(二)用三角法解几何问题(三)用解析法解几何问题用复数法解几何问题

　(二)用三角法解几何问题

 

　　用三角法解几何问题，常将线段和角的关系转化为三角函数关系，通过三角恒等变换、解三角方程或证明三角不等式来完成几何问题的解答．

 

　　例3 在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD延长线交AB于E(如图3)．求证：∠AME=∠CMB．

 

 

　　思路分析 这类问题，用几何法会困难重重，而转化为用三角法则柳暗花明．

 

　　　　设∠AME=α，∠CMB=β，则∠AEM=135°-α，∠ACE=90°-β，∠AEC=45°＋β．在△AME和△ACE中，由正弦定理，得

 

 

　　　　　　　②÷①且由AC＝2AM，得

 

 

　　　　　　　

 

　　　　　　　

　　　　

　　　　　　又α、β∈(0°，90°)，所以α＝β，即∠AME=∠CMB．

 

　　例4(蝴蝶定理)过⊙O的一条弦AB的中点C任作两条弦DE和GF，连结DG和EF分别交AB于M、N(如图13－4)．求证：CM=CN．

 

　　思路分析 设AB=2a，AC=CB=a，CM=x，CN=y，各角假设如图4所示．

 

 

　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　由相交弦定理有AM·MB=GM·MD，即(a-x)(a＋x)

 

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　　　　　所以x=y，即CM=CN．

 

　　在上一讲中我们用对称变换证过蝴蝶定理，方法很轻盈．此处的三角法给我们又一种灵巧感

　(三)用解析法解几何问题

 

　　解析法是笛卡儿推崇的数学思想方法，它的优势主要在解题的规范化，其解题步骤主要是：通过建立坐标系，设定所给图形上有关点的坐标和曲线的方程后，便可将几何问题转化为代数问题；然后运用代数知识求解，再赋予几何意义，从而获得对几何问题的解答．

 

　　例5 在△ABC中，已知AD是BC边上的高，P是AD上任一点，BP、CP延长线交AC、AB于E、F．求证：∠ADE=∠ADF．

 

　　思路分析 此题如用几何法须较高技巧，我们试用解析法来证明．

 

　　建立直角坐标系如图5，则只须证明DE、DF的斜率互为相反数就可以了．

 

 

　　设A、B、C、P四点坐标分别为(0，a)、(b，0)、(c，0)、(0，p)，由截距式可求出AB、CP、AC、BP的直线方程为

 

 

 

　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　　　所以∠ADE=∠ADF．

 

　　例6 巳知正方形ABCD，BD∥EC，以D为圆心，BD为半径画弧，交EC于E，连结ED交BC于F．求证：BF=BE．

 

　　思路分析 如图6所示，建立直角坐标系．

 

 

　　设正方形的边长为1，正方形四个顶点的坐标为A(0，1)、B(1，1)、C(1，0)、D(0，0)，又设E(x₁，y₁)、F(x₂，y₂)．

 

　　

 

　

 

　　　　　　又因为CE∥BD，所以直线CE的斜率等于直线BD的斜率，即

 

　　　　　　　　

 

　　　　　　　　

 

　　　　　　　

 

　　　　　　　　

 

　　　　　　　即得｜BE｜=｜BF｜．

 

　　由上述例子可见，解析法证几何题，思路明确，有规可循，而且可以减少或避免添加辅助线，可以减少“寻求隐含条件”的困难．使用时要注意的是坐标系的选取要适当，这样可简化计算．

(四)用复数法解几何问题

 

　　用复数法解答几何问题，基本思路是从问题的特点出发，建立复平面，选取相应的复数表示形式，根据题设条件，将几何问题转化为复数问题，通过复数的计算与推理，完成对问题的解答．

 

　　例7如图7，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转．试证不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在一点M，使△BMD为等腰直角三角形．

 

 

　　　　　　

 

　　　　　数法证明．

 

　　不妨设等腰直角三角形ADE绕A旋转到如图8位置．因为AB≠AD，故B、D总不会重合．以B、D连线为实轴，BD的垂直平分线为虚轴，建立复平面．设B、D所表示的复数分别为z_B=-1，z_D=1．

 

　

 

　　　　　　　　

 

　　 　　　　

 

　　　　　　

 

　　　　　　

 

　　　　上，且｜OB｜=｜OD｜=｜OM｜=1．故△BMD为等腰直角三角形．

 

　　例8 在半圆O中，定点A在直径EF的延长线上，B点在半圆周上运动，以AB为一边向外作正三角形ABC．问B在何处时，O、C两点距离最远？求这最远距离．

 

　　思路分析 建立复平面如图9，设圆半径为r，∠AOB=θ，

 

　　　　　

　

　　　　　复数是zC=cr(cosθ+isinθ)＋［(a-rcosθ)-irsinθ］(cos60°

 

　　　　　

 

　　　　-2arcos(θ＋60°)．故当cos(θ＋60°)=-1时，即θ=120°时， ｜OC｜max=a＋r．

 

　(五)用向量法解几何问题

 

　　向量代数是现代数学最活跃的分支之一，向量能深刻描述现实世界的空间形式，是沟通数与形内在联系的有力工具，利用向量的运算证明几何问题，方法很新颖．

 

　　例9 已知G是△ABC的重心，O是任意一点．求证：

 

AB²＋BC²＋CA²+9OG²=3(OA²+OB²＋OC²)．

 

 

　　　　　　　思路分析 这道题用几何法证明较困难，用向量法却能得心应手．

 

　　　　　　　

 

　　　　　　　

 

　　　　　　　

 

　　例12 设四边形A₁A₂A₃A₄为圆O的内接四边形，M₁、M₂、M₃、M₄依次为△A₂A₃A₄、△A₃A₄A₁、△A₄A₁A₂、△A₁A₂A₃的垂心．求证：M₁、M₂、M₃、M₄四点共圆，并定出圆心的位置．

 

　　思路分析 作直径A₁B，连结A₂B、A₄B，则向量OA₁=-OB，A₄B⊥A₄A₁，又M₃为△A₄A₁A₂的垂心，A₂M₃⊥A₁A₄，所以A₄B∥A₂M₃．同理得A₂B∥A₄M₃．则四边形BA₄M₃A₂为平行四边形(如图11所示)．

 

　　　

 

　

 

　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　

 

　　　　　　　　　

 

　　(i=1，2，3，4)．

 

　　　　　　　　　这表明M_i到点G的距离为定长r，故M₁、M₂、M₃、M₄四点共圆，再由多边形法则可作出圆心G．

 

 

 

2007-03-22  人教网

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