2011年高考分类汇编之函数与导数（四）

2011年高考分类汇编之函数与导数（四）

陕西文

 

4. 函数的图像是  （   ）

【分析】已知函数解析式和图像，可以用取点验证的方法判断．

【解】选B  取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．

11．设，则______.

【分析】由算起，先判断的范围，是大于0，还是不大于0,；再判断作为自变量的值时的范围，最后即可计算出结果．

【解】∵，∴，所以，即．

【答案】

21.（本小题满分14分）

设，．

（1）求的单调区间和最小值；

（2）讨论与的大小关系；

（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．

【分析】（1）先求出原函数，再求得，然后利用导数判断函数的单调性（单调区间），并求出最小值；（2）作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；（3）对任意＞0成立的恒成立问题转化为函数的最小值问题．

【解】（1）由题设知，∴令0得=1，

当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。

当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，

因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以的最小值为

(2)，设，则，

当时，，即，当时，，

因此，在内单调递减，当时，，即

（3）由（1）知的最小值为1，所以，，对任意，成立

即从而得。

 

上海理

 

1．函数的反函数为            . 1、

10.行列式所有可能的值中，最大的是           .

13. 设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为           .

16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（   ）

（A）.     （B）.     （C）.     （D）.

20.（本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分8分）

 已知函数，其中常数满足

（1）若，判断函数的单调性；

（2）若，求时的的取值范围．

20、解：⑴ 当时，任意，则

∵ ，，

∴ ，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。

⑵  ，当时，，则；

当时，，则。

 

上海文

 

3、若函数的反函数为，则     

12、行列式所有可能的值中，最大的是      

14、设是定义在上，以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为        

15.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（   ）

（A）     （B）     （C）     （D）

21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

已知函数，其中常数满足

（1）若，判断函数的单调性；

（2）若，求时的的取值范围.

21、解：⑴ 当时，任意，则

∵ ，，

∴ ，函数在上是增函数。当时，同理函数在上是减函数。

⑵ 

当时，，则；

当时，，则。

 

四川理

 

7．若是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图象大致是

解析：当时，函数单调递减，值域为，此时，其反函数单调递减且图象在与之间，故选A．

13．计算_______．答案：－20

解析：．

16．函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题：

①函数（xR）是单函数；

②若为单函数，且，则；

③若f：A→B为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；

④函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数．

其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）

答案：②③

解析：对于①，若，则，不满足；②实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于③，若任意，若有两个及以上的原象，也即当时，不一定有，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．

22．（本小题共l4分）

已知函数，．

（Ⅰ）设函数F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的单调区间与极值；

（Ⅱ）设，解关于x的方程；

（Ⅲ）试比较与的大小．

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基本知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ）由（）知，，令，得．

当时，；当时，．

故当时，是减函数；时，是增函数．

函数在处有得极小值．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为，

即为，且

①当时，，则，即，

，此时，∵，

此时方程仅有一解．

②当时，，由，得，，

若，则，方程有两解；

若时，则，方程有一解；

若或，原方程无解．

方法二：原方程可化为，

即，

①当时，原方程有一解；

②当时，原方程有二解；

③当时，原方程有一解；

④当或时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得．[来源:Zxxk.Com]

设数列的前n项和为，且（）

从而，当时，．

又

．

即对任意时，有，又因为，所以．

故．

 

四川文

 

4．函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是

解析：图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A．

22．（本小题共l4分）

已知函数，．

（Ⅰ）设函数F(x)＝18f(x)－x²[h(x)]²，求F(x)的单调区间与极值；

（Ⅱ）设，解关于x的方程；

（Ⅲ）设，证明：．

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．

解：（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

当时．；当时，，

故当时，为增函数；当时，为减函数．

为的极大值点，且．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为，

即为，且

①当时，，则，即，

，此时，∵，

此时方程仅有一解．

②当时，，由，得，，

若，则，方程有两解；

若时，则，方程有一解；

若或，原方程无解．

方法二：原方程可化为，

即，

①当时，原方程有一解；

②当时，原方程有二解；

③当时，原方程有一解；

④当或时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得，

．

设数列的前n项和为，且（）

从而有，当时，．

又

．

即对任意时，有，又因为，所以．

则，故原不等式成立．

 

 

天津理

 

2．函数的零点所在的一个区间是（　　）．

　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．

【解】解法1．因为，，，

所以函数的零点所在的一个区间是．故选Ｂ．

解法2．可化为．

画出函数和的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且，由此可排除Ａ，故选Ｂ．

8．设函数若，则实数的取值范围是（ 　 ）．

　　Ａ．　　　　　Ｂ．

　　Ｃ．　　　　Ｄ．

【解】若，则，即，所以，

若则，即，所以，。

所以实数的取值范围是或，即．故选C．

16．设函数．对任意，

恒成立，则实数的取值范围是　　　　．

【解】．

解法１．不等式化为，即

，

整理得，

因为，所以，设，．

于是题目化为，对任意恒成立的问题．

为此需求，的最大值．设，则．

函数在区间上是增函数，因而在处取得最大值．

，所以，

整理得，即，

所以，解得或，

因此实数的取值范围是．

解法2．同解法1,题目化为，对任意恒成立的问题．

为此需求，的最大值．

设，则．．

因为函数在上是增函数，所以当时，取得最小值．

从而有最大值．所以，整理得，

即，所以，解得或，

因此实数的取值范围是．

解法3．不等式化为，即

，整理得，

　　令．

由于，则其判别式，因此的最小值不可能在函数图象的顶点得到，

所以为使对任意恒成立，必须使为最小值，

即实数应满足

　　　

　解得，因此实数的取值范围是．

解法4．(针对填空题或选择题)由题设，因为对任意，

恒成立，

则对，不等式也成立，

把代入上式得，即

，因为，上式两边同乘以，并整理得

，即，所以，解得或，

因此实数的取值范围是．

21．（本小题满分分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．证明当时，．

（Ⅲ）如果，且，证明．

【解】（Ⅰ）．令，则．

当变化时，的变化情况如下表：

	增	极大值	减

所以在区间内是增函数，在区间内是减函数．

函数在处取得极大值．且．

（Ⅱ）因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，

所以，于是．

记，则，，

当时，，从而，又，所以，

于是函数在区间上是增函数．

因为，所以，当时，．因此．

（Ⅲ）(1) 若，由（Ⅰ）及,得,与矛盾；

(2) 若，由由（Ⅰ）及,得,与矛盾；

根据(1)，(2)可得．不妨设．

由（Ⅱ）可知，所以．

因为，所以，又，由（Ⅰ），在区间内是增函数，

所以　，即