2004年全国初中数学竞赛试题

2004年全国初中数学竞赛试题

一、选择题:

1、已知实数a≠b，且满足(a+1)²=3-3(a+1),3(b+1)=3-(b+1)² 。则b  +a  的值为（  a ）

A、23;   B、-23;  C-2;    D-13

2、若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有（ ）

A、ab=h ;  B、 + =  ;  C、 + =  ;  D、a² +b²=2h²

3、一条抛物线y=ax²+bx+c的顶点为（4，-11），且与x轴的两个交点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）

A、只有a;  B、只有b;  C、只有c;  D、只有a和b

4、如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB

的距离之比为1：2。若△ABC的面积为32，△CDE的面

积为2，则△CFG的面积S=（  ）

A、6;   B、8;   C、10;   D、12

5、如果x和y是非零实数，使得∣x∣+y=3和∣x∣y+x³=0，那么x+y等于（  ）

A、3;   B、 ;  C、 ;   D、4-

二、填空题:

6、如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60⁰，则∠EDC=_____________（度）。

         

 

 

 

 

 

 

 

7、据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两个城市间的距离d（单位：km）有T= 的关系（k为常数）。现测得A、B、C三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话次数为          次（用t表示）。

8、已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a²+b²)xy+ab(x²+y²)=       。

9、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D=90⁰，

BC=CD=12，∠ABE=45，若AE=10，则CE的长度为           。

10、实数x、y、z满足x+y+z=5 ，xy+yz+zx=3 ，则z的最大值是    .

三、解答题:

11、通过实验研究，专家们发现，初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一端时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散，学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）。当0≤x≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x≤20和20≤x≤40时，图象是线段。

（1）当0≤x≤10时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题，需讲解24分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36。

12、已知a、b是实数 ，关于x、y的方程组  有整数解 ，求a、b满足的关系式。

13、D是△ABC的边AB上的一点 ， 使得AB=3AD ， P是△ABC外接圆上一点 ， 使得 ∠ADP=∠ACB，求 的值。

14、已知a＜0 , b≤0 ,c＞0 , 且  =b-2ac , 求b²-4ac的最小值。

 

2002年全国初中数学竞赛----辽宁省预赛试卷

一、选择题

1、已知点P的坐标为(x, y)且 ，则点P关于原点的对称点P的坐标是(　　)
　　A、(-1， )　B、(-1， )　C、(1， )　D、(1， )
2、已知α是锐角，且tgα= ，那么下列各式中正确的是(　　)
　　A、60°＜α＜90°　　　　  B、45°＜α＜60°
　　C、30°＜α＜45°　　　　  D、0°＜α＜30°
3、内接于半径为1的圆的正方形的面积是(　　)
　  A、 　　　B、 　　　 C、2　　　 D、4
4、设a、b为两圆半径，c为圆心距，且方程x²-2ax+b²=c(b-a)有两个相等的实数根，则这两个圆(　　)
　　A、相交　　　B、内切　　　C、相等　　　D、相等或外切
5、设 ， ， ，则a，b，c之间的大小关系是(　　)
　 A、c＞b＞a　　B、a＞c＞b　　C、b＞a＞c　 D、a＞b＞c
6、制作一个圆锥模型，其侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮围成的，则圆锥底面半径为(　　)
　 A、4cm　　　　B、3cm　　　 C、6cm　　　 D、12cm

7、右图是一次函数 的图象，那么△AOB的面积等于(　　)
　A、    　B、 　 　 C、 　　D、
8、平面上有O和I两点，以O为外心，I为内心的三角形(　　)
 A、只能画出一个　　       B、只能画出2个　　

 C、最多画出3个　　       D、能画出无数个
9、二次函数y=x²+mx+n中，如果m-n=0，那么它的图象一定经过点(　　)
 A、(-1，-1) 　B、(1，-1) 　 C、(-1，1) 　 D、(1，1)
10、已知a为非负整数，若关于x的方程 至少有一个整数根，则a可以取值的个数为(　　)
 A、1　　　　B、2　　　　C、3　　　 　D、4

二、填空题

11、解方程 时，若设 ，则原方程可化为关于y的一元二次方程是______。
12、如图⊙O为正△ABC的外接圆，OD∥AB(其中D为外接圆上的点)，则∠BCD=______度。
13、如果方程x²+(k²-4)x+k+1=0的两实根互为相反数，那么k=______。
14、已知半径为1cm和2cm的两个圆外切于点P，则点P到外公切线的距离为______。
15、若一次函数y=3x+b和反比例函数y= 的图像有两个交点，当b=______时，有一个交点的纵坐标为6。
16、在△ABC中，O是外心，I是内心，若∠BOC=100°，则∠BIC的度数是______。

17、如图⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为______。
18、已知定圆⊙O₁半径为7cm，动圆⊙O₂半径为4cm，若⊙O₁与⊙O₂内切，那么⊙O₂的圆心轨迹是______。
19、已知 ， ， ，……  (a，b为正整数)，请推测a=______，b=______。
20、已知方程m²x²-(4m+3)x+4=0有两个不相等的实数根x₁、x₂，设S= ，则S的取值范围是______。

三、21、阅读下面一题及解答过程，请判断是否正确？若不正确，请指出错在哪一步？并写出正确的解答过程。
　　化简：

解： =

== =
22、如图，在山顶A处望见一艘飞艇停留在湖面上空(100+50 )米处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观其湖中之像的俯角为60°，试求山高h(观察时湖面处于平静状态)。
　　

四、23、某汽气装配厂计划在规定的时限内组装汽车21辆，组装了6辆汽车后，又追加了组装5辆汽车的订单，要求交贷时间不超过原来规定的期限，通过挖潜改革，提高工效，平均每天比原计划多组装2辆汽车，结果提前1天交货。问追加订单后，平均每天组装多少辆汽车？请用两种方法列出相应未知数的方程，并解答其中的一个。

五、24、某果品公司欲请汽车运输公司或火车货运站将60吨水果从A地运到B地，已知汽车和火车从A地到B地的运输路程均为S千米，这两家运输单位在运输过程中，除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费外，要收取的其它费用及有关运输资料由下表给出：

运输工具	行驶速度(千米/时)	运费单价(元/吨千米)	装卸总费用(元)
汽车	50	2	2500
火车	80	1.7	2310

　　(1)请分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y₁元和y₂元(用含S的式子表示)；
　　(2)若S=50，为减少费用，你认为果品公司应选择哪家运输单位运送这批水果更合算？(说明：“1元/吨千米”表示“每吨每千米1元”)