[原创]2009年上海市春考数学压轴题（第20题）赏析

2009年上海市春考数学压轴题（第20题）赏析

撰文/大罕

 

    2009年上海市春考第20题如下：

   20.设函数f_n(θ)=sinθ+(-1)ⁿcosθ, 0≤θ≤π/4，其中n为正整数.

     ⑴判断函数f₁(θ)、f₃(θ)的单调性，并就f₁(θ)的情形证明你的结论；

     ⑵证明：2f₆(θ)-f₄(θ)＝(cos⁴θ-sin⁴θ)(cos²θ-sin²θ)；

     ⑶对于任意给定的正整数n，求函数f_n(θ)的最大值和最小值.

 

   讲评：

    作为春考的压轴题，第20题设置了三个小题，难度逐渐加大，到了第⑶小题，其难度是够大的。

    关于第⑴小题.

    仅就判断单调性而言，只需计算得f₁(0)<f₁(π/4) 和f₃(0)<f₃(π/4)，便知f₁(θ)、f₃(θ)在[0,π/4]上均为单调递增的函数.

    就f₁(θ)的情形证明它的单调递增，可用两种方法:

    方法一:f₁(θ)=sinθ-cosθ=√2sin(θ-π/4)，由图像可知, f₁(θ)在[0,π/4]上单调递增.

    方法二:任取0≤θ₁<θ₂≤π/4,注意到sinθ和cosθ在[0,π/4]上分别是增函数和减函数,即sinθ₁<sinθ₂和cosθ₂<cosθ₁，

    ∴ f₁(θ₁)-f₁(θ₂)=(sinθ₁-sinθ₂)+(cosθ₂-cosθ₁)<0,于是f₁(θ)在[0,π/4]上单调递增.

    关于第⑵小题.

    本题即证明如下三角等式：

    2(sin⁶θ+cos⁶θ)-( sin⁴θ+cos⁴θ)=(cos⁴θ-sin⁴θ)(cos²θ-sin²θ).

    多次运用公式sin²θ+cos²θ＝1,等式左边＝2(sin²θ+cos²θ) (sin⁴θ- sin²θcos²θ+cos⁴θ) -( sin⁴θ+cos⁴θ)=1-sin²2θ=cos²2θ，而等式右边＝(cos²θ- sin²θ)²= cos²2θ,

    ∴ 2f₆(θ)-f₄(θ)＝(cos⁴θ-sin⁴θ)(cos²θ-sin²θ).

    关于第⑶小题.

    单独看第⑴⑵小题，感觉无甚新意，甚至有点失望，难道这就是压轴题么？

    其实，这两道小题除了本身具有考查功能以外，同时也是为第⑶小题的急剧爬坡作出铺垫.（注意：这是出题人的“惯用伎俩”,也是善意提醒.）

    对于任意给定的正整数n，如何求函数f_n(θ)的最大值和最小值呢？

    第⑴小题暗示，解题思路上可以从函数的单调性加以考虑.这是思想方法的提醒.

    第⑵小题暗示，解题途径上可以仿照这里的模式加以变形.这是解题技巧的提醒.