等比数列、数列求和

等比数列、数列求和

 

二. 重点、难点：

1. 理解等比数列的有关概念；掌握等比数列的通项公式和前项和公式，并能运用这些知识解决一些简单的实际问题。

2. 通过观察数列通项公式的特点选择合适的方法，求数列的前项和。

 

【典型例题】

[例1] 在等比数列中，，，求和。

解：因是等比数列，故，结合，可知是方程的两根，解方程，得

故，或

当时，，得

又因为，，故

当，时，得

又因为

综上所述，，公比或

 

[例2] 已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：，恰为等比数列，其中，，求

解：设的首项为    ∵ 成等比数列

∴ 得，

∵ ，又

∴

∴

                 

 

[例3] 设为等差数列，为等比数列，，，，分别求出，的前10项的和。

解：由为等差数列，为等比数列   

∴ ，

由已知，得

∴     ∵    ∴    ∴

由知的公差为

    由知

或      ∴ 或

 

[例4] 设等比数列的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列的前多少项和最大？（，）

解：方法一：设公比为，项数为，，依题意有

化简得解得

设数列前项和为，则

 

  

可见，当时，最大

而，

故的前5项和最大

方法二：接前，于是

∴ 数列是以为首项，以为公差的等差数列，令，得

∴

由于   ∴ 的前5项和最大

 

[例5] 求数列的前项和：，…

解：设

            

    当时，

当时，

 

[例6] 在数列中，，又，求数列的前项的和。

解：∵

∴     

∴ 数列的前项和

  

 

[例7]求

的值。

解：设

  ① 

将①式右边反序得

 ②

又 ∵

①+②得

         

∴

 

[例8] 已知数列满足

，是首项为1，公比为的等比数列。

（1）求的表达式；

（2）如果，求的前项和

解：

（1），当时，

∴

     

因而

（2）

∴

        

令①

则②

①－②得

故   又1+3+5+…+

∴

 

[例9] 已知数列的前项和为，且满足（），。

（1）求证：是等差数列；

（2）求的表达式；

（3）若时，求证：

解：

（1）证明：∵     ∴

（）   ∴

又    ∴ 是以2为首项，2为公差的等差数列

（2）由（1）   

∴

当时，[或时，]

当时，    

∴

（3）证明：由（2）知，

∴

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于（    ）

    A. 33    B. 72    C. 84    D. 189

2. 若等比数列的公比，前项和为，则与的大小关系是（    ）

A.        B.     C.           D. 不确定

3. 已知数列满足，（），则当时，等于（    ）

    A.     B.     C.     D.

4. 在数列中，若，则等于（    ）

A.                B.     C.            D.

5. 化简（）的结果是（    ）

A.     B.     C.     D.

6. 数列的前项和为，则等于（    ）

    A. 1003    B.     C. 2006    D.

7. 等于（    ）

A.

B.

C.

D. 或

8. 某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为，则下列关系正确的是（    ）

A.     B.     C.            D.

 

二. 解答题：

1. 等比数列的各项均为正数，其前项中，数值最大的一项是54，若该数列的前项之和为，且=80，，求：

（1）前100项之和；

（2）通项公式。

2. 已知数列1，，，…，（），求数列的前项和。

3. 已知

（1）当时，求数列的前项和；

（2）求

  4. 设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：

 

【试题答案】

一.

1. C

解析：∵ ，  ∴ 或（舍）

而

2. A

解析：由等比数列通项公式和前项和公式得

   又，

则， 即

3. C

解析：由已知且

得到，，，

    由此猜想出

4. D

解析：由，得（），当时，不适合，所以

5. B

解析：∵

∴

6. A

    解析：（共1003个）=1003

7. D

解析：原式

8. B

解析：设平均增长率为，则第三年产量为，所以应该有

即   ∴

从而

 

二.

1. 解：设公比为   ∵

∴ ，则最大项是（∵ ） ①

又②

  ③

由①②③解得，则

（1）前100项之和

（2）通项公式为

2. 解：由题意可知，的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积，设①

 ②（设置错位）

①－②得（错位相减）

当时，利用等比数列的求和公式，得

∴

当时，

3. 解析：

    （1）当时，，这时数列的前项和

+…+  ①

①式两边同乘以，得   ②

①式减去②式，得

若，

若

（2）由（1），当时，

则

当时，

     此时，

若，

若，

4. 解析：∵

∴

∴

又     ∴