[原创]2012年上海高考数学（理科）试题详解(一)

2012年上海高考数学（理科）试题详解(一)

大罕

   

   一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

    1．计算：(3-i)/ (1+i) =      （i为虚数单位）.1-2i

    解答：分母实数化即可.

   

    2．若集合A={x|2x+1>0}，B={x||x-1|<2}，则A∩B＝          .( -1/2,3)

    解答：A={x|x>－1/2}，B={x|-1<x<3}，∴A∩B＝{x|－1/2<x<3} .

   

    3．函数f(x)=-2-sinxcosx(行列式形式)的值域是          . ( -5/2,-3/2)

    解答：f(x)= (-1/2)sin2x-2, ∴f(x)∈( -5/2,-3/2).

   

    4．若向量n=(-2,1)是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为         （结果用反三

角函数值表示）.

    解答：法向量n=(-2,1)_方向向量d=(1,2) _k=2_=arctan2.

 

    5．在(x-2/x)⁶的二项展开式中，常数项等于         .-160

    解答：T_r+1=C(6,r)x^6-r(2/x)^r,令6-2r=0，则r=3, 所以常数项为C(6,3)2³＝160.

 

    6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，1/2为公比的等比数列，体积分别记为V₁,V₂,…,V_n,…,则lim(V₁+V₂+…+V_n)=      . 8/7

    解答：V₁=1,q=1/8, S=1/[1－(1/8)]=8/7.

 

    7．已知函数f(x)=e^|x-a|（a为常数）.若f(x)在区间[1,+￥)上是增函数，则a的取值范围是  (-￥, 1]   .

   解答：当a=1及a<1时，参看图像可知符合要求，故a的取值范围是(-￥, 1].

 

    8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面，则该圆锥的体积为π√3/3 .    

    解答：侧面展开图是半圆，其面积：(1/2)πl ²=2π, ∴l=2，又∵半圆周长2π＝2π r，∴r=1, ∴V=π√3/3.

   

    9．已知y=f(x)+x²是奇函数，且f(1)=1.若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=  -1   .

    解答：∵y=f(x)+x²是奇函数，且f(1)=1，∴f(-1)+(-1)²=-[f(1)+1²]，∴f(-1)+1=-2，∴f(-1)=-3，∵又g(x)=f(x)+2，∴g(-1) =f(-1)+2＝－1.

 

    10．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α=π/6.若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式，则f(θ)=1/sin(π/6-θ) .

    解答：设P(ρ,θ)是直线l上任一点，在△POM中，由正弦定理知ρ/sin(5π/6)=2/sin(π/6-θ)，∴ρ=f(θ)=1/sin(π/6-θ).

 

    11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是2/3（结果用最简分数表示）.

    解答：每个同学都有3种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球.3个同学共有3×3×3=27种.有且仅有两人选择的项目完全相同,哪2人相同，有3种，哪两项相同有3种，剩下同学只有2种选择，故共有3 ×3 ×2 =18种.所以P=18/27=2/3

   

    12．在平行四边形ABCD中，∠A=π/3, 边AB、AD的长分别为2、1. 若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM|/|BC|=|CN|/ |CD |，则向量AM?AN的取值范围是[2,5].

    解答：|BM|/|BC|=|CN|/ |CD |，即|CN|＝2|BM|，设|BM|=x(0≤x≤1)，则|CN|＝2x，

      向量AM?AN＝(AB+BM)(AD+DN)

      =AB?AD+AB?DN+BM?AD+BM?DN

      =2?1?cos(π/3)+2(2-2x)+2x+x(2-2x)cos(π/3)

      =-x²-2x+5,

    当x=0时，最大值＝5；当x=1时，最小值＝2.

   

    13．已知函数y=f(x)的图像是折线段ABC，若中A(0,0)，B(1/2,5)，C(1,0).函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为5/4 .

     解答见http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d010162n9.html

   

    14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2. 若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是(2c/3)√(a²-c²-1).

    解答见http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d010166un.html