2014年中考数学一模试卷

一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分．）

1．-2的倒数是

1

2

．

★★★★★显示解析

2．计算：-3²=

-9

．

 显示解析

3．因式分解：x³-2xy=

x（x²-2y）

．

 显示解析

4．写出一个实数k的值

-1（答案不唯一）

，使得反比例函数y=

k

x

的图象在二、四象限．

 显示解析

5．已知关于x的方程x²+mx-6=0的一个根为2，则m=

1

．

 显示解析

6．正五边形的每一个内角都等于

108

°．

 显示解析

7．已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB=

3

4

，则AC长为

6

．

 显示解析

8．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠1=65°，则∠2=

115

°．

 显示解析

9．在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB，垂足为E，若OE=

3

，则CD的长为

2

．

 显示解析

10．已知圆锥的底面半径为r，高为5，那么它的侧面积S=

πr

r2+25

．（用含有r的式子表示）

 显示解析

11．若（x+3）³=x³+ax²+bx+c，则a-b+c的值等于

9

．

 显示解析

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x-4的图象经过正方形OABC的顶点A和C，则正方形OABC的面积为

32

5

．

 显示解析

二、选择题（本大题共有5小题，每小题3分，共计15分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．）

13．圆柱的左视图是（　　）

A．圆

B．椭圆

C．三角形

D．矩形

 显示解析

14．下列运算中，正确的是（　　）

A．a2+a2=2a4

B．（ab2）2=a2b4

C．a3÷a3=a

D．a2·a3=a6

 显示解析

15．若式子

3x4

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥ 4 3

B．x＞ 4 3

C．x≥ 3 4

D．x＞ 3 4

 显示解析

16．有一个计算器，计算

2

时只能显示1.41421356237十三位（包括小数点），现在想知道7后面的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个值（　　）

A．10 2

B．10( 2 1)

C．100 2

D． 2 1

 显示解析

17．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一动点（不与点A、C重合）．过点P且垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．若AC=2，BD=1，设AP=x，S_△AMN=y，则y关于x的函数图象的大致形状是（　　）

A．

B．

C．

D．

 显示解析考点：

动点问题的函数图象．

专题：压轴题．

分析：△AMN的面积=

1

2

AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；

解答：解：（1）当0＜x≤1时，如图，
在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；
∵MN⊥AC，
∴MN∥BD；
∴△AMN∽△ABD，
∴

AP

AO

=

MN

BD

，
即，

x

1

=

MN

1

，MN=x；
∴y=

1

2

AP×MN=

1

2

x²（0＜x≤1），
∵

1

2

＞0，
∴函数图象开口向上；

（2）当1＜x＜2，如图，
同理证得，△CDB∽△CNM，

CP

OC

=

MN

BD

，
即

2?x

1

=

NM

1

，MN=2-x；
∴y=

1

2

AP×MN=

1

2

x×（2-x），
y=-

1

2

x²+x；
∵-

1

2

＜0，
∴函数图象开口向下；
综上答案A的图象大致符合．
故选：A．

点评：本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．

三、解答题（本大题共有11小题，共计81分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

18．（1）计算：2cos60°-|-2|+（

3

-1）⁰； 
（2）化简：（1+

1

x1

）÷

x

x21

．

 显示解析

19．（1）解方程：

x3

x

=

2

3x

-

8

3

；       
（2）解不等式组：

x+4＞3(x+2) x1 2 ≤ x 3

．

 显示解析

20．某校组织九年级学生进行电脑技能竞赛（其中（1）班和（2）班参加比赛的学生人数相同），竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．小明将（1）班和（2）班的成绩整理并绘制成如下的统计图．

（1）九（2）班同学在此次竞赛中获得C级的人数为

7

；
（2）请你将表格补充完整：

	平均数（分）	中位数（分）	众数（分）
（1）班	87.5	90	90
（2）班	88	85	100

 显示解析

21．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点E在边BC上，点F在边AB的延长线上，BE=BF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．

 显示解析

22．将一双男鞋，一双女鞋共四只鞋分别装入外形完全相同的4个不透明纸盒中，从这4个纸盒中随机取出2个纸盒．试用列表或画树状图的方法，求出所取两个纸盒中的鞋子恰好配成一双女鞋的概率．

 显示解析

23．如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；
（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．

 显示解析考点：

抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题．

分析：（1）把A的坐标代入抛物线的解析式可求出b的值，进而得到抛物线的解析式，利用配方法即可求出顶点D的坐标；
（2）首先求出C，A，B的坐标，根据抛物线的对称性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM≥BC=2

5

．

解答：解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=

1

2

x²+bx-2上，
∴b=-

3

2

，
∴抛物线解析式y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∵抛物线y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴顶点D的坐标（

3

2

，-

25

8

）；
（2）当x=0时，y=-2，∴C（0，-2）
∴OC=2，
当y=0时，0=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得：x=4或-1，
∴B（4，0），
∴OB=4，
由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2

5

．
∴CM+AM的最小值是2

5

．

点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线和抛物线的交点问题，利用抛物线的对称性得到AM+CM=BM+CM≥BC=2

5

是解题的关键．

24．某建筑大楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图，BC∥AD，斜坡AB长20米，坡角∠BAD=60°，为防止山体滑坡，保障安全，决定对该土坡进行改造．经相关部门勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；
（2）为确保安全，在改造工程中保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到点F处，问：BF至少为多少米？（结果保留根号）

 显示解析

25．如图，直线y=-

1

2

x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线y=x交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从点O出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ．
（1）求出点C的坐标；
（2）若△OQC是等腰直角三角形，则t的值为

2或4

；
（3）若CQ平分△OAC的面积，求直线CQ对应的函数关系式．

 显示解析考点：

一次函数的性质．

分析：（1）解两函数解析式组成的方程组即可；
（2）分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可；
（3）求出Q的坐标，设出解析式，把Q、C的坐标代入求出即可．

解答：解：（1）∵由

y＝? 1 2 x+3 y＝x

，得

x＝2 y＝2

，
∴C（2，2）；

（2）如图1，当∠CQO=90°，CQ=OQ，
∵C（2，2），
∴OQ=CQ=2，
∴t=2，
②如图2，当∠OCQ=90°，OC=CQ，
过C作CM⊥OA于M，
∵C（2，2），
∴CM=OM=2，
∴QM=OM=2，
∴t=2+2=4，
即t的值为2或4，
故答案为：2或4；

（3）令

1

2

x+3＝0，得x=6，由题意：Q（3，0），
设直线CQ的解析式是y=kx+b，
把C（2，2），Q（3，0）代入得：

3k+b＝0 2k+b＝2

，
解得：k=-2，b=6，
∴直线CQ对应的函数关系式为：y=-2x+6．

点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，三角形的面积，等腰直角三角形等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强．

26．小辉身高1.65米，他在体质健康卡上填写的是165厘米，其实这是度量单位引起的数值变化：以1米为度量单位，那么他的身高就是1.65个度量单位，以1厘米为度量单位，那么他的身高就是165个度量单位．
商场某种电器商品，平均每天可销售30件，每件盈利200元．为了刺激消费，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价20元，商场平均每天可多售出4件．问每件商品降价多少元时，商场日盈利5880元？
（1）可选择不同的度量单位列出方程
方法1：以1元为1个度量单位，设每件商品降价x元．根据题意，请列出方程：

（200-x）×（30+4×

x

20

）=5880

 ①
方法2：以20元为1个度量单位，设每件商品降价x个20元．根据题意，请列出方程：

（200-20x）×（30+4x）=5880

 ②
（2）请选择你所列的方程①或②，求出问题的解．

 显示解析

27．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，点B在⊙O上，BP的延长线交直线l于点C，连结AB，AB=AC．
（1）直线AB与⊙O相切吗？请说明理由；
（2）若PC=2

5

，求⊙O的半径；
（3）线段BC的中点为M，当⊙O的半径为r为多少时，直线AM与⊙O相切．

 显示解析考点：

切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

专题：计算题．

分析：（1）连接OB，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由OP=OB得∠OPB=∠OBP，由OA⊥l得∠OAC=90°，则∠ACB+∠APC=90°，而∠APC=∠OPB=∠OBP，所以∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据勾股定理，在Rt△ACP中有AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，在Rt△AOB中有AB²=PO²-OB²=5²-r²，
由于AC=AB，所以（2

5

）²-（5-r）²=5²-r²，然后解方程；
（3）作OT⊥AM于T，根据切线的判定当OT=OB时，AM与⊙相切，则根据切线长定理得∠OAB=∠OAT，根据等腰三角形的性质由AB=AC，M为线段BC的中点得∠CAM=∠MAB，则∠CAM=2∠MAO，可计算出∠OAT=30°，于是得到OT=

1

2

OA=

5

2

，所以⊙O的半径为r为

5

2

时，直线AM与⊙O相切．

解答：解：（1）直线AB与⊙O相切．理由如下：连接OB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP，
∵OA⊥l，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACB+∠APC=90°，
而∠APC=∠OPB=∠OBP，
∴∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，
∴OB⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）设⊙O半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r；
在Rt△ACP中，AC²=PC²-PA²=（2

5

）²-（5-r）²，
在Rt△AOB中，AB²=PO²-OB²=5²-r²，
∵AC=AB，
∴（2

5

）²-（5-r）²=5²-r²，解得r=3，
即⊙O的半径为3；
（3）作OT⊥AM于T，如图，
当OT=OB时，AM与⊙相切，
∴∠OAB=∠OAT，
∵AB=AC，M为线段BC的中点，
∴∠CAM=∠MAB，
而∠MAB=∠OAB+∠OAT，
∴∠CAM=2∠MAO，
∵∠CAO=90°
∴∠OAT=30°，
∴OT=

1

2

OA=

5

2

，
即⊙O的半径为r为

5

2

时，直线AM与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了等腰三角形的性质、切线长定理和勾股定理．

28．作一个图形关于一条直线的轴对称图形，再将这个轴对称图形沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做关于这条直线的滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1），结合轴对称和平移的有关性质，解答以下问题：
（1）如图2，在关于直线l的滑动对称变换中，试证明：两个对应点A，A′的连线被直线l平分；
（2）若点P是正方形ABCD的边AD上的一点，点P关于对角线AC滑动对称变换的对应点P′也在正方形ABCD的边上，请仅用无刻度的直尺在图3中画出P′；
（3）定义：若点M到某条直线的距离为d，将这个点关于这条直线的对称点N沿着与这条直线平行的方向平移到点M′的距离为s，称[d，s]为点M与M′关于这条直线滑动对称变换的特征量．如图4，在平面直角坐标系xOy中，点B是反比例函数y=

3

x

的图象在第一象限内的一个动点，点B关于y轴的对称点为C，将点C沿平行于y轴的方向向下平移到点B′．
①若点B（1，3）与B′关于y轴的滑动对称变换的特征量为[m，m+4]，判断点B′是否在此函数的图象上，为什么？
②已知点B与B′关于y轴的滑动对称变换的特征量为[d，s]，且不论点B如何运动，点B′也都在此函数的图象上，判断s与d是否存在函数关系？如果是，请写出s关于d的函数关系式．

 显示解析考点：

几何变换综合题．

分析：（1）作A关于直线l的对称点A′，根据相似三角形的性质和判定求出即可；
（2）连接BD交AC于O，作直线PO．即可得出答案；
（3）①根据已知求出b′的坐标，代入函数解析式看看两边是否相等即可；②作B关于y轴的对称点C，求出C的坐标，再根据平移规律得出即可．

解答：解：
（1）如图1，作点A关于直线l的对称点A″，连接A′A″，
∵由题意知：A′A″∥直线l，
∴△AA′A″∽△ABO，
∵点B是AA″的中点，
∴

AO

AA′

=

AB

AA″

=

1

2

，
∴O为AA′的中点；

（2）连接BD交AC于O，连接PO并延长交BD于P′，则P′为所求；

（3）①点B′不在双曲线上，
理由是：∵点B（1，3）与B′关于y轴的滑动对称变换的特征量为[m，m+4]，
∴m=1，m+4=5，
∴B′的坐标是（-1，-2），
把B′的坐标代入双曲线y=

3

x

，左右两边不相等，
∴点B′不在双曲线上；
②s与d存在函数关系，
如图3，作B关于直线y的对称点C，连接B′C，
点B与B'关于y轴的滑动对称变换特征量为[d，s]
设点B的坐标为（d，

3

d

），则点C的坐标为（-d，

3

d

）
∴点B'的坐标为（-d，

3

d

s），
又∵点B'在函数y＝

3

x

图象上，
∴d×(

3

d

s)＝3，
得d·s=6，则s＝

6

d

．

点评：本题考查了双曲线的性质，正方形的性质，轴对称性质的应用，主要考查学生的阅读理解能力和计算能力，题目是一道比较典型的题目，比较好．

2014年四川省巴中市恩阳区中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题（每小题3分，10个小题，共30分）

1．

81

的算术平方根是（　　）

A．-3

B．3

C．±3

D．81

 显示解析

2．

1

3

的相反数的倒数是（　　）

A．3

B． 1 3

C．-3

D．- 1 3

 显示解析

3．下列各数：0，

9

，0.2

·

3

，cos60°，

22

7

，

π

2

，1-

2

，0.303003…中无理数个数是（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

 显示解析

4．下列运算中，计算结果正确的是（　　）

A．3x-2x=1

B．2x+2x=x2

C．x·x=x2

D．（-a3）2=-a4

 显示解析

5．下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　）

A．y=-x

B．y=- 1 x

C．y=- 3 x （x＞0）

D．y=x（x＞0）

 显示解析

6．正在修建的巴陕高速公路建成后，巴中到西安只要3小时左右．其设计时速：80公里/时，路线全长113公里，总投资137.1亿元．把数值137.1亿用科学记数法表示为（　　）

A．1.371×109

B．1.371×1010

C．1.371×1011

D．1.371×1012

 显示解析

7．下列调查，适合用普查方式的是（　　）

A．了解一批水稻种子的合格率

B．了解恩阳河中鱼的种类

C．了解九年级一班学生对“社会主义核心价值观”的知晓率

D．了解巴中电视台《新闻365》栏目的收视率

 显示解析

8．若二次函数y=ax²+bx+a²-2（a，b为常数）的图象如下，则a的值为（　　）

A．-2

B．- 2

C．1

D． 2

★★☆☆☆显示解析

9．成巴高速公路全长308km，一辆货车和一辆轿车同时从巴中、成都两地相向开出，经1小时45分钟到达同一地点，相遇时，轿车比货车多行30km．设轿车、货车的速度分别是x km/h，y km/h，则下列方程组正确的是（　　）

A． 7 4 (x+y)＝308 xy＝30	B． 105(x+y)＝308 105(xy)＝30
C． 7 4 (x+y)＝308 7 4 (xy)＝30	D． 45(x+y)＝308 105(xy)＝30

 显示解析

10．如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2），N（0，8）两点，则点P的坐标是（　　）

A．（5，3）

B．（3，5）

C．（5，4）

D．（4，5）

★★★☆☆显示解析

二、填空题（每小题3分，10个小题，共30分）

11．把多项式：5x²+5x-10分解因式

5（x+2）（x-1）

．

 显示解析

12．函数y＝

x+1

x3

中自变量x的取值范围是

x≠3

．

☆☆☆☆☆显示解析

13．⊙O₁与⊙O₂的半径分别是方程x²-7x+11=0的两根，如果两圆外切，那么圆心距a的值是

7

．

 显示解析

14．分式方程

3

x2+x

＝

1

x2x

的解x=

2

．

 显示解析

15．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是

20

%．

★★★☆☆显示解析

16．已知关于x的一元二次方程x²-4x+k-5=0有两个相等的实数根，则k的值为

9

．

 显示解析

17．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则点C的坐标是

（2，0）

．

 显示解析

18．如图，已知矩形OABC的面积为

100

3

，它的对角线OB与双曲线y＝

k

x

相交于点D，且OB：OD=5：3，则k=

12

．

★★☆☆☆显示解析

19．已知点P₁（a，3）和P₂（4，b）关于y轴对称，则（a+b）²⁰¹⁴的值为

1

．

 显示解析

20．二次函数y=

2

3

x²的图象如图所示，点A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₄在y轴正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₄在二次函数第一象限的图象上，若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄都为等边三角形，求：△OB₁A₁的边长

1

，△A₁B₂A₂的边长

2

，探究△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的边长

2014

．

 显示解析考点：

二次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．

专题：规律型．

分析：设△OB₁A₁的边长为a，根据等边三角形的性质表示出B₁的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可，△A₁B₂A₂的边长为b，表示出B₂的坐标，然后代入函数解析式得到关于b的方程求解即可，同理求出等边三角形△A₂B₃A₃的边长，从而得到规律．

解答：解：设△OB₁A₁的边长为a，
则点B₁（

3

2

a，

1

2

a），
∵B₁在二次函数y=

2

3

x²的图象上，
∴

2

3

×（

3

2

a）²=

1

2

a，
解得a₁=1，a₂=0（舍去），
设△A₁B₂A₂的边长为b，
则点B₂（

3

2

b，

1

2

b+1），
∵B₂在二次函数y=

2

3

x²的图象上，
∴

2

3

×（

3

2

b）²=

1

2

b+1，
整理得，b²-b-2=0，
解得b₁=2，b₂=-1（舍去），
同理，等边三角形△A₂B₃A₃的边长为3，
…，
△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的边长为2014．
故答案为：1，2，2014．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，熟记性质并表示出点B系列的坐标是解题的关键．

三、解答题（10个小题，共90分）

21．计算：

3

3

3	8

-(

2

sin45°?2014)0+|tan60°-2|．

 显示解析

22．解方程：（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）

 显示解析

23．先化简，再求值：(

x1

x

x2

x+1

)÷

2x2x

x2+2x+1

，其中x满足x²-x-1=0．

 显示解析

24．解不等式组：

2x1≤x 2(x+1)≥?1

，并将解集在数轴上表示出来．

 显示解析

25．若方程组

ax+y＝b xby＝a

的解是

x＝1 y＝1

，求（a+b）²-（a-b）（a+b）

 显示解析

26．某学校团委选派“志愿者”到各个街道进行党的群众路线知识宣传，若每个街道安排4人，还剩78人，若每个街道安排8人，最后一个街道不足8人，但不少于4人．这个学校共选派志愿者多少人？共有多少条街道？

 显示解析考点：

一元一次不等式组的应用．

分析：设该社区共有x个街道，则总人数=街道数×每个街道安排的人数+剩余的人数，即总人数=4x+78；若每个街道安排8个时，则最后一个街道安排的人数=总人数-前几个街道安排的人数，即最后一个街道安排的人数=4x+78-8（x-1）；又知最后一个街道不足8人，但不少于4人，则可得不等式4≤4x+78-8（x-1）＜8；解得x的取值范围，再确定x的值，最后求得总人数．

解答：解：设该社区共有x个街道．
根据题意得4≤4x+78-8（x-1）＜8，
解得

39

2

＜x≤

41

2

，
因为x是整数，所以x等于20
总人数=4x+78=158．
答：这个学校共选派发放传单学生有158人．共有20个街道．

点评：考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题的不等关系为“最后一个街道不足8人，但不少于4人”．

27．在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋10000个，可以选用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装．单独选用甲型比单独选用乙型可少用10个箱子，每个甲型包装箱比乙型包装箱多装50个鸡蛋．若分别单独选用甲、乙两种型号的包装箱，各需多少个？

 显示解析

28．如图，正比例函数y₁=k₁x与反比例函数y₂=

k2

x

 相交于A、B点．已知点A的坐标为A（4，n），BD⊥x轴于点D，且S_△BDO=4．过点A的一次函数y₃=k₃x+b与反比例函数的图象交于另一点C，与x轴交于点E（5，0）．
（1）求正比例函数y₁、反比例函数y₂和一次函数y₃的解析式；
（2）结合图象，求出当k₃x+b＞

k2

x

＞k₁x时x的取值范围．

 显示解析考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

专题：压轴题．

分析：（1）首先根据△BOD的面积求出反比例函数解析式；再利用反比例函数图象上的点的特征求出A点坐标，由于正比例函数经过A点；再利用代定系数法求出正比例函数解析式；一次函数y₃=k₃x+b过点A（4，2），E（5，0），再次利用代定系数法求出一次函数解析式；
（2）点C是一次函数y₃=-2x+10与反比例函数解析式y₂=

8

x

的交点，用方程-2x+10=

8

x

先求出C的坐标，再求出B点坐标，最后结合图象可以看出答案．

解答：解：（1）∵S_△BDO=4．
∴k₂=2×4=8，
∴反比例函数解析式；y₂=

8

x

，
∵点A（4，n）在反比例函数图象上，
∴4n=8，
n=2，
∴A点坐标是（4，2），
∵A点（4，2）在正比例函数y₁=k₁x图象上，
∴2=k₁·4，
k₁=

1

2

，
∴正比例函数解析式是：y₁=

1

2

x，
∵一次函数y₃=k₃x+b过点A（4，2），E（5，0），
∴

4k3+b＝2 5k3+b＝0

，
解得：

k3＝?2 b＝10

，
∴一次函数解析式为：y₃=-2x+10；

（2）联立y₃=-2x+10与y₂=

8

x

，
消去y得：-2x+10=

8

x

，解得x₁=1，x₂=4，
另一交点C的坐标是（1，8），
点A（4，2）和点B关于原点中心对称，
∴B（-4，-2），
∴由观察可得x的取值范围是：x＜-4，或1＜x＜4．

点评：此题主要考查了待定系数法求函数解析式和图象上点的坐标，并结合图象看不等式的解，关键掌握凡是图象经过的点都能满足解析式，利用代入法即可求出解析式或点的坐标．

29．如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C

（6，2）

；D（

2，0

）；
②⊙D的半径=

2

5

（结果保留根号）；
③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面的面积为

5

4

π

；（结果保留π）
④若E（7，0），试判断直线EC与⊙D的位置关系，并说明你的理由．

★☆☆☆☆显示解析考点：

坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定；圆锥的计算．

专题：网格型．

分析：（1）C（6，2），弦AB，BC的垂直平分线的交点得出D（2，0）；
（2）OA，OD长已知，△OAD中勾股定理求出⊙D的半径=2

5

；
（3）求出∠ADC的度数，得弧ADC的周长，求出圆锥的底面半径，再求圆锥的底面的面积；
（4）△CDE中根据勾股定理的逆定理得∠DCE=90°，直线EC与⊙D相切．

解答：（1）解：C（6，2）；D（2，0）；（各得1分）

（2）解：⊙D的半径=

OA2+OD2

=

16+4

=2

5

；（ 1分）

（3）解：AC=

22+62

=2

10

，CD=2

5

，
AD²+CD²=AC²，∴∠ADC=90°．
扇形ADC的弧长=

90·π·2 5

180

=

5

π，
圆锥的底面的半径=

5

2

，
圆锥的底面的面积为π（

5

2

）²=

5π

4

；（1分）

（4）直线EC与⊙D相切． （1分）
证明：∵CD²+CE²=DE²=25，（2分）
∴∠DCE=90°．（1分）
∴直线EC与⊙D相切（1分）．

点评：本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题，圆的圆心D是关键．

30．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

 显示解析考点：

二次函数综合题．

专题：压轴题．

分析：（1）利用交点式将抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，代入y=a（x-x₁）（x-x₂），求出二次函数解析式即可；
（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线QC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可；
（3）首先求出二次函数顶点坐标，S_{四边形AEPC}=S_{四边形OEPC}+S_△AOC，以及S_{四边形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP=得出使得S_△MAP=2S_△ACP点M的坐标．

解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，
∴y=a（x-1）（x+3），
又∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴a（0-1）（0+3）=3，
∴a=-1
∴y=-（x-1）（x+3），
即y=-x²-2x+3，
用其他解法参照给分；

（2）∵点A（1，0），点C（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，
∴∠DCO+∠OCA=90°，
∵OC⊥x轴，
∴∠COA=∠COQ，∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠DCO=∠OAC，
∴△QOC∽△COA，
∴

OQ

OC

＝

OC

OA

，即

OQ

3

＝

3

1

，
∴OQ=9，
又∵点Q在x轴的负半轴上，
∴Q（-9，0），
设直线QC的解析式为：y=mx+n，则

n＝3 9m+n＝0

，
解之得：

m＝ 1 3 n＝3

，
∴直线QC的解析式为：y＝

1

3

x+3，
∵点D是抛物线与直线QC的交点，
∴

y＝ 1 3 x+3 y＝?x22x+3

，
解之得：

x1＝? 7 3 y 1＝ 20 9

x2＝0 y2＝3

（不合题意，应舍去），
∴点D（

7

3

，

20

9

)，
用其他解法参照给分；

（3）如图，点M为直线x=-1上一点，连接AM，PC，PA，
设点M（-1，y），直线x=-1与x轴交于点E，
∴E（-1，0），
∵A（1，0），
∴AE=2，
∵抛物线y=-x²-2x+3的顶点为P，对称轴为x=-1，
∴P（-1，4），
∴PE=4，
则PM=|4-y|，
∵S_{四边形AEPC}=S_{四边形OEPC}+S_△AOC，
=

1

2

×1×(3+4)+

1

2

×1×3，
=

1

2

×(7+3)，
=5，
又∵S_{四边形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP，
S_△AEP=

1

2

AE×PE＝

1

2

×2×4＝4，
∴S_△ACP=5-4=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴

1

2

×2×|4?y|＝2×1， 
∴|4-y|=2，
∴y₁=2，y₂=6，
故抛物线的对称轴上存在点M使S_△MAP=2S_△ACP，
点M（-1，2）或（-1，6）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．