含绝对值不等式、一元二次不等式、简易逻辑、充要条件

含绝对值不等式、一元二次不等式、简易逻辑、充要条件

 

二. 本周教学重、难点：

1. 掌握简单的绝对值不等式的解法；掌握一元二次不等式的解法；学会运用函数方程、分类讨论、等价转化和数形结合思想解决有关不等式的问题。

2. 理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件，必要条件，充要条件的意义。

 

【典型例题】

[例1] 解不等式：

（1）；

（2）。

解：

（1）方法一：原不等式等价于

      即   

∴

方法二：原不等式等价于

或    ∴

∴ 或

故原不等式的解集为

（2）方法一：原不等式等价于

①或②

由①得   ∴

由②得    ∴

∴ 原不等式的解集为

方法二：∵

∴ 原不等式可视为关于的一元二次不等式0

解得或（舍去）   ∴ 或

故原不等式的解集为

 

[例2] 解不等式

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

解：

（1）∵   ∴ 原不等式化为

∴ 或

（2）   ∴   ∴

（3）   ∴   ∴ 且

∴

（4）原不等式化为：且

∴ 且

且或

∴ 或且

（5）

方法一：令    ∴

① 时，      ∴

② 时，  

③ 时，      ∴

∴ 由①②③知：

（6）∵     ∴

利用等号成立的条件得   ∴    ∴

 

[例3] 解不等式

解：  

（1）时，

① 时，

的两根  

∴

② 时，      ∴ 且

③ 时，   ∴

（2）时，

∵     ∴      

∴ 或

（3）时，

 

[例4] 已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为（1，3）

（1）若方程有两个相等的根，求的解析式；

（2）若的最大值为正数，求的取值范围。

解：

（1）∵ 的解集为（1，3）

设，且

因而①

由方程，得②

∵ 方程②有两个相等的根

∴

即    解得或

由于，舍去

将代入①得的解析式

（2）由

又，可得的最大值为

由

解得或

 

[例5] 已知关于的不等式的解集为M。

（1）当时，求集合M；

（2）若且，求实数的取值范围。

解：

（1）当时，不等式化为

所以或

故不等式的解集

（2）因M，得①

因，得或②

由①②解得或

 

[例6] 判断命题“若，则有实根”的逆否命题的真假。

解：方法一：写出逆否命题，再判断其真假

原命题：若，则有实根

逆否命题：若无实根，则

判断如下：

∵ 无实根    ∴

∴     ∴“若无实根，则”为真命题

方法二：利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假（即等价关系）证明。

∵    ∴    ∴

∴ 方程的判别式

∴ 方程有实根

故原命题“若，则有实根”为真

又因原命题与其逆否命题等价，所以“若，则有实根”的逆否命题为真

方法三：利用充要条件与集合的包含、相等关系。

命题：，：有实根

∴ ：

：方程有实根}=

∵    ∴

∴ 方程的判别式

∴ 方程有实根，即

∴“若则”为真

∴“若则”的逆否命题“若则”为真

∴ 若，则有实根的逆否命题为真

方法四：设：，：有实根，则无实根

∴

∵     ∴“若则”为真，即“若方程无实根，则”为真

 

[例7] 已知，设P：函数在R上单调递减；Q：函数的值域为R，如果“P且Q”为假命题，“P或Q”为真命题，则的取值范围是（    ）

A.                                 B.

C.                     D.

解析：由题意知P，函数在R上单调递减，则。Q：函数

的值域为R，则二次函数必满足且，解之，得。由“P且Q”为假命题，“P或Q”为真命题可知，P、Q中有且只有一个真命题，又由上述可知Q是P的真子集，则只能满足Q不成立P成立，∴ ，故选A。

 

[例8] 若是R上的减函数，且，设，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.      C.     D.

解析：由题意知

∵“”是“”的充分而不必要条件

∴     ∴ ，故选C。

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 若，则不等式的解集是（    ）

A.

B.

C.

D.

2. 已知的解集为R，则的取值范围是（    ）

    A.     B.     C.     D.

3. 不等式的解集为（    ）

    A.     B.     C.     D.

4. 不等式的解集为（    ）

A.

B.

C.

D. 以上答案都不对

5. 如果函数在区间（）上为增函数，则的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

6. 命题：若，则是的充分而不必要条件；命题：函数的定义域是则（    ）

A.“或”为假                     B. “且”为真

C. 真假                              D. 假真

7. 条件甲：“”是条件乙：“”的（    ）

A. 既不充分也不必要条件

B. 充要条件

C. 充分不必要条件

D. 必要不充分条件

8. 已知：，：，则是的（    ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分又不必要条件

 

二. 解答题：

1. 已知函数（为常数），且方程有两个实根。

（1）求函数的解析式；

（2）设，解关于的不等式：。

2. 已知集合，

（1）当时，求；

（2）求使的实数的取值范围。

3. 解关于的不等式

4. 设函数的定义域为集合A，关于的不等式的解集为B，求使的实数的取值范围。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一. 1. A

解析：原不等式    ∵    ∴

故解集为

2. C

解析：令

显然时，

∴ 欲使的解集为，则

3. A

解析：由，可知与异号，即，故

4. C

解析：原不等式，由数轴标根法，可知其解集为或

5. B

解析：当时，，显然在上单调递增

当时，则有

综上，选B。

6. D

解析：∵ ，若，不能推出，而，一定有，故命题为假，又由，解得或，故为真。

7. B

解析：∵    ∴    ∴ ，即，即

当时，则  ∴ ，即

  8. A

解析：命题为，即：或

为，故是的充分不必要条件

二. 1. 解析：

（1）将分别代入方程，得

解得   所以

（2）不等式即为，可化为

即

① 当时，解集为

② 当时，不等式为，解集为

③ 当时，解集为

2. 解析：

（1）时，，

∴

（2）① 当时，，

② 当时，，

<1> 当，即或1，

欲使，只需得

<2> 当，即时，，   ∴ 不可能成立

<3> 当，即时，

欲使，只需为

综上，可知当时，

3. 解析：由

（1）当时，

（2）当时，

∴ 当，原不等式解集为

当时，原不等式解集为

4. 解析：由，即，解得，即

由

由

（1）如果，则显然成立

故，成立

∴ 符合条件

（2）如果，即时，

∵ ，必须     ∴ ，得

（3）如果，即

此时，满足

∴ 符合条件

综合（1）（2）（3）可得的取值范围为（0，）