，求每次降价的百分率。 15. 在长为a的线段AB上有一点C，且AC是AB、BC的比例中项，求线段AC的长。
【试题答案】 一、选择题 1. C 2. B 3. B 4. A 5. B
二、填空题 6. ① ② ③ ④ ⑤ 7. 25或36 8. 10% 9. 小数为x， 10. 12cm，11cm 11. 9
三、解答题： 12. 解： ∵原二次三项式是完全平方式 ∴ 13. 解：设篱笆长为x cm，根据题意， 解得： 检验： 又 答：鸡场长为15m，宽为10m。 14. 设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x， 依题意 即 ∴ 又 答：第一次降价20%，第二次降价40%。 15. 解：由题意， ∴ 答：线段AC长为
【励志故事】 用进废退 意大利小男孩托蒂有一只十分奇怪的眼睛。说“十分奇怪”，主要是因为眼科大夫多次会诊得出的结论都相同：从生理上看，这是一只完全正常的眼睛。但是这只眼睛却是失明的。一只完全正常的眼睛何以失明了呢？原来，当小托蒂呱呱坠地时，由于这只眼睛轻度感染，曾被绷带缠了两个星期，正是这种对常人来说几乎没有任何副作用的治疗，对刚刚出生、大脑正处于构建发育关键期的婴儿托蒂造成了极大的伤害。他的大脑由于长时间无法从这只眼睛接受任何外界信息，就认为它瞎了，于是原先该为它工作的大脑神经组织也随之“战略转移”了。 小托蒂遭遇的不幸并非偶然性的特殊个案。后来，研究人员在动物身上做了很多类似的实验，发现结果都是一样的，都严格执行着“用进废退”的规则。 |
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B. 
D. 
C. 10% D. 15%
