已知在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，且∠BAC=∠BDE．（1）如图1，若...

（2011?门头沟区二模）已知在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，且∠BAC=∠BDE．
（1）如图1，若∠BAC=∠BDE=60°，则线段CE与AD之间的数量关系是

CE=AD

；
（2）如图2，若∠BAC=∠BDE=120°，且点D在线段AB上，则线段CE与AD之间的数量关系是

CE=

3

AD

；
（3）如图3，若∠BAC=∠BDE=α，请你探究线段CE与AD之间的数量关系（用含α的式子表示），并证明你的结论．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．

专题：探究型．

分析：（1）由题意易证得△ABD≌△CBE，由全等三角形的对应边相等，即可求得即可求得线段CE与AD之间的数量关系是CE=AD；
（2）首先过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥C于N，即可得∠B=30°，由三角函数的性质，即可得BC=

3

AB，又由∠BDE=∠BAC证得DE∥AC，由平行线分线段成比例定理即可求得CE=

3

AD；
（3）首先由AB=AC，DB=DE，可得

AB

DB

=

AC

DE

．则可得ABC∽△DBE，然后又可求得△ABD∽△CBE，则

AD

CE

=

BD

BE

，然后过点D作DF⊥BE于点F．由三角函数的性质即可得CE=2sin

α

2

AD．

解答：解：（1）CE=AD；

（2）CE=

3

AD．
理由：过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AB=AC，DB=DE，∠BAC=120°
∴∠B=30°，BN=EN，BM=CM，
∴cos∠B=

BN

BD

＝

BM

BA

=

3

2

，
∴BE=

3

BD，BC=

3

AB，
∵∠BDE=∠BAC，
∴DE∥AC，
∴

AD

AB

＝

EC

BC

，
∴

AD

EC

＝

AB

BC

＝

1

3

，
∴CE=

3

AD．

（3）CE与AD之间的数量关系是CE=2sin

α

2

AD．
证明：∵AB=AC，DB=DE，
∴

AB

DB

=

AC

DE

．
∵∠BAC=∠BDE，
∴△ABC∽△DBE．
∴

AB

DB

=

BC

BE

，∠ABC=∠DBE，
∴

AB

BC

=

DB

BE

，∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴

AD

CE

=

BD

BE

，
过点D作DF⊥BE于点F．
∴∠BDF=

1

2

∠BDE=

α

2

，
∴BE=2BF=2BD?sin∠BDF=2BD?sin

α

2

，
∴

AD

CE

=

1

2sin α 2

，
∴CE=2sin

α

2

AD．

点评：此题考查了相似三角形、全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角函数的性质以及比例变形等知识．此题综合性很强，解题的关键数形结合思想的应用．