最值问题

最值问题——基础学习

 

一、解答题

均值不等式

【例】已知x, y∈R⁺且9x+16y＝144，求xy的最大值。

【解题关键点】由题设一正：x, y∈R⁺，二定: 9x+16y＝144。求积的最大值，可考虑用均值不等式求解。
    ∵ x, y∈R⁺ ，x·y =×9x·16x≤()2×=36， 当且仅当9x=16y，即x=8,y=时，(xy)_max=36.

 

2、变形方法

【例】当时，求的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当且仅当，即x＝2时取等号。

所以当x＝2时，的最大值为8。

 

【例】已知，求函数的最大值。

解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。

因为，所以

当且仅当，即时等号成立。

【例】求的值域。

解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当，即时

（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

当，即时

（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。

∴的值域为。

（2）整体代换法

【例】设x,y∈R*，且1，求x+y的最小值.

【解题关键点】由1，得≥10+2≥16，当且仅当 ，即y2=9x2。

∵x,y∈R*，

∴当y=3x时取到(x+y)_max =16.

 

【例】求函数的最大值。

解析：变量代换，令，则

当t＝0时，y＝0

当时，

当且仅当，即时取等号。

故。

（4）取平方法

【例】求函数的最大值。

解析：注意到的和为定值。

又，所以

当且仅当，即时取等号。

故。

 

【例】设0<x<2,已知y=，求y的最大值。

【解题关键点】已知0<x<2，可得3x>0,8-3x>2>0。由于3x+(8-3x)=8,可由均值不等式得y= ≤≤4,当且仅当3x=8-3x，即x=时取等号。

所以，当x=时，y=的最大值是4。

 

【例】设x<－1，求函数y=(x+1)+的最值。

【解题关键点】欲用均值不等式来解。因x+1<0，则不满足“正”的条件，故需利用已知条件调整其符号。

解：因为x<－1，所以-(x+1)>0，

则(x+1)+=-[-(x+1)+]≤-2=-4。

当且仅当-(x+1)=，即x=-3时，y有最大值，且ymax=-4+5=1,y无最小值。

 

【例】有一块边长24厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？（    ）

    A．8                    B．10         C．12                 D．4

【解题关键点】答案:D

设剪去小正方形的边长为x，则=x（24-2x）=×4x（24-2x）。对于函数y=abc、a、b、c均为正数，且a+b+c为常数，当且仅当a=b=c时，y取最大值。所以，4x=24-2x，解得x=4，此时纸盒容积最大。

 

 

【例】将20表示成5个自然数的和，这些数的积最大是多少？（      ）

    A．568                 B．892      C．1024                     D．1260

【答案】C

【解题关键点】应用均值不等式。几个数的和一定，当这几个数相等时，其乘积最大。20=4+4+4+4+4.其乘积为4×4×4×4×4=1024。

 

【例】将23分成若干个自然数的和，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是多少？（      ）

    A．3586               B．3804             C．4374                     D．4916

【答案】C

【解题关键点】分拆的原则是：在不出现1的情况下分拆出尽量多的3。23=3+3+3+3+3+3+3+2，最大乘积为3×3×3×3×3×3×3×2=4374。

 

二、二次函数基础

找出题目中的自变量和因变量，带入公式y=ax2+bx+c（a为负数），找出之间的联系。y=ax2+bx+c=a(x+) 2+c，求最大值。

【例】商品进价为每件30元，现在售价为每件40元，每星期可卖50件，市场调查反应，如果每件的售价涨1元（售价不高于45元），那么每星期少卖10件。如何定价才能是每星期的利润最大？最大利润为多少？

【解题关键点】 设售价为x元，销量为y件。

利润=收入-成本=xy-30y=y(x-30)=[50-10(x-40)](x-30)=-10x2+750x-13500 (30≤x≤45，且x∈Z)

∴求出-10x2+750x-13500 (30≤x≤45)的最大值即可

画图得：顶点坐标为(37.5,562.5)，对称轴x=37.5开口向下的抛物线,x∈[30,45]且x∈Z

∴观察图像，得：当x=37或x=38时，MAX(-10x2+750x-13500)=560元

∴当定价为每件37元或者每件38元时，利润最大。最大利润为560元