数列中的数学思想

数列中的数学思想

丁赛军

　　在数列综合问题中蕴含着许我重要的数学思想，如归纳思想、函数思想、方程思想、递推思想、化归思想、分类讨论思想，在这些思想的指导下产生许多解决数列问题的方法，让学生充分理解和掌握这些思想和方法，对提高解决数列综合问题的能力很为重要。

 

　　一. 归纳思想

 

　　通过对命题在特殊情况下的考察与探索，发现并归纳出一般性的结论，再运用数学的方法对结论进行证明，这种归纳思想形成了解决数列问题的一种重要方法；观察、归纳、猜想、证明。

 

　　例1. 设是数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列和的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列，求。

 

　　分析：由，得，直接求出它们的公共项比较困难，可列举它们开始的若干项进行观察，发现规律后再进行证明。

 

　　解：

 

　　　　，727，……，2187，……。

 

　　　猜想：，……是公共项，即。

 

　　　证明：若是公共项，则存在，使得。

 

　　　那么

 

　　　　

 

　　　这说明当是公共项时，不是公共项，是公共项，。

 

　　二. 方程思想

 

　　在等差与等比数列中，常常需要研究之间关系，我们可以以方程思想为指导，寻找未知数个数与方程个数间的关系。

 

　　例2. 设是等差数列的前n项和，已知与的等比中项为，与的等差中项为1，求。

 

　　解：由题意知

 

　　　　　即

 

　　　　　解得或

 

　　　　　或

 

　　三. 递推思想

 

　　在数列问题中，学生往往很重视通项，但有时用递推关系给出数列比通项更简洁，这就要求培养学生的递推思想。

 

　　例3. 某林场原有森林木材量a，木材以每年25%的增长率生成，而每年要砍伐的木材量为x，为使经过20年木材存有量翻两番，求每年砍伐量x（）

 

　　分析：设经过n年后木材量为，则根据题意有

 

　　　　　　

 

　　　　　即

 

　　　　　其中

 

　　　　　于是数列是首项为，公比为的等比数列，

 

　　　　　　

 

　　　　　　由题意知时，

 

　　　　　　

 

　　　　　　　设

 

　　　　　　　

 

　　　　　　

 

　　　四. 函数思想

 

　　　数列是特殊的函数，因而许多数列问题的讨论可用函数方法解决。

 

　　　例4. 在xOy平面上有一点列，……，对每个自然数n，点位于函数的图象上，且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形。

 

　　（1）求点的纵坐标的表达式；

 

　　（2）若对每个自然数n，以为边长能构成一个三角形，求a的取值范围。

 

　　分析：（1）由点、点（n，0）与点构成以为顶点的等腰三角形，知。

 

　　　又点在函数的图象上

 

　　　　

 

　　　（2）

 

　　　　　函数是减函数

 

　　　　　对每个自然数n都有

 

　　　　　则以为边长能构成三角形的充要条件是

 

　　　　　　

 

　　　　　即

 

　　　　　解得或

 

　　　　　

 

　　五. 分类讨论思想

 

　　数列中许多问题在不同的情形下可得到不同的结论，这时往往需分类讨论。

 

　　例5. 3个实数，适当排列，分别取常用对数后构成公差为1的等差数列，求此时a的值。

 

　　分析：此题关键是3个数以怎样的顺序构成等差数列？由公差为1可知，所成等差数列一定是递增的，所以需判断这3个数的大小关系，从而减少分类次数。

 

　　解：记

 

　　　　　

 

　　　　由题意知

 

　　　　　

 

　　　　解得

 

　　　　考虑差

 

　　　　　

 

　　　　

 

　　　　

 

　　　　

 

　　　　又

 

　　　（1）当时，（不舍题意）

 

　　　（2）当时，，此时有

 

　　　　　构成公差为1的等差数列，即

 

　　　　　

 

　　　　　即

 

　　　　解得

 

　　（3）当时，，此时

 

　　　　　构成公差为1的等差数列，即

 

　　　　　

 

　　　　　

 

　　　　　

 

　　　上述方程组无解，即a不存在。

 

　　　综合（1）（2）（3）知

2007-07-23  人教网