2012中考数学精选例题解析:一次函数 知识考点: 1、掌握一次函数的概念及图像; 2、掌握一次函数的性质,并能求解有关实际问题; 3、会用待定系数法求一次函数的解析式。 精典例题: 【例1】已知直线(≠0)与轴的交点在轴的正半轴上,下列结论:①>0,>0;②>0,<0;③<0,>0;④<0,<0,其中正确结论的个数为( ) A、1 B、2 C、3 D、4 解:根据题意知,直线(≠0)的图像可以如图1,这时>0,<0;也可以如图2,这时<0,>0。故选B。
评注:本题关键是掌握一次函数中的系数、与图像性质之间的关系。 【例2】一直线与轴相交于点A(0,-2),与轴相交于点B,且tan∠OAB=,求这条直线的解析式。 分析:欲求直线的解析式,需要两个独立的条件建立关于、的方程组,结合题目条件,本题要分两种情况讨论,如上图所示。 答案:或 【例3】如下图,已知直线与交于点P(1,4),它们分别与轴交于A、B,PA=PB,PB=。 (1)求两个函数的解析式; (2)若BP交轴于点C,求四边形PCOA的面积。 解析: (1)作PH⊥AO,则PH=4,OH=1,BH= ∴B(-1,0)。设A(,0),则AH=,AP=AB=,,解得。∴A(4,0),故直线PB:;直线AP:。 (2) 评注:灵活运用勾股定理等几何知识求线段长,进而求点的坐标,是解函数题的常用方法。
探索与创新: 【问题一】如上图,已知直线与轴、轴分别交于点A、B,另一直线(≠0)经过点C(1,0),且把△AOB分成两部分。 (1)若△AOB被分成的两部分面积相等,求经过C的直线解析式; (2)若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5,求经过C的直线解析式。 解析:(1)如上图,过B(0,2),C(1,0)的直线解析式为; (2)设与OB交于M(0,),分△AOB面积为1∶5得: ,则 解得,所以M(0,) 经过点M作直线MN∥OA交AB于N(,),则,因N(,)在直线上,所以,故N(,) ∴直线CM:,直线CN: 评注:本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。 【问题二】某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用后,那么服药后2小时血液中含药量最高,达每毫升6微克,(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量(微克)随时间(小时)的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后: (1)分别求出≤2和≥2时与之间的函数关系式; (2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效的时间是多长? 解析:(1)设≤2时,,把坐标(2,6)代入得:;设≥2时,,把坐标(2,6),(10,3)代入得:。 (2)把代入与中得:,,则(小时),因此这个有效时间为6小时。 评注:本题是一道一次函数与医药学综合的题目,解题的关键是要将函数图像抽象成解析式,然后结合函数的知识求解。本题趣味性强,能从中了解医药的一些知识。 跟踪训练: 一、选择题: 1、若函数与的图像交于轴上一点A,且与轴分别交于B、C两点,则△ABC的面积积为( ) A、6 B、 C、 D、2 2、已知M(3,2),N(1,-1),点P在轴上,且PM+PN最短,则点P的坐标是( ) A、(0,) B、(0,0) C、(0,) D、(0,) 3、若一次函数的图像不经过第二象限,则的取值范围是( ) A、< B、0<< C、0≤< D、<0或> 4、直线经过点A(-1,)与点B(,1),其中>1,则必有( ) A、>0,>0 B、>0,<0 C、<0,>0 D、<0,<0 5、小李以每千克0.80元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在销售了部分西瓜后余下的每千克降价0.40元,全部售完。销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示,那么小李赚( ) A、32元 B、36元 C、38元 D、44元 二、填空题: 1、若,则直线一定经过第 象限。 2、一次函数的图像经过点A(0,1),B(3,0),若将该图像沿着轴向左平移4个单位,则此图像沿轴向下平移了 单位。 3、如图,已知直线PA:交轴于Q,直线PB:。若四边形PQOB的面积为,则= 。
4、某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束的全过程,开始时风速平均每小时增加2千米,4小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加4千米,一段时间风速保持不变,。当沙尘暴遇到绿色植被区时,其风速平均每小时减少1千米,最终停止。结合风速与时间的图像填空: ①在轴( )内填入相应的数值; ②沙尘暴从发生到结束共经过 小时; ③当≥25时,风速(千米/小时)与时间(小时)之间的函数关系式是 。 三、解答题: 1、一位投资者有两种选择:①中国银行发行五年期国债,年利率为2.63%。②中国人寿保险公司涪陵分公司推出的一种保险―鸿泰分红保险,投资者一次性交保费10000元(10份),保险期为5年,5年后可得本息和10486.60元,一般还可再分得一些红利,,但分红的金额不固定,有时可能多,有时可能少。 (1)写出购买国债的金额(元)与5年后银行支付的本息和(元)的函数关系式; (2)求鸿泰分红保险的年利率,并写出支付保费(元)与5年后保险公司还付的本息和(元)的函数关系式(红利除外); (3)请你帮助投资者分析两种投资的利弊。 2、如图,已知一次函数的图像与轴、轴分别交于A、B两点,点C、D都在轴的正半轴上,D点坐标为(2,0),若两钝角∠ABD=∠BCD。 (1)求直线BC的解析式; (2)若P是直线BD上一点,且,求P点坐标。
3、如图,直线分别交轴、轴于A、C,P是该直线上在第一象限内的一点,PB⊥轴于B,。 (1)求点P的坐标; (2)设点R与点P在同一反比例函数的图像上,且点R在直线PB的右侧,作RT⊥轴于T,当以B、R、T为顶点的三角形与△AOC相似时,求点R的坐标。 4、如图,直线与轴、轴的正半轴分别交于A、B两点,且OA、OB的长是方程的两个根(OB>OA),P为直线上A、B两点之间的一动点(不与A、B重合),PQ∥OB交OA于点Q。 (1)求tan∠BAO的值; (2)若时,请确定点P在AB上的位置,并求出线段PQ的长。 (3)在轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形。若存在,请直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由。 参考答案 一、选择题:ADCCB 二、填空题: 1、二、三象限;2、;3、2;4、①8,32;②57;③(25≤≤57) 三、解答题: 1、(1);(2); (3)各有利有弊,当保险分红大于828.40元时,买保险有利,但分红只是预测,不能保证。 2、(1);(2)P(1,)或(3,) 3、(1)P(2,3);(2)B(3,2)或(,) 4、(1)tan∠BAO=;(2)PQ=4;(3)存在,M(0,0)或(0,)或(0,)
2012中考数学精选例题解析:一次函数(2) 知识考点: 1、掌握抛物线解析式的三种常用形式,并会根据题目条件灵活运用,使问题简捷获解; 2、会利用图像的对称性求解有关顶点、与轴交点、三角形等问题。 精典例题: 【例1】已知抛物线与抛物线的形状相同,顶点在直线上,且顶点到轴的距离为5,则此抛物线的解析式为 。 解析:,顶点(1,5)或(1,-5)。因此或或或展开即可。 评注:此题两抛物线形状相同,有,一般地,已知抛物线上三个点的坐标,选用一般式;已知抛物线的顶点坐标(或对称轴和最值),选顶点式;已知抛物线与轴两交点的坐标,选交点式。 【例2】如图是抛物线型的拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽米,水位上升3米就达到警戒水位线CD,这时水面宽米,若洪水到来时,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶? 解析:以AB所在直线为轴,AB的中点为原点,建立直角坐标系,则抛物线的顶点M在轴上,且A(,0),B(,0),C(,3),D(,3),设抛物线的解析式为,代入D点得,顶点M(0,6),所以(小时) 评注:本题是函数知识的实际应用问题,解决的关键是学会“数学模型”,并合理建立直角坐标系来解决实际问题。 探索与创新: 【问题】如图,开口向上的抛物线与轴交于A(,0)和B(,0)两点,和是方程的两个根(),而且抛物线交轴于点C,∠ACB不小于900。 (1)求点A、点B的坐标和抛物线的对称轴; (2)求系数的取值范围; (3)在的取值范围内,当取到最小值时,抛物线上有点P,使,求所有满足条件的点P的坐标。 解析:(1)A(-3,0)B(1,0),对称轴 (2) 化简得 OC=。 若∠ACB=900,则,,; 若∠ACB>900,则,;所以 (3)由(2)有,当在取值范围内,取到最小值时,,,由AB=,得:。当时,,,∴(,),(,);当时,,,∴(0,),(-2,)。 评注:本问题是一道函数与几何的综合题,后两问需准确把握图形的变化,灵活运用函数知识求解。 跟踪训练: 一、选择题: 1、已知二次函数的图像与轴的交点坐标为(0,),与轴的交点坐标为(,0)和(,0),若>0,则函数解析式为( ) A、 B、 C、 D、 2、形状与抛物线相同,对称轴是,且过点(0,3)的抛物线是( ) A、 B、 C、 D、或 3、已知一次函数的图像与轴、轴分别交于A、C两点,二次函数的图像过点C且与一次函数图像在第二象限交于另一点B,若AC∶CB=1∶2,则二次函数图像的顶点坐标为( ) A、(-1,3) B、(,) C、(,) D、(,) 4、已知二次函数的最大值是2,它的图像交轴于A、B两点,交轴于C点,则= 。 二、填空题: 1、已抛物线过点A(-1,0)和B(3,0),与轴交于点C,且BC=,则这条抛物线的解析式为 。 2、已知二次函数的图像交轴于A、B两点,对称轴方程为,若AB=6,且此二次函数的最大值为5,则此二次函数的解析式为 。 3、如图,某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物,大门的地面高度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高度为 。(精确到0.1米) 4、已知抛物线与抛物线的形状相同,顶点在直线,且顶点到轴的距离为,则此抛物线的解析式为 。 三、解答题: 1、已知抛物线交轴于A、B两点,点A在轴左侧,该图像对称轴为,最高点的纵坐标为4,且。 (1)求此二次函数的解析式; (2)若点M在轴上方的抛物线上,且,求点M的坐标。 2、如图,直线与轴、轴分别交于A、B两点,点P是线段AB的中点,抛物线经过点A、P、O(原点)。 (1)求过A、P、O的抛物线解析式; (2)在(1)中所得到的抛物线上,是否存在一点Q,使∠QAO=450,如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。 3、设抛物线经过A(-1,2),B(2,-1)两点,且与轴相交于点M。 (1)求和(用含的代数式表示); (2)求抛物线上横坐标与纵坐标相等的点的坐标; (3)在第(2)小题所求出的点中,有一个点也在抛物线上,试判断直线AM和轴的位置关系,并说明理由。 参考答案 一、选择题:BDCA 二、填空题 1、或; 2、; 3、9.1米; 4、或或 或 三、解答题: 1、(1);(2)M(0,3)或(-2,3) 2、(1);(2)Q(,),(,) 3、(1),;(2)(1,1),(-2,-2); (3)点(1,1)在抛物线时,直线AM∥轴;点(-2,-2)在抛物线时,直线AM与轴相交。
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