椭圆的方程

椭圆的方程

 

高考要求：理解椭圆的标准方程和几何性质．

重点：椭圆的方程与几何性质．

难点：椭圆的方程与几何性质．

 

二、知识点：

1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质

定  义	第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距	第二定义： 平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e．（0<e<1）
标 准 方 程	焦点在x轴上	焦点在y轴上
图    形	焦点在x轴上	焦点在y轴上
性    质	焦点在x轴上 范  围：， 对称性：轴、轴、原点． 顶点：，． 离心率：e 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式： 范围：

2、椭圆中a，b，c，e的关系是：．已知其中两个，便可求得另外两个．

3、与焦点有关的问题，要充分利用两个定义；椭圆上的点P（x₀，y₀）到左、右焦点的距离分别为：

4、焦点三角形应注意以下关系：

（1）定义：r₁＋r₂=2a

（2）余弦定理：＋－2r₁r₂cos=（2c）²

（3）面积：=r₁r₂ sin=·2c| y₀ |（其中P（）为椭圆上一点，|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，∠F₁PF₂=）

 

三、基础训练：

1、椭圆的标准方程为，焦点坐标是，长轴长为___2____，短轴长为，焦距是，离心率为，准线方程为．

2、椭圆的焦距是2，则的值是__3或5__；

3、两个焦点的坐标分别为，且经过的椭圆的标准方程是_____；

4、已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是7，则点P到另一个焦点的距离是__3___

5、设F是椭圆的一个焦点，B₁B是短轴，，则椭圆的离心率为

6、方程=10，化简的结果是；

    满足方程的点的轨迹为

7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为

8、直线y=kx－2与焦点在x轴上的椭圆恒有公共点，则m的取值范围为_[4，5）_

9、在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆 上，则

10、已知点F是椭圆的右焦点，点A（4，1）是椭圆内的一点，点P（x，y）（x≥0）是椭圆上的一个动点，则的最大值是  8  ．

 

【典型例题】

例1、（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，短轴长为4，求椭圆的方程．

解：设方程为，则．

所求方程为

（2）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1，求椭圆的方程．

解：设方程为，则．

所求方程为

（3）已知三点P，（5，2），F₁  （-6，0），F₂ （6，0）．设点P，F₁，F₂关于直线y=x的对称点分别为，求以为焦点且过点的椭圆方程 ．

解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a>b>0），其半焦距c=6

∴，b²=a²-c²=9．

所以所求椭圆的标准方程为

（4）求经过点M（， －2）， N（－2， 1）的椭圆的标准方程．

解：设方程为，则

 

例2、如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B（离地面最远的点）距地面2384km，并且、A、B在同一直线上，设地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程 （精确到1km）．

解：建立如图所示直角坐标系，使点A、B、在轴上，

则=|OA|－|O|=|A|=6371＋439=6810

=|OB|＋|O|=|B|=6371＋2384=8755

解得=7782.5，=972.5

．

卫星运行的轨道方程为

 

例3、已知定圆，动圆M和已知圆内切且过点P（-3，0），求圆心M的轨迹及其方程

    分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值根据图形，用数学符号表示此结论： 

    上式可以变形为，又因为，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆

    解：知圆可化为：

圆心Q（3，0），，所以P在定圆内

设动圆圆心为，则为半径又圆M和圆Q内切，所以，

即 ，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点为原点，所以，，故动圆圆心M的轨迹方程是：

 

例4、已知椭圆的焦点是，Ｐ为椭圆上一点，且｜｜是｜｜和｜｜的等差中项．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点P在第三象限，且∠=120°，求．

选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题．

解：（1）由题设｜｜＋｜｜=2｜｜=4

∴， 2c=2，   ∴ｂ=

∴椭圆的方程为．

（2）设∠，则∠=60°－θ

由正弦定理得：

由等比定理得：

整理得：   故

．

说明：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．对于第二问还可用后面的几何性质，借助焦半径公式余弦定理把P点横坐标先求出来，再去解三角形作答

 

例5、如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ的中点M的轨迹（若M分 PPˊ之比为，求点M的轨迹）

解：（1）当M是线段PPˊ的中点时，设动点的坐标为，则的坐标为

因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，

所以有  ，即 

所以点的轨迹是椭圆，方程是

（2）当M分 PPˊ之比为时，设动点的坐标为，则的坐标为

因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上，所以有，

即

所以点的轨迹是椭圆，方程是

 

例6、设向量=（1， 0），=（0， 1），=（x＋m）＋y，=（x－m）＋y，且||＋||=6，0< m < 3，x>0，y∈R．

    （I）求动点P（x，y）的轨迹方程；

    （II）已知点A（－1， 0），设直线y=（x－2）与点P的轨迹交于B、C两点，问是否存在实数m，使得=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（I）∵=（1， 0）， =（0， 1）， ||＋||=6

∴ =6

上式即为点P（x， y）到点（－m， 0）与到点（m， 0）距离之和为6．记F₁（－m， 0），F₂（m， 0）（0<m<0），则|F₁F₂|=2m＜6．

∴ |PF₁|＋|PF₂|=6＞|F₁F₂|

又∵x＞0，∴P点的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆的右半部分．

∵ 2a=6，∴a=3

又∵ 2c=2m，∴ c=m，b²=a²－c²=9－m²

∴ 所求轨迹方程为（x＞0，0＜m＜3）

（ II ）设B（x₁， y₁），C（x₂， y₂），

∴=（x₁＋1，y₁） =（x₂＋1，y₂）

∴ ·=x₁x₂＋（x₁＋x₂）＋1＋y₁y₂

而y₁y₂=（x₁－2）·（x₂－2）

=[x₁x₂－2（x₁＋x₂）＋4]

∴ ·=

x₁x₂＋（x₁＋x₂）＋1＋[x₁x₂－2（x₁＋x₂）＋4]

=[10x₁x₂＋7（x₁＋x₂）＋13]

若存在实数m，使得·=成立

则由·=[10x₁x₂＋7（x₁＋x₂）＋13]=

可得10x₁x₂＋7（x₁＋x₂）＋10=0    ①

再由

消去y，得（10－m²）x²－4x＋9m²－77=0   ②

因为直线与点P的轨迹有两个交点．

所以

由①、④、⑤解得m²=＜9，且此时△＞0

但由⑤，有9m²－77=＜0与假设矛盾

∴ 不存在符合题意的实数m，使得·=

 

例7、已知C₁：，抛物线C₂：（y－m）²=2px （p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆C₁的右焦点．

（Ⅰ）当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

（Ⅱ）若p=，且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程．

解：（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为x=1，从而点A的坐标为（1，）或（1，－）．

∵点A在抛物线上，∴

此时C₂的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上．

（Ⅱ）当C₂的焦点在AB上时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x－1）．

由（kx－k－m）²=     ①

因为C₂的焦点F′（，m）在y=k（x－1）上．

所以k²x²－（k²＋2）x＋=0              ②

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＋x₂=

由

（3＋4k²）x²－8k²x＋4k²－12=0                 ③

由于x₁、x₂也是方程③的两根，所以x₁＋x₂=

从而=k²=6即k=±

又m=－∴m=或m=－

当m=时，直线AB的方程为y=－（x－1）；

当m=－时，直线AB的方程为y=（x－1）．

 

例8、已知椭圆C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，离心率为e．直线l：y=ex＋a与x轴，y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设=．

（Ⅰ）证明：=1－e²；

（Ⅱ）若=，△MF₁F₂的周长为6，写出椭圆C的方程；

（Ⅲ）确定的值，使得△PF₁F₂是等腰三角形．

解：（Ⅰ）因为A、B分别为直线l：y=ex＋a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是A（－，0），B（0，a）．

由得这里

∴M由得：

=（，a）

即解得

（Ⅱ）当时，  ∴a=2c

由△MF₁F₂的周长为6，得2a＋2c=6

∴a=2，c=1，b²=a²－c²=3

故所求椭圆C的方程为

（Ⅲ）∵PF₁⊥l  ∴∠PF₁F₂=90°＋∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即|PF₁|=C．

设点F₁到l的距离为d，由

|PF₁|===C

得：=e  ∴e²=  于是

即当时，△PF₁F₂为等腰三角形．

（注：也可设P（x₀，y₀），解出x₀，y₀求之）

 

【模拟试题】

一、选择题

1、动点M到定点和的距离的和为8，则动点M的轨迹为       （    ）

A、椭圆               B、线段               C、无图形                   D、两条射线

2、设椭圆的两个焦点分别为F₁、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是    （    ）

A、                B、           C、2－                   D、－1

3、（2004年高考湖南卷）F₁、F₂是椭圆C：的焦点，在C上满足PF₁⊥PF₂的点P的个数为（    ）

A、2个                B、4个                     C、无数个                   D、不确定

4、椭圆的左、右焦点为F₁、F₂，一直线过F₁交椭圆于A、B两点，则△ABF₂的周长为  （    ）

A、32                   B、16                         C、8                            D、4

5、已知点P在椭圆（x－2）²＋2y²=1上，则的最小值为（    ）

A、              B、            C、                      D、

6、我们把离心率等于黄金比的椭圆称为“优美椭圆”，设是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则等于（    ）

A、                 B、                C、                        D、

 

二、填空题

7、椭圆的顶点坐标为     和      ，焦点坐标为      ，焦距为       ，长轴长为        ，短轴长为        ，离心率为        ，准线方程为     ．

8、设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P_i（i=1，2，），使得|FP₁|、|FP₂|、|FP₃|…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是      ．

9、设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则得        ．

10、若椭圆=1的准线平行于x轴则m的取值范围是         

 

三、解答题

11、根据下列条件求椭圆的标准方程

（1）和椭圆共准线，且离心率为．

（2）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．

12、已知轴上的一定点A（1，0），Q为椭圆上的动点，求AQ中点M的轨迹方程

13、椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当∠为钝角时，求点P横坐标的取值范围．

14、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3， －1）共线．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设M是椭圆上任意一点，且=（、∈R），证明为定值．

 

【试题答案】

1、B 

2、D

3、A

  4、B 

5、D（法一：设，则y=kx代入椭圆方程中得：（1＋2k²）x²－4x＋3=0，由△≥0得：．法二：用椭圆的参数方程及三角函数的有界性求解）

6、C 

7、（），；（0，）；6；10；8；；．

8、∪ 

9、  

10、m＜且m≠0．

11、（1）设椭圆方程，则其准线为．

解得，所求椭圆方程为．

（2），．

由，得．

所求椭圆方程为或．

12、解：设中点的坐标为，则的坐标为

因为点为椭圆上的动点

所以有  ，即

所以中点的轨迹方程是

13、解：设P点横坐标为x₀，则，，为钝角．当且仅当，解之即得：．

14、（1）解：设椭圆方程，F（c，0），则直线AB的方程为y=x－c，代入，化简得：

令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁＋x₂=，

x₁x₂=

由=（x₁＋x₂，y₁＋y₂），=（3， －1），与共线，得：3（y₁＋y₂）＋（x₁＋x₂）=0，

又y₁=x₁－c，y₂=x₂－c

∴ 3（x₁＋x₂－2c）＋（x₁＋x₂）=0，∴ x₁＋x₂=

即=，∴ a²=3b² 

∴ ，故离心率e=．

（2）证明：由（1）知a²=3b²，所以椭圆可化为x²＋3y²=3b²

设，由已知得=（x₁，y₁）＋（x₂，y₂），∴ ，

∵M在椭圆上

∴ （）²＋3（）²=3b² 

即：²（）＋（）＋2（x₁x₂＋3 y₁y₂）=3b²  ①

由（1）知x₁＋x₂=，a²=²，b²=c²．

x₁x₂==²

x₁x₂＋3y₁y₂=x₁x₂＋3（x₁－c）（x₂－c）

=4x₁x₂－3（x₁＋x₂）c＋3c²=²－²＋3c²=0

又=3b²，=3b²代入①得

=1． 故为定值，定值为1．