高三数学复习充要条件与反证法

1.3  充要条件与反证法

●知识梳理

1.充分条件：如果pq，则p叫q的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件.

2.必要条件：如果qp，则p叫q的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件.

3.充要条件：如果既有pq，又有qp，记作pq，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.

4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法.

●点击双基

1.ac2＞bc2是a＞b成立的

A.充分而不必要条件 B.充要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析：a＞bac2＞bc2，如c=0.

答案：A

2.已知a、b、c为非零的平面向量.甲：a·b=a·c，乙：b=c，则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析：命题甲:a·b=a·ca·（b－c）=0a=0或b=c.

命题乙:b=c，因而乙甲，但甲乙.

故甲是乙的必要条件但不是充分条件.

答案：B

3.在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：在△ABC中，A＞30°0＜sinA＜1sinA＞，sinA＞30°＜A＜150°

A＞30°.

∴“A＞30°”是“sinA＞”的必要不充分条件.

答案：B

4.若条件p:a＞4，q:5＜a＜6，则p是q的______________.

解析：a＞45＜a＜6，如a=7虽然满足a＞4，但显然a不满足5＜a＜6.

答案：必要不充分条件

5.若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，则不一定成立.如a=0，b=0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0.因此应选A.

答案：A

●典例剖析

【例1】 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是

A.x＜0              B.x≥0

C.x∈{－1，3，5} D.x≤－或x≥3

剖析：∵2x2－5x－3≥0成立的充要条件是x≤－或x≥3，∴对于A当x=－时2x2－5x－3≥0.同理其他也可用特殊值验证.

答案：C

【例2】 求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.

证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”.

∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a·12+b·1+c=0，即a+b+c=0.

（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.

把x=1代入方程的左边，得a·12+b·1+c=a+b+c.∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根.

综合（1）（2）知命题成立.

深化拓展

求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件.

证明：必要性：

（1）方程有一正根和一负根，等价于

a＜0.

（2）方程有两负根，等价于

0＜a≤1.

综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a＜0或0＜a≤1.

充分性：由以上推理的可逆性，知当a＜0时方程有异号两根；当0＜a≤1时，方程有两负根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.

答案：a＜0或0＜a≤1.

【例3】 下列说法对不对?如果不对，分析错误的原因.

（1）x2＝x＋2是x=x2的充分条件；

（2）x2＝x＋2是x=x2的必要条件.

解：（1）x2=x+2是x=x2的充分条件是指x2=x+2x=x2.

但这里“”不成立，因为x=－1时，“”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：

x2=x+2x=x2=x.

这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.

（2）x2=x+2是x=x2的必要条件是指x=x2x2=x+2.

但这里“”不成立，因为x=0时，“”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:

x=x2=xx+2=x2.

这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.

评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x2=x+2的真值集合是{－1，2}，x=x2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2} {－1，2}，所以（1）（2）两个结论都不对.

●闯关训练

夯实基础

1.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：依题意有pr，rs，sq，∴prsq.但由于rp，∴qp.

答案：A

2“cos2α=－”是“α=kπ+，k∈Z”的

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

解析：cos2α=－2α=2kπ±α=kπ±.

答案：A

3.在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：在△ABC中，A＞BcosA＜cosB（余弦函数单调性）.

答案：C

4.命题A：两曲线F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于点P（x0，y0），命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ为常数）过点P（x0，y0），则A是B的__________条件.

答案：充分不必要

5.函数f（x）=x2－2ax－3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是

A.a∈（－∞，1］ B.a∈［2，+∞）

C.α∈［1，2］ D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞）

解析：∵f（x）=x2－2ax－3的对称轴为x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］（－∞，a］或［1，2］［a，+∞），即a≥2或a≤1.

答案：D

6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求数列{an}成等比数列的充要条件.

分析：先根据前n项和公式，导出使{an}为等比数列的必要条件，再证明其充分条件.

解：当n=1时，a1=S1=p+q；

当n≥2时，an=Sn－Sn－1=（p－1）·pn－1.

由于p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}是等比数列.要使{an}（n∈N*）是等比数列，则=p，即（p－1）·p=p（p+q），∴q=－1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=－1.

再证充分性：

当p≠0且p≠1且q=－1时，Sn=pn－1，

an=（p－1）·pn－1，=p（n≥2），

∴{an}是等比数列.

培养能力

7.（2004年湖南，9）设集合U=｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，A=｛（x，y）|2x－y+m＞0｝，B=｛（x，y）|x+y－n≤0｝，那么点P（2，3）∈A∩（UB）的充要条件是

A.m＞－1，n＜5 B.m＜－1，n＜5

C.m＞－1，n＞5 D.m＜－1，n＞5

解析：∵UB=｛（x，y）｜n＜x+y｝，将P（2，3）分别代入集合A、B取交集即可.∴选A.

答案：A

8.已知关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0，   ①

x2－4mx+4m2－4m－5=0.       ②

求使方程①②都有实根的充要条件.

解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=（－4）2－16m≥0，即m≤1；

方程②有实数根的充要条件是Δ2=（4m）2－4（4m2－4m－5）≥0，即m≥－.

∴方程①②都有实数根的充要条件是－≤m≤1.

9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.

求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.

证明：反证法：

假设三个方程中都没有两个相异实根，

则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.   ①

由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

探究创新

10.若x、y、z均为实数，且a=x2－2y+，b=y2－2z+，c=z2－2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.

解：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0.

而a+b+c=x2－2y++y2－2z++z2－2x+=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3，

∵π－3＞0，且无论x、y、z为何实数，

（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，

∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.

●思悟小结

1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.

2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.

●教师下载中心

教学点睛

1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.

2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.

3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.

拓展题例

【例题】 指出下列命题中，p是q的什么条件.

（1）p:0＜x＜3，q:|x－1|＜2；

（2）p:（x－2）（x－3）=0，q:x=2；

（3）p:c=0，q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.

解：（1）p:0＜x＜3，q:－1＜x＜3.

p是q的充分但不必要条件.

（2）pq，qp.p是q的必要但不充分条件.

（3）p是q的充要条件.

评述：依集合的观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.