快乐课堂学数学-高中数学必修2-多余老师趣讲“直线方程”
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- 先说几句多余的话
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的学科，简单说就是研究“数”与“形”。
解析几何是用代数的方法研究几何问题。
我们最早接触“解析”这个词，是在初中首次学习函数时出现的。
函数的三种表达方法：列表法；解析法；图像法。
函数解析式，就是函数的代数表达式。只不过，解析式对格式有特别限制条件：其前部分必须是“y=”。
当一个代数表达式，符合这个限制条件时，我们就可以称其为函数，其对应的图像称之为函数图像。
当一个代数表达式，不符合这个限制条件时，我们则称其为方程。其对应的图像也只能称为方程的图像。
通过以上讲述，多余老师提醒两点：
- “解析”和“解析式”不要混淆。图像经“解析”后，其代数表达式没有任何限制；而“解析式”只是“解析”结果中的一种，特指函数式。
- 函数解析式，是方程的一种类型。即“方程”包括“函数解析式”。
在函数的学习过程中，有两点同学们应该体会得比较深刻：
- “数”和“形”的对应。看到一个函数解析式，我们就能知道其对应的函数图像大概是什么模样；看到一个函数图像，我们就能知道其对应的函数类型。
- 学好函数的要点是把系数的作用理解透。每一个系数的变化会导致图像发生什么样的变化；看到函数图像，就能知道对应系数的代数性质。
同样，在解析几何的学习过程中，这两点仍旧发挥着重要作用。
要学好解析几何，
- 要掌握好“数”与“形”的对应，这其实就是数学的解析思想。
- 要紧抓住“图形的要素”，就是控制或表达图形的重要参数。
总之，掌握好了“解析”和“要素”，解析学就好了，而且会感觉到特别简单。
特别提醒文科生一句：解析几何学好了，高考数学及格没问题。
- 从一次函数说起
在初中，我们就已经学习过了一次函数。
我们都知道，一次函数y=kx+b（k不等于0）的图像是一条直线。
反过来问一句，直线对应的就是一次函数吗？
答案当然是否定的，因为当k=0时，y=b是一条垂直于y轴的直线。因此，多余老师起了两个专用名词-“斜直线”和“直直线”。
即：
y=kx+b（k不等于0）对应的是“斜直线”；“斜直线”对应的是y=kx+b（k不等于0）。即“斜直线”与一次函数是相互对应的。
当k=0时，y=b是“直直线”。
现在，我们对一次函数提出高中阶段的研究问题。
一次函数解析式y=kx+b（k不等于0），是一个二元一次方程；其解析式右边kx+b，是一个一元一次代数式。
那么，二元一次方程是不是都可以用“斜直线”来展示？一元一次代数式是不是都可以用“斜直线”来展示？
垂直于y轴的直线为y=b，那么垂直于x轴的直线是什么？那就是x=a。
x=a、y=b这两种“直直线”都是一元一次方程；其等式的右边都是常数（即0次代数式）。
那么，一元一次方程是不是都可以用“直直线”来展示？“0次代数式”是不是都可以用“直直线”来展示？
这提出的就是“数”与“形”的对应问题，即“解析”。
还是先细看看一次函数。
y=kx+b中，有两个系数。
一次项系数k，k大于0时，直线为“升调”；k小于0时，直线为“降调”。即k的正负与“斜直线”的“升”“降”是相互对应的。
而且知道，当两条“斜直线”平行时，它们的k相等。
到了高中，给k起了个名字，叫斜率。
常数项b，代表了“斜直线”与y轴的交点（0，b）。
到了高中，给b也起了个名字，叫截距。
现在，我们又可以对一次函数提出高中阶段的研究问题。
斜率和截距，谁是直线的“要素”？
直线的“解析”、直线的“要素”就是学好直线方程的两把钥匙。
- 从几何角度说直线
两点确定一条直线。
根据这条公理，可以知道，给出两个点的坐标，就可以得出过这两点的直线表达式。
在学习一次函数时，已经解决过这类问题。
当时，用的是“待定系数法”，这是一种纯代数方法，有没有更简单更快捷的办法呢？
如果不给两点坐标，只给出一个点，再加一个什么条件，也能确定一条直线呢？
那就需要告诉“方位角”，在小学时我们就使用过。
如：从学校出发，沿东偏南30°方向，走600米。
即：在平面直角坐标系中，“点加角”确定一条直线。
在高中，给“方位角”取名叫倾斜角。
而倾斜角的正切值，就是斜率。
- 直线方程
根据前面提出的研究问题和相关知识的了解，紧抓住“解析”和“要素”，就可以很清晰明确地掌握直线方程。
1、二元一次方程，都可以改写成一次函数形式，所以，二元一次方程与“斜直线”相互对应。
2、一元一次方程，与“直直线”相互对应。
3、直线的要素是斜率。
根据以上3条，我们来一一点评直线方程的五种形式：
1、一般式：Ax+By+C=0（A2+B2不等于0，即A、B不同为0）。
一般式是把二元一次方程和一元一次方程，进行合并表达。
当A*B不等于0，即A、B都不为0时，一般式是二元一次方程。
当A*B=0，且A2+B2不等于0，即A、B有且只有一个为0 时，一般式是一元一次方程。
所以，其最大的优点是：一般式可表示所有直线。
对于一般式注意四条：
A、题目中出现未知直线，当不能明确是“斜直线”时，一定要设成一般式。
B、依据方程直接进行代数计算时，一般式直接使用。
C、当直线已知，要进行分析使用时，将一般式改为斜截式（一次函数式）。
D、直线方程做为答案时，要写成一般式。（因为标准答案就是一般式）
2、两点式：（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）。
两点式代表了“两点确定一条直线”。
但其代数形式，最为繁琐。
并且，由于出现了分母，导致其受限最为严重，即只能使用于“斜直线”。
所以，两点式知道即可，弃之不用。
知道点什么？就是“竖”比“横”=“竖”比“横”=k
前面说过，当知道两点时，用一次函数的待定系数法，也很繁琐。
这时，直线的要素“斜率”的重要作用就体现出来了。
已知两点，先求出k。
- 截矩式：x/a+y/b=1。
截矩式是两点式的一种特殊情况。两点式都弃之不用，截矩式也一样了。
截矩式体现了截矩，从这也能看出，截矩不是直线的“要素”。
并用，截矩不仅不能表示“直直线”，还不能表示“正比例函数直线”（即不能过原点）。
对于截矩式只要记住，当已知直线的截矩式时，你要知道直线过（a，0）、（0，b）。
4、点斜式：y-y1=k（x-x1）。
点斜式体现了，在直角平面直角坐标系中，“点加角”确定一条直线。
点斜式本身就是“竖”比“横=k，为了回避分母，改写成了乘积形式。
从这也能看出，直线的要素是k。
对于点斜式注意两条：
- 在使用时，一般还是用“竖”比“横=k的形式。
- 点斜式不能使用于与x轴垂直的直线（此时k不存在）。
5、斜截式：y=kx+b。
斜截式是点斜式的一种特殊情况。
与一次函数解析式相比，斜截式去掉了k不等于0的限制。
其优点是：斜截式的形式最为简洁；并且突出了直线的要素k。
所以，对于斜截式的使用，是多多益善。
但要注意一点，当k不存在时，不能使用。
- 直线的平行和垂直
平行和垂直是几何问题，这就要借重于“形”，即直线的“要素”k。
两直线平行，斜率相等。两直线垂直，斜率积为-1（即斜率互为负倒数）。
但k的唯一缺憾是，直线有k不存在的情况。
这时，一般式就体现出了其优点。
对于一般式
两直线平行时，斜率相等，即A1：B1=A2：B2，回避分母，改写为乘积形式。
即为两直线平行，A1*B2=A2*B1。
两直线垂直时，斜率互为负倒数，即（A1/B1）*（A2/B2）=-1，再回避分母。
即为两直线垂直，A1*A2+B1*B2=0。
这两个结论，更使用于所有直线。
- 坐标和距离公式
求坐标、求距离，都是要进行准确计算，这就要借重于“数”。
但是在分析、理解、判断时，不要得意忘“形”。
1、求两直线交点坐标。
交点坐标就是方程组的解。
但可以利用“形”的“要素”k，先分析判断一下两直线的关系。
如平行，则无解；如重合，则无穷个解。此时，不用解方程组，即可得出结论。
- 两点间距离公式。
两点间距离公式来源于“勾股定理”。
这充分体现了，平面直角坐标系中，利用“横平竖直”构建直角三角形的“形”的优势。
当两点“同横”或“同竖”时，直接一减就出来了，可别套公式哦。
而且，对于公式，一定要进行“解析”，可以解决更多问题。
如：求根号[（x-1）2+（y+2）2]+根号[（x-4）2+y2]的最小值。
根据其形式符合两点间距离公式的特征，此题先转化为几何问题。
即求（x，y）到（1，-2）和（4，0）两点距离和的最小值。
再画图分析可得，最小值就是（1，-2）和（4，0）两点间的距离。
再出一题：
如x+y=1，求x2+y2的最小值。
提示：
x+y=1是一条直线，则x2+y2表示直线上的点到原点距离最小值的平方。
答案：
二分之一。
3、点到直线的距离
点到直线的距离公式，其使用频率是比较高的。
但从其代数表现形式看，结构有些庞杂。
可是，如果理解公式各部分所对应的“形”的意义，则该公式就显得非常简单。
并且在实际解决问题时，并不一定非套公式不可。
比如：点到“直直线”的距离，直接一减就得出了。
公式的分子，是将点坐标入直线一般式。因距离无负数，所以带绝对值。
公式的分母，是勾股定理求斜边长。
这样对于记忆公式是有很大好处，但对于理解还远远不够。
首先我们要搞明白：点坐标代入直线一般式，表示的“形”是什么？公式分母的勾股又是表示的什么“形”？
由公式分母的勾股形式，我们很容易想到直角三角形。
多余老师用文字说，你们自己画图。
任意画一条“斜直线”a。（点到“直直线”距离很简单，在这就不用管了。）
直线外任取一点M。
作MN垂直于直线a，垂足为N。
作MP垂直于x轴，交直线a于P。
这样，MNP就构建出一个直角三角形。
看一下角NMP与直线a的倾斜角有什么关系？
当直线a为“升调”时，两角相等；当“降调”时，两角互补。
由此，可得出直角三角形MNP的三边比。
即NP：MN：MP=|A|：|B|：根号（A2+B2）。（加绝对值，是因为长度没有负数）
到这，可以看出，点到直线距离公式的分母，表示的“形”就是：直角三角形的三边比。
因为MP：MN=根号（A2+B2）：|B|
所以，公式的分子，点坐标代入直线一般式，得出的是MP*|B|。
所以，点到直线的距离公式可变为：MP*[|B|/根号（A2+B2）]
这样的好处是：不但方便求出点到直线的距离MN，还能很方便地求出NP。
NP=MP*[|A|/根号（A2+B2）]
顺着这个思路，我们还能把点到直线的距离公式做更进一步的简化。
如果“斜直线”方程给的是斜截式y=kx+b，即kx-y+b=0。
则点到直线的距离公式可变为：MP/根号（k2+1）。
这时，NP=MP*|k|/根号（k2+1）。
以上对点到直线距离公式的演变推理，不但使我们对公式的理解更加透彻、准确。
而且最大的收获是：
在平面直角坐标系中，利用“横平竖直”构建直角三角形，快速得出三边比。
4、平行线间的距离
“线到线”的距离，可比点到线的距离公式简单多了。
而且，根据上面的推导演变，点到线的距离和“线到线”的距离可以统一：
对于“直直线”，直接一减就行。
对于“斜直线”，使用斜截式，距离=“竖”/根号（k2+1）。
“竖”在点到线时，是MP；在“线到线”时，就是|b1-b2|。这会可把截矩b给用上了。
- 中点坐标
中点坐标公式，简洁明了。
在此只多说一句：中点就是平均数。
七、再说几句多余的话
1、解析几何是高考数学的的一项大头。
选择填空一般至少有3题，解答有1题。
选择填空1题5分，大题1 题12分，合计就至少有27分。占总分有五分之一了。
而且解析几何的题目，不出现高难度，学透了，就能拿这部分的满分。
所以，多余老师在前面说了：学好解析几何，高考数学及格没问题。
2、理科生要锻炼提高自己的“解析”思想。
通过前面的讲说和举例，都可看到，搞明白“数”和“形”的对应关系，不仅可以都计算得到简单。
而且不但会用代数的方法解决几何问题，也会用几何方法来解决特定的代数问题。
在这再出一题：
已知x+y-1=0（1小于等于X小于等于2），求（y+3）/（x+1）的最大值和最小值。
提示：
已知的是一条线段。
（y+3）/（x+1）具有“竖”比“横”的特征，可看做过（-1，-3）的直线的斜率。
答案：
最大3/2，最小4/3。
3、不管文科生还是理科生，学哪门功课，都要善于抓“要素”。
抓住“要素”，事半功倍；抓不住要素，事倍功半。
4、高考时，直接出直线方程的题目，概率是很小的，就是有最多一道小题，价值5分。
但是，所有的解析几何考题，基本都与直线方程有关。
并且，直线方程所学内容和方法，在解不等式、线性规划、求最值等项目上都使用。
所以，直线方程在高中的基础性是非常强的，一定要学好学透。
