反比例函数

反比例函数  

反比例函数

 

    教学目标：

  1. 能够写出实际问题中反比例关系的函数解析式，从而解决实际问题。

  2. 用描点法画出反比例函数的图象，当时，双曲线的两支在一、三象限；当时，双曲线的两支在二、四象限，双曲线是关于原点的对称图形，这一点在作图时很重要。

  3. 用一元方程求解反比例函数的解析式，学习中与正比例函数相类比。

  4. 掌握反比例函数增减性，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大。

  5. 熟练反比例函数有关的面积问题。

 

二. 重点、难点

    重点：反比例函数的定义、图象性质。

    难点：反比例函数增减性的理解。

 

【典型例题】

    例1. 下列各题中，哪些是反比例函数关系。

    （1）三角形的面积S一定时，它的底a与这个底边上的高h的关系；

    （2）多边形的内角和与边数的关系；

    （3）正三角形的面积与边长之间的关系；

    （4）直角三角形中两锐角间的关系；

    （5）正多边形每一个中心角的度数与正多边形的边数的关系；

    （6）有一个角为的直角三角形的斜边与一直角边的关系。

    解：成反比例关系的是（1）、（5）

    点拨：若判断困难时，应一一写出函数关系式来进行求解。

 

    例2. 在同一坐标系中，画出和的图象，并求出交点坐标。

    点悟：的图象是双曲线，两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。并且每一支都向两方无限接近x、y轴。而的图象是过原点的直线。

    解：

    ，

    双曲线与直线相交于（2，4），（）两点。

    点拨：本题求解使用了“数形结合”的思想。

 

    例3. 当n取什么值时，是反比例函数？它的图象在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大或是减小？

    点悟：根据反比例函数的定义：，可知是反比例函数，必须且只需且

    解：是反比例函数，则

   

   

    即

    故当时，表示反比例函数

   

   

    双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大而增大。

    点拨：判断一个函数是否是反比例函数，惟一的标准就是看它是否符合定义。

 

    例4. 若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（    ）

    A. （2，6）                B. （2，－6）

    C. （4，－3）                    D. （3，－4）

（2002年武汉）

    点悟：将点（3，4）代入函数式求出m的值。

    解：将点（3，4）代入已知反比例函数解析式，得

   

    即，

   

    将A点坐标代入满足上式，故选A。

    点拨：本题中求的值的整体思想是巧妙解题的关键。

 

    例5. a取哪些值时，是反比例函数？求函数解析式？

    解：

    解得，

    当时，

    当时，

    当时，函数是反比例函数，其解析式为

    点拨：反比例函数可写成，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意对这一条件的讨论。

 

    例6. 若函数是反比例函数，求其函数解析式。

    解：由题意，得

   

    得

   

    故所求解析式为

    点拨：在确定函数解析式时，不仅要对指数进行讨论，而且要注意对x的系数的条件的讨论，二者缺一不可。

 

    例7. （1）已知，而与成反比例，与成正比例，并且时，；时，，求y与x的函数关系式；

    （2）直线：与平行且过点（3，4），求的解析式。

    解：（1）与成反比例，与成正比例

    ，

   

    把，及，代入

    得

   

   

    （2）与平行

   

    又过点（3，4）

    ，

    直线的解析式为

    点拨：这是一道综合题，应注意综合应用有关知识来解之。

 

    例8. 一定质量的二氧化碳，当它的体积时，它的密度

    （1）求与V的函数关系式；

    （2）求当时二氧化碳的密度。

    解：（1）由物理知识可知，质量m，体积V，密度之间的关系为。由，，得

   

   

    （2）将代入上式，得

   

    点拨：这是课本上的一道习题，它具有典型性，其意义在于此题与物理知识、化学知识形成了很好的结合，且V的取值可变化。

 

    例9. 在以坐标轴为渐近线的双曲线上，有一点P（m，n），它的坐标是方程的两个根，求双曲线的函数解析式。

    点悟：因为反比例函数的图象是以坐标轴为渐近线的双曲线。所以，不妨设所求的函数解析式为。然后把双曲线上一点的坐标代入，即可求出k的值。

    解：由方程解得

    ，

    P点坐标为（）或（）

    设双曲线的函数解析式为，则

    将，代入，得

    将，代入，得

    故所求函数解析式为

    点拨：只需知道曲线上一点即可确定k。

 

    例10. 如图，的锐角顶点是直线与双曲线在第一象限的交点，且

    （1）求m的值

    （2）求的值

    解：（1）设A点坐标为（a，b）（，）

    则，

    ，

    又A在双曲线上

    ，即，

    （2）点A是直线与双曲线的交点

    或

   

    A（）

    由直线知C（－6，0）

    ，，

   

           

    点拨：三角形面积和反比例函数的关系，常用来求某些未知元素（如本例中的m）

 

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一. 选择题

  1. 函数是反比例函数，则m的值是（    ）

    A. 或                         B.

    C.                                       D.

  2. 下列函数中，是反比例函数的是（    ）

    A.                  B.

    C.                      D.

  3. 函数与（）的图象的交点个数是（    ）

    A. 0    B. 1    C. 2     D. 不确定

  4. 函数与的图象可能是（    ）

A               B                C                D

  5. 若y与x成正比，y与z的倒数成反比，则z是x的（    ）

    A. 正比例函数                           B. 反比例函数

    C. 二次函数                              D. z随x增大而增大

  6. 下列函数中y既不是x的正比例函数，也不是反比例函数的是（    ）

    A.                             B.

    C.                        D.

 

二. 填空题

  7. 一般地，函数__________是反比例函数，其图象是__________，当时，图象两支在__________象限内。

  8. 已知反比例函数，当时，_________

  9. 反比例函数的函数值为4时，自变量x的值是_________

  10. 反比例函数的图象过点（－3，5），则它的解析式为_________

  11. 若函数与的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是_________

 

三. 解答题

  12. 直线过x轴上的点A（，0），且与双曲线相交于B、C两点，已知B点坐标为（，4），求直线和双曲线的解析式。

  13. 已知一次函数与反比例函数的图象的一个交点为P（a，b），且P到原点的距离是10，求a、b的值及反比例函数的解析式。

  14. 已知函数是一次函数，它的图象与反比例函数的图象交于一点，交点的横坐标是，求反比例函数的解析式。

 

【试题答案】

一. 1. B          2. B        3. A               4. A               5. A               6. C

二. 7. ，；双曲线；二、四

  8.                 9.                    10.                             11. （，）

三. 12. 由题意知点A（，0），点B（，4）在直线上，由此得

   

   

    点B（，4）在双曲线上

    ，

    双曲线解析式为

  13. 由题设，得

   

    ，

    ，或，

   

  14. 由已知条件

   

   

    使

    代入

   

    因图象交于一点，

    即

   

   

 

【励志故事】

愚钝的力量

    大科学家爱因斯坦曾做过一个实验：他从村子里找了两个人，一个愚钝且软弱，一个聪明且强壮。爱因斯坦找了一块两英亩左右的空地，给他俩同样的工具，让他们在其间比赛挖井，看谁最先挖到水。

    愚钝的人接到工具后，二话没说，便脱掉上衣干起来。聪明的人稍作选择也大干起来。两个小时过去了，两人均挖了两米深，但均未见到水。聪明的人断定选择错了，觉得在原处继续挖下去是愚蠢的，便另选了块地方重挖。愚钝的人仍在原地吃力地挖着，又两个小时过去了，愚钝的人只挖了一米，而聪明的人又挖了两米深。愚钝的人仍在原地吃力地挖着，而聪明的人又开始怀疑自己的选择，就又选了一块地方重挖。又两个小时过去了，愚钝的人挖了半米，而聪明的人又挖了两米，但两人均未见到水。这时聪明人泄气了，断定此地无水，他放弃了挖掘，离去了。而愚钝的人此时体力不支了，但他还是在原地挖，在他刚把一锨土掘出时，奇迹出现了，只见一股清水汩汩而出。

    比赛结果，这个愚钝的人获胜。爱因斯坦后来对学生说，看来智商稍高、条件优越、聪明强壮者不一定会得到成功，成功有时需要一种近乎愚钝的力量啊！