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1.邻补角的定义 邻补角（Adjacent Supplementary Angle）： 两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角称为互为邻补角。 图中，∠AOC有两个邻补角：∠AOD和∠COB。（注：补角只注重数量关系两角之和是180°，即无论是否有公共边均可，但邻补角还要注重位置上的关系)。 1.具有一个公共的顶点； 2.有一条公共边； 3.两个角的另一边互为反向延长线。 一个角与它的邻补角的和等于180° 互为邻补角的两个角一定互为补角；互为补角的两个角不一定互为邻补角。 互为邻补角的两个角一定互为邻角；互为邻角的两个角不一定互为邻补角。 邻补角包括两个方面的要求：两角的位置关系、数量关系。 补角：指的是数量关系满足两角之和等于180度； 邻角：指的是位置关系满足两角有公共的顶点和公共的边。 1.判断对错 （1）如果∠AOB与∠BOC互为邻补角，那么点A、O、C在同一条直线上（√） （2）如果两个角有一条公共边，且这两个角的和是180°，那么这两个角互为邻补角（×） 理由：当两个角∠AOB与∠AOC有一个公共边OA，但OC、OB 在OA的同一侧，这两个角不成邻补角。 （3）一个角有两个邻补角（√） （4）两个邻补角的平分线互相垂直（√） 2.若∠1+∠2=180°,则∠1和∠2互为邻补角 指出命题的逆命题，并判断真假。 答案：原命题错，邻补角需要有一条边重合 . 逆命题：若∠1和∠2互为邻补角，则∠1+∠2=180°，逆命题是真命题。 3．下列说法中正确的是(___) A．不相等的角一定不是对顶角。 B．互补的两个角是邻补角。 C．两条直线相交所成的角是对顶角。 D．互补且有一条公共边的两个角是邻补角。 答案：A 说明：因为对顶角是相等的，所以如果两个角不相等，则一定不会是对顶角，选项A正确。 2. 余角，数学名词。如果两个角的和是直角（90°），那么称这两个角“互为余角”（complementary angle），简称“互余”，也可以说其中一个角是另一个角的余角。 余角的性质 1. 同角或等角的余角相等 若∠A+∠B=90°，∠D+∠C=90°，∠A=∠D 则有∠C=∠B。即得等角的余角相等。 2.关于余角的三角函数结论： 若 ∠A+∠B=90°，则有sinA=cosB，cosA=sinB；tanA×tanB=1。 3垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直(perpendicular)，其中一条直线叫做另一直线的垂线(perpendicular line)，交点叫垂足(foot of a perpendicular)。 显然，垂线是指两条直线的特殊位置关系。 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 显然，垂线段是指以直线外一点与垂足为两端点的线段。 1.在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。简称垂线段最短。 2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 内错角的定义 直线AB，CD被第三条直线EF所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置 角3与角5是内错角，角4与角6是内错角 关系的一对角叫做内错角。 说明：定义中的直线AB，CD不一定要平行，这里仅指位置关系。（当AB平行于CD时，内错角相等） 1.在截线的两旁； 2.夹在被截两直线之间； 3.内错角截取图呈“z”型或“倒Z”型。 平行线的性质：两直线平行，内错角相等。 平行线的判定：内错角相等，两直线平行。 外错角定义
如图，两条直线L1、L2被第三条直线L3所截，构成了八个角。如果两个角都在两条被截线的外侧，并且在截线的两侧，那么这样的一对角叫做外错角。例如：∠4与∠6，∠1与∠7。 性质
如果被直线所截的两条直线互相平行，那么相应的外错角度数相等。反之，如果相应的外错角度数相等，那么被直线所截的两条直线互相平行。 ∵∠4=∠6（∠1=∠7） ∴L1∥L2 或 ∵L1∥L2 ∴∠4=∠6（∠1=∠7） 即： 判定：外错角相等，两直线平行。 性质：两直线平行，外错角相等。 同位角定义 如图1.0：两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角(corresponding angles)。如图1.0中的∠3与∠6为同位角。 两条直线a，b被第三条直线c所截会出现“三线八角”。 图1.0 同位角的特征识别： 1.在截线的同旁； 2.在被截两直线的同方向； 3.同位角截取图呈“F”型。 平行线的性质：两直线平行，同位角相等。 平行线的判定：同位角相等，两直线平行。 （1）如图1.0，有多少对同位角？ 答案：有4对。∠4与∠5，∠3与∠6，∠1与∠8，∠2与∠7均为同位角。 （2）判断：同一平面内，两直线被第三条直线所得的同位角相等。 （ ） 答案：错，只有两直线平行时才相等。 同旁内角的定义 两条平行线被第三条直线所截，在截线同旁，且截线之内的两角，叫做同旁内角 两个角称为同旁内角(same-side interior angles)。如图：∠2与∠6 是同旁内角； ∠1与∠5也是同旁内角，而∠4和∠8，∠3和∠7则均不是同旁内角。 1.在截线的同一侧； 2.夹在被截两直线之间； 3.同旁内角截取图呈"ㄈ"型或"コ”型。 平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补。 平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行。 在ΔABC中，有没有同旁内角？若有，有多少对同旁内角？ 答案：共有3对同旁内角。 若直线AC与BC被直线AB所截，则∠A与∠B是同旁内角；直线BA与CA被直线BC所截，则∠B与∠C是同旁内角；直线CB与AB被直线AC所截，则∠C与∠A是同旁内角。 判断：同一平面内，两条平行线被第三条直线所截，所构成的同旁内角互补。 答案：√。 余角补角 余角概念：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角. ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A 余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 余角补角 因此我们可以通过上述概念及理论中知道：若有一角∠α，使得∠β与∠α有如下关系： ∠β+∠α=90° 且有一∠γ，使得∠β与其有如下关系： ∠β+∠γ=180° 则我们可以说∠γ是∠α的余角的补角。 如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。 同角（等角）的余角（补角）相等。 内错角的定义 直线AB，CD被第三条直线EF所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置 关系的一对角叫做内错角。 说明：定义中的直线AB，CD不一定要平行，这里仅指位置关系。（当AB平行于CD时，内错角相等） 内错角的特征识别 1.在截线的两旁； 2.夹在被截两直线之间； 3.内错角截取图呈“z”型或“倒Z”型。 平行线的性质与判定 平行线的性质：两直线平行，内错角相等。 平行线的判定：内错角相等，两直线平行。 在上图中，有多少对内错角？ 答案：有2对。∠3与∠5，∠4与∠6均为内错角。 垂直平分线的定义 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）（英文：perpendicular bisector）。垂直平分线，简称“中垂线”，是初中几何学科中非常重要的一部分。 1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 4.线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心（circumcenter），并且这一点到三个顶点的距离相等。（此时以外心为圆心，外心到顶点的长度为半径，所作的圆为此三角形的外接圆。） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 如图：直线MN即为线 段AB的垂直平分线。 注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 巧记方法：点到线段两端距离相等。 可以通过全等三角形证明。 方法之一：（用圆规作图） 1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。 2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。 3、连接这两个交点。 原理：等腰三角形的高垂直平分底边。 方法之二： 1、连接这两个交点。原理：两点成一线。 等腰三角形的性质： 1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。 ) 2、等角对等边（如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。） 3、等边对等角（在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。） ①利用定义． ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）[1] 平行线的判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（4）两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行线的传递性）。 平行四边形性质定理
平行四边形的对边平行且相等 平行四边形的对角相等,邻角互补 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和 平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 平行四边形的内角和是外角和的四分之一 1．定义： 矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可归结为从三个方面来看： ①从边看，矩形对边平行且相等。 ②从角看，矩形四个角都是直角。 ③从对角线看，矩形对角线互相平分且相等。 ④矩形具有菱形和平行四边形的一切性质 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，它也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 3.判定 ①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 ②有三个角是直角的四边形是矩形 直角三角形斜边中线等于斜边一半 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等[3] 菱形性质定理1、定义：
在一个平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形(rhombus)。 二、性质： 1、具有平行四边形的性质； 2、菱形的四条边相等； 3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。 三判定定理： 1、四边都相等的四边形是菱形。 2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 菱形◇ 特点 顺次连接菱形各边中点为矩形 正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形。 等腰梯形性质定理定义
等腰梯形(英文：isosceles trapezium)按数学领域可定义为：一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形。[1] 性质
1、等腰梯形同一底上的两个内角相等。 2、两腰相等，两底平行，对角线相等 。 3、由托勒密定理可得等腰梯形ABCD，有AB*CD+BC*AD=AC*BD。 4、中位线长是上下底边长度和的一半。 5、两条对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴，上底和下底的中垂线就是它的对称轴。 6、对角线分成的四个三角形有3对全等三角形， 一对相似三角形。 7、等腰梯形的面积公式等于 （上底+下底）*高*1/2。 8、特殊面积计算:当对角线垂直时 ：(BD×AC)/2 。 9、性质定理：等腰梯形在同一底上的两个底角相等， 等腰梯形的两条对角线相等。 几何语言： ∵四边形ABCD是等腰梯形 ∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补） 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 。 几何语言： ∵∠BAD=∠ADC，∠DCB=∠ABC ∴四边形ABCD是等腰梯形（在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形）。 10、对角线的平方等于腰的平方与上、下底积的和。BD²=AC²=AB²+AD·BC=DC²+AD·BC 11、等腰梯形是轴对称图形，对称轴是通过两底中点的直线。 编辑本段判定
1、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 2、一组对边平行且不等，另一组对边相等且不平行的四边形是等腰梯形。 3、对角线相等且能形成两个等腰三角形的四边形是等腰梯形。 4、对角互补的梯形是等腰梯形。 正方形性质定理
性质：1、四个角都是直角，四条边都相等 2、两条对角线相等且互相垂直平分 3、每条对角线平分一组对角 判定方法：1、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 2、邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（一个角是直角的菱形） 3、有一组邻边相等的矩形。 正方形是特殊的矩形 ，也是特殊的菱形！ 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 |
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