[原创]上海市卢湾区2009年高考数学模拟试卷压轴题分析

上海市卢湾区2009年高考数学模拟试卷压轴题分析

撰文/大罕

 笔者只看到试卷，并没有拿到参考答案.以下的过程是个人所做.先将试题及解答列后，再略加分析.

试题:

22.如图，已知点H(-3,0)，动点P在y轴上，点Q在x轴上，其横坐标不小于0，点M在直线PQ上，且满足HP⊥PM，2PM=-3MQ，

⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程；

⑵过定点F(1,0)作互相垂直的直线l和m，l和m分别与⑴中的轨迹交于A,B,D,E四点，求四边形ADBE的面积的最小值；

⑶ ①将⑴中曲线换为x²+2y²=2，并将⑵中定点取为焦点F(1,0)，

求与⑵相类似的问题的解；

   ②将⑴中曲线换为b²x²+a²y²=a²b²，并将中定点取为焦点F(1,0)，

求与⑵相类似的问题的解.

    解：⑴ H(-3,0)，设P(0,y₁)，Q(x₂,0) (x₂>0)，M(x,y)，

      向量HP=(3,y₁), 向量PM=(x,y-y₁), 向量MQ=(x₂-x,-y),

        ∵ HP⊥PM,

        ∴ 3x+y₁(y-y₁)=0,                        ①

        ∵ 2PM=-3MQ，

        ∴ 2(x,y-y₁) =-3(x₂-x,-y),               ②

      由①②消去x₁,y₁，得

      y²=4x,此为点M的轨迹方程.

    ⑵ 已求得⑴中的轨迹方程为y²=4x,

      依题意，设l和m的斜率分别为k,-1/k,

      则l的方程是：y=k(x-1),

        m的方程是：y=(-1/k)(x-1),

      将l的方程y=k(x-1)与抛物线y²=4x联立并消去y，得

      K²x²-2(k²+2)x+k²=0,

      △=16(k²+1),

      由弦长公式知|AB|=4(k²+1)/k²,

      同理,求得|DE|=4(k²+1),

      ∴ S_ADBE=8(k²+1)²/k²=8(k²+1/k²+2)≥32.

   ⑶ ① l的方程是：y=k(x-1),代入x²+2y²=2中,可得

      (2k²+1)x²-4k²x+2k²-2=0,

      可算得 △=8(k²+1),

      由弦长公式知|AB|=(2√2)(k²+1)/(2k²+1),

      同理,求得|DE|==(2√2)(k²+1)/(k²+2),

      ∴S_ADBE=4/t,

    其中t=-[1/(k²+1)]²-[1/(k²+1)]+2

         =-[1/(k²+1)-1/2]²+9/4≤9/4 .

    ∴S_ADBE=4/t≥16/9.

    即四边形ADBE的面积的最小值为16/9.

  ② l的方程是：y=k(x-c),代入b²x²+a²y²=a²b²中,可得

    (b²+a²k²)x²-2a²k²cx-a²(b²-c²k²)=0,

    可算得 △=4a²b⁴(k²+1),

    由弦长公式知|AB|=2ab²(k²+1)/ (b²+a²k²),

    同理,求得|DE|=2ab²(k²+1)/ (a²+ b²k²),

    ∴S_ADBE=2a²b⁴/t,

    其中t=-[c⁴/(k²+1)]²-[c⁴/(k²+1)]+a²b²,

         =-c⁴[1/(k²+1)-1/2]²+a²b²+c²/4≤a²b²+c²/4.

    ∴S_ADBE=2a²b⁴/t≥8a²b²/(4a²b²+c²).

    即四边形ADBE的面积的最小值为8a²b²/(4a²b²+c²).

    评价：本题从知识上看，涉及抛物线、椭圆的基本几何性质，向量的简单运算，从能力上看，考查用消去法求轨迹方程，圆锥曲线的弦长计算.

    实际上,此题源于如下一道题:

    如图，已知点H(-3m,0)(m>0)，动点N,P分别在y轴、x轴上运动，MN⊥NQ，2NP=PQ，

       ⑴求动点Q的轨迹方程；

       ⑵若正方形ABCD的三个顶点A、B、C在点Q的轨迹上，求正方形ABCD面积的最小值.

    原题难度适中，灵气活现.我们看到,将它改编作为压轴题后，存在如下问题：

    第一，第⑴问与第⑵问之间没有根本意义上的内在联系，有牵强附会之嫌.

    第二，思考量不足，运算量过大。教材中并没有讲弦长公式：|AB|=(√△)(√1+k²)/|a|,如果硬算，无疑是雪上加霜.

    第三，从第⑵问到第⑶问的“推广”（其实是类比）,只是重复计算，缺乏新意.

    因此,我们认为,对佳题无节制地加以深化，有时会弄巧成拙,足不可取.