圆的方程

. 教学内容：

圆的方程

 

二. 教学目的：

使学生掌握圆的标准方程、一般方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的方程，能运用圆的方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题. 

 

三. 教学重、难点：

教学重点：掌握圆的方程的推导步骤；根据具体条件正确写出圆的方程。

教学难点：运用圆的方程解决一些简单的实际问题。

 

［基本内容］

1. 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆

2. 圆的标准方程 ：

若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。

3. 圆的一般方程：    将其配方，得

  

此方程与圆的标准方程的关系：

（1）当时，表示以（-，-）为圆心，为半径的圆；

（2）当时，方程只有实数解，，

即只表示一个点（-，-）；

（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。

综上所述，方程表示的曲线不一定是圆。

只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程。

4. 圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：

（1）和的系数相同，且不等于0；

（2）没有这样的二次项。

但要注意：以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

5. 方法归纳如下：

（1）求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；

（2）求圆的方程时，若能运用几何性质，如垂径定理等往往能简化计算.

（3）点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.

6. 圆的切线的求法

（1）若点（，）在圆+=的外面，则切线方程为（斜率存在时），利用圆心到切线的距离等于半径列出方程，求出k，当斜率不存在时，结合图形求出。

（2）若点（，）在圆上，则切线方程为。

（3）若切线斜率为k，则圆的切线方程为。

7. 点与圆的位置关系

点（，）在圆+=圆上=

点（，）在圆+=圆内<

点（，）在圆+=圆外>

8. 直线与圆的位置

（1）从几何的角度来研究有：

直线与圆相交圆心到直线的距离小于半径。

直线与圆相切圆心到直线的距离等于半径。

直线与圆相离圆心到直线的距离大于半径。

（2）从代数的角度来研究有：

直线方程与圆的方程联立消去y得到关于x的一元二次方程。

直线与圆相交△＞0。

直线与圆相切△=0

直线与圆相离△＜0。

为避免计算量过大，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；圆与直线的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程

9. 圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R和r（R≥r），圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：

外离d > R＋r

外切

相交

内切

内含

 

五、基础训练

1. 若动点A在圆的内部，则的范围为           

答案：

2. 过点A（2，0），B（8，0），C（10，4）的圆的方程为                           

答案：

3. 若P（2，－1）为圆（x－1）²＋y²＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为            。

答案：

4. 圆心在x轴上，半径为5且过点A（2，-3）的圆的方程为                      。

答案：

5. 设有一组圆. 下列四个命题：

①存在一条定直线与所有的圆均相切

②存在一条定直线与所有的圆均相交

③存在一条定直线与所有的圆均不相交

④所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是                         . （写出所有真命题的代号）

解析：圆心为（k-1，3k），半径为，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，②正确；由C₁、C₂、C₃的图像可知①、③不正确；若存在圆过原点（0，0），则有（因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点。填②、④

 

【典型例题】

例1. 求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。

解：设所求的圆的方程为：

∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，

即

解此方程组，可得：。

∴所求圆的方程为：。

；。

得圆心坐标为（4，-3）.

或将左边配方化为圆的标准方程，，从而求出圆的半径，圆心坐标为（4，-3） 。

 

例2. 求以C（1，3）为圆心，并且和直线相切的圆的方程。

解：已知圆心坐标C（1，3），故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C和直线相切，所以半径就等于圆心C到这条直线的距离。根据点到直线的距离公式，得。

因此，所求的圆的方程是。

点评： 由本题可知，圆的标准方程是由圆心坐标和半径两因素决定的而且圆的半径与圆的切线有着非常密切的联系，解题要注意运用圆的切线的性质。解题时画出草图可帮助思考。

 

例3. 求经过A（6，5），B（0，1）两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程。

解：的中垂线方程为3x+2y-15=0，由。

故所求的圆的方程为：

 

例4. 求经过P（－2，4），Q（3，－1）两点，并且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程。

解：设圆的方程为：，则有

所求圆的方程为：

 

例5. 已知圆C在轴上截得的弦长为6，在y轴上一个截距为-1，且圆心在直线上，求圆C的方程。

解：设圆的方程为，则

 

例6. （山东理15）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是

答案：

解：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。

 

例7. 已知圆C与圆相外切，并且与直线相切于点，求圆C的方程。

解：设圆C的圆心为，则

所以圆C的方程为

 

例8. 若满足方程x－1，则的范围为____________。

答案：［0，2］

解：x－1可化为，

表示右半圆上的点与原点连线的斜率的范围，由图得到。

 

例9. 已知对于圆上任意一点P（），不等式恒成立，求实数的取值范围。

分析：将圆的参数方程代入，转化为求的最值问题来解。

解：由得其参数方程为：

代入，得cosθ+1+sinθ+≥0

∴≥-cosθ-sinθ-1。

∴≥-sin（θ＋）-1恒成立，

∴转化为求-sin（θ+）-1的最大值，

∵-sin（θ+）-1的最大值为-1。

∴≥-1。

 

例10. 已知点A（0，2）和圆C：，一条光线从A点出发射到轴上后沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程。

解：设反射光线与圆相切于D点.点A关于轴的对称点的坐标为，则光线从A点到切点所走的路程为｜｜。

在Ｒｔ△中，



∴｜｜＝即光线从A点到切点所经过的路程是。

点评：此例的解法关键是利用A关于x轴的对称点在反射光线上，把光线从A点到折射点再到切点D的路程，转化为求线段的长.本例的其他解法都不如这个解法简便。

 

例11. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c且c＝10，，P为△ABC的内切圆上的动点，求动点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值和最小值.

解：由得

建立直角坐标系，则

 

【模拟试题】

1. 求下列各圆的标准方程：

（1）圆心在上且过两点（2，0），（0，-4）；

（2）圆心在直线上，且与直线切于点（2，-1）.

（3）圆心在直线上，且与坐标轴相切。

2. 已知圆。求：

（1）过点A（4，-3）的切线方程.（2）过点B（-5，2）的切线方程

3. （天津文理14）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是.

4. 已知⊙O的方程是，⊙O′的方程是，由动点向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是__________________

5. 若实数x、y满足等式 ，那么的最大值为     

6. 已知点M是圆上的一个动点，点N（2，6）为定点，当点M在圆上运动时，求线段MN的中点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形。

7. 已知一圆C的圆心为（2，-1），且该圆被直线：x-y-1=0 截得的弦长为2，求该圆的方程。

8. 求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程。

9. 若实数满足，求的最大值.

 

【试题答案】

1. 分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数。

解：（1）设圆心坐标为（），则所求圆的方程为，

∵圆心在上，∴              ①

又∵圆过（2，0），（0，-4）∴  ②

                                                   ③

由①②③联立方程组，可得

∴所求圆的方程为

（2）∵圆与直线相切，并切于点M（2，-1），则圆心必在过点M（2，-1）且垂直于的直线：上，

，即圆心为C（1，-2），=，

∴所求圆的方程为：

（3）设所求圆的方程为，

∵圆与坐标轴相切，   ∴。

又∵圆心（）在直线上，∴。

由，得

∴所求圆的方程为：或

2. 分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式求得。

解：（1）∵点A（4，-3）在圆上。

∴过点A的切线方程为：。

（2）∵点B（-5，2）不在圆上，当过点B（-5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为，即

由，得。∴此时切线方程为：。

当过点B（-5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知=-5，也是切线方程

综上所述，所求切线方程为：或=-5。

3. 答案：

分析：两圆方程作差得

4. 解析：⊙O：圆心，半径；⊙O′：圆心，半径. 设，由切线长相等得

，.

5. 解：∵实数满足，

∵（）是圆上的点，记为P，

∵是直线OP的斜率，记为

∴OP：，代入圆方程，消去，得。

直线OP与圆有公共点的充要条件是≥0，

∴，所以的最大值为。

6. 分析：先将圆化为利用圆的参数方程求解

解：将已知圆的方程化为：

则其参数方程为故可设点M（2+2cosθ，2sinθ）

又∵点N（2，6）.∴MN的中点P为

∴点P的轨迹方程为：

它表示圆心在（2，3），半径为1的圆。

7. 分析：通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径，得到圆的方程，其它问题易解

解：设圆C的方程是（r>0），

则弦长P=2，其中d为圆心到直线x-y-1=0的距离，

∴P=2=2，∴，

圆的方程为  。                             

点评：在圆中，对弦长的计算有两种方法：一用弦长公式。二用勾股定理，注意根据已知条件选用。本题中的切线方程若结合图形极易得出

8. 解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为

则其圆心坐标为。

∵所求圆的圆心在直线上，

∴。

∴所求圆的方程为。

说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程。

9. 分析一：将圆化为参数方程来解。

解法一：将圆变为

∴圆的参数方程为

代入得

=（1+cosθ）-（-2+sinθ）=3+（cosθ-sinθ）

=3+cos（θ+）≤3+

∴的最大值为3+。

分析二：令=u代入圆方程来解.

解析二：令u=，则代入圆方程得

由即

∴3-≤u≤3+，即3-≤x-y≤3+

∴的最大值为3+。