丢番图

丢番图
　
辽宁师范大学 梁宗巨
　
　　丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大．教学．
　　丢番图生存的年代，是根据下面的记载来确定的．在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中，引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，约公元前175年)关于多角数的定义，而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作．这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普赛勒斯(Psellus，1018—约1078)写过一封信，提到阿纳托利厄斯(Anatolius，约公元280年)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图，因此两人应同时代或丢番图稍早．据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后．
　　丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius)．历史上用这一个名字的有好几个，估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯，他是当地的主教．在任主教(公元247年)之前，曾在那里建立基督教学校(从公元231年起)．丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书．这种推想是合情合理的，年代也和前面所说的一致．
　　关于丢番图的生平，还有一则别开生面的记载．在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中，收录了丢番图奇特的墓志铭：
　　坟中安葬着丢番图，
　　多么令人惊讶，
　　它忠实地记录了所经历的道路．
　　上帝给予的童年占六分之一，
　　又过十二分之一，两颊长胡，
　　再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．
　　五年之后天赐贵子，
　　可怜迟到的宁馨儿，
　　享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓．
　　悲伤只有用数论的研究去弥补，
　　又过四年，他也走完了人生的旅途．
　　这相当于方程
　　 
　
　　x=84．由此知他享年84岁．
　
丢番图的著作
　
　　确实知道他有两种著作，一是《算术》，大部分保存了下来；另一种是《多角数》，只有少部分留下来．还有两种书，一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到，可能是若干数论问题的汇编，独立成册，也可能是附属在《算术》中的失传部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，约公元250—约330年)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica)，它记载了分数计算的法则，可惜已失传．
　　丢番图的《算术》是一部划时代的著作，它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下．这书的序中说，全书共分13卷．可是现在见到的希腊文本只有6卷．长期以来，大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传．5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书，只注了6卷，也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因．
　　近年来，发现4卷阿拉伯文本，改变了传统的看法．1973年，G．图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本，经过研究，确认为《算术》的失传部分(但还不全)．这是由古斯塔伊本卢加(Qustā ibn Lūqā，活跃于860年前后)译成阿拉伯文的．后来J．塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释(见[6])．经过反复推敲，塞夏诺指出这4卷在《算术》中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷1，2，3的卷4，5，6，7，而希腊文的其余部分应是卷8，9，10．下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容．
　　原来的6卷希腊文本，最初是J．雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436—1476)发现的．1464年2月15日，他写信给L．比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丢番图的《算术》，从此西方学术界才知道有6卷希腊文手抄本流传下来．最早的拉丁文译本是G．克胥兰德(Xylander，1532—1576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．以后又有C．－G．巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校订注释的希腊-拉丁文对照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亚历山大的丢番图算术6卷，多角数1卷》)．关于这个译本，有一段饶有趣味的历史．1637年左右，P．de费马(Fermat，1601—1665)读到这译本第2卷第8题：“将一个平方数分为两个平方数”时，在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”．
　　1670年费马的儿子S．de费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉对照本近代，不包括新发现4卷的“丢番图全集”，标准的版本是P．唐内里(Tannery，1843—1904，法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis commentariis”(《亚历山大的丢番图全集，包括希腊文注释》)．最流行的英译本是T．L．希思(Heath，1861—1940)的“Diophantus of Alexan－dria，A Study in the history of Greek algebra(《亚历山大的丢番图，希腊代数学史研究》)．此外，还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本．
　
代数学的特征
　
　　希腊时代“算术”(arithmetica)一词，主要指“数的理论”而言，大致相当于现在的“数论”．而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica)，和前者有明显的区别．这种分法从毕达哥拉斯时代开始，一直延续到近代，例如C．F．高斯(Gau－ss)的数论名著就叫做《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)．丢番图《算术》也是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程．现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支．不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数．
　　从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围．代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算，根据问题的条件列出方程，然后解方程求出未知数．算术也有未知数，这未知数一般就是问题的答案，一切运算只允许对已知数来施行．在代数中既然要对未知数加以运算，就需要用某种符号来表示它．就引入未知数，创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看，丢番图《算术》完全可以算得上是代数．当时代数学没有专门的名称，algebra是9世纪花拉子米(al－Khowarizmi)以后才出现的名称，而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受．丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的．他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的．
　　希腊数学自毕达哥拉斯学派以后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的．为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣，一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入僵硬的几何模式之中．直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊．例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4)，而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果．
　　下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法．卷Ⅱ第20题：求两数，使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数．([10]，p．101．)这相当于不定方程
x2+y=m2
y2+x=n2
　　要求所有的未知数x，y，m，n都是正有理数．
　　丢番图只设一个未知数，也只使用一个未知数的符号，这是他的特点之一，今暂记作x．其余的未知数根据问题的具体条件用含x的一个简单式子表示出来．本例的条件是x2加上另一个未知数等于一个平方数，故可设这个未知数是2x+1，因为x2+ 2x+1正好是一个完全平方．其次，还应该满足
(2x+1)2+x=平方数．
　　丢番图设右端是(2x-2)2，显然是想使展开后左右两端相同的4x2项
 
-2是怎样来的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2，
 
　　原文很简单，没有说明这样设未知数的理由，更没有给出一般的法则．他虽然知道问题有多个答案，但常常得到一个答案就已满足．他认为代数方法(可理解为一种倒推法，先假设未知数存在，列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题．解题的过程中显示出高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜．有的数学史家说，如果丢番图的著作不是用希腊文写的，人们就不会想到这是希腊人的成果，因为看不出有古典希腊数学的风格，从思想方法到整个科目结构都是全新的．如果没有丢番图的工作，也许人们以为希腊人完全不懂代数．有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人．
　
代数符号
　
　　G．H．F．内塞尔曼(Nesselmann，1811—1881)根据符号使用的情况，将代数学分为三类(见[12]，pp．301—306)：(1)文词代数(rhetorische algebra)，完全用文字来叙述而不用符号；(2)简字代数(synkopierte algebra)；(3)符号代数(symbolischealgebra)，除了个别地方，一切全用符号来表示．按照这个分类，丢番图《算术》应该属于第二类．符号的使用，在数学史上是一件大事．一套优良的符号，绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用，它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系．一个较复杂的式子，如果不用符号而日常语言来表述，会十分冗长而含混不清．符号的发明在数学史上是一次飞跃，也是代数的特征之一，其作用是不容低估的．丢番图创设了一些符号，多半采自相应文字的字头，而问题的叙述主要仍然是用文字，和现代的符号代数相去甚远，只可算是较原始的简字代数．
 
　　号来表示它．由于丢番图本人的原始手稿早已失传，后人传抄的手稿上这个符号又不很统一，故很难确知他用的是什么符号．不过几种手稿都
　　
记数法系统是用字母表数，如α，β，γ，δ，…分别表示1，2，3，4…；ι，κ，λ，μ，…分别表示10，20，30，40，…；ρ，σ，τ，υ，…分别表示100，200，300，400，…等等，24个字母
 
　　值得注意的是，在一份大约写于2世纪的纸草书上，也出现和丢番图未知数相类似的符号，上面所列的三个算题，解题方法也具有丢番图的风格．可以想象，丢番图的工作不是孤立的，他受到强烈的外来影响．
　　丢番图所处理的问题大部分是多元的，但他只设一个未知数的符号，相当于现在的x．而和x2，x3，…，x4相当的各次幂，都有专门的名称和符号：
　　 　名称 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　符号
　　
　　 
　　符号是名称的缩写，注意Δ，Υ，Κ是字母δ，υ，κ的大写．这些乘幂的倒数也有专名和符号，6次以上的幂不再创设符号．未知数的系数
 
 
 
相乘的法则：“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’；‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”，即负乘负得正，负乘正得负，
　　由于没有加号，书写时所有的负项都放在减号的后面，如x3-5x2+8x-1写成
 
　　 原意是“属于部分”，相当于“除以”或分数线/)，接着写分母．例如卷10(原希腊文本卷6)第19题，将
(2x3＋3x2＋x)/(x2+2x+1)
　　写成
 
 
 
　　这已非常接近现代方程的形式．最后一个符号 表示数字6，是希腊字母表以外的记号，读作digamma．
　　丢番图创用符号是一大进步，美中不足的是只用符号表示一个未知数，遇到多个未知数时仍用同一符号，这使得计算过程越来越晦涩．为了避免混淆，不得不运用高度的技巧，但这常常使方法失去普遍性．8—9世纪以后，阿拉伯人吸取了许多希腊人的成果，然而却没有看到符号的优点，花拉子米等人完全回到文词代数上去，这是历史上的倒退．
　
《算术》的典型问题和解答
　
　　(一)一、二、三次方程《算术》没有系统地给出一、二次方程的解法．大概是一元一次方程太简单，没有必要单独论述，实际它已包含在axn=b类型的方程之中．经过移项、消去等手续，有些问题化为这类方程之后，立即得到解答．不管答案有几个，丢番图仅满足于一个答案．他完全排斥负数解答，例如卷9(原希腊文本卷5)第2题最后化为4=4x+20，他认为是荒谬的．无理数的解答也不取。如卷7第31题，最后得3x＋18=5x2，他说这方程是不合理的，还反过来考虑怎样改变系数，才使得答案“合理”(即为有理数)．对于答案x=0也是弃之而不顾．
　　关于二次方程，丢番图在序言中就说过要给出完整的解法，但在现存的各章中均未见到，很可能恰好写在失传的部分或别的什么地方．另一种意见认为二次方程的解法早已为巴比伦人所知，可以作为阅读本书的预备知识，不必另作介绍．([6]，p．76．)
　　不管怎样，书中确实出现了若干二次方程或可归结为二次方程的问题，希思就列举了十几个例子，其中包括二次不等式．这些例子足以说明丢番图熟练掌握了二次方程的求根公式．当然仍然是限于正有理根．有的学者认为他不知道二次方程可能有两个根，这是很难令人相信的．不过他始终只取一个根，如果有两个正根，他就取较大的一个．
　　较简单的例子如第1卷27题：两数之和是20，积是96，求这两数．解法是：设两数分别是10+x，10-x，于是(10+x)(10-x)=102-x2=96，x2=4．x=2，两数是12，8．
　　卷1第28题：两数之和是20，平方和是208，求这两数．同样设两数是10+x，10-x，则(10+x)2+(10-x)2=208，x=2，两数是12，8．
　　较复杂的含一次项的例子如8卷31题，最后得到325x2=3x+18；应有两根x=6/25，-3/13，只取正根，负根不提．
　　更复杂一点的例子是卷9第10题，导致不等式
17x2+17＜72x＜19x2+19，
　　相当于不等式组
 
　
　　正确的答案应该是
β1＜x＜β2，α2＜x＜α1，
　　其中
 
　
　　是方程17x2-72x＋17=0的两个根．
 
　
　　是方程19x2-72x+19=0的两个根．
　　遇到两个正根的时候，丢番图只取较大的，故只取α2＜x＜α1，对于无理数，则取近似值．但要保证x落在区间(α2，α1)内，α2只能取过剩近似，而α1只能取不足的．丢番图将
 
　
　　分子的小数部分略去，均取不足近似值，给出答案
 
　　
这里可以看到丢番图的局限性．用现代的理论，要找出较好的答案是不难的，例如可取
 
　
　　全书唯一的一个三次方程，出现在卷10(原希腊文本卷6)第17题：
　　求直角三角形的三边，已知它的面积加上斜边是一个平方数，而周长是一立方数．
　　这相当于
 
　
　　其中a，b，c是三边．
　　
a=2，b=x，而c=M2-x，暂设为16-x，于是周长a＋b＋c=16-x＋2＋x=18，但18不是立方数．仍假设它是一个平方数加2，现改变这个平方数，使它加2后成为立方数．即找两个数M，N，满足M2＋2=N3．现设M=m＋1，N=m-1，代入得
m2+2m+3=m3-3m2+3m-1
　　于是有m=4．
　　他显然省略了下面的步骤，合并同类项，得
4m2+4=m3+m
　　约去因子m2+1．
　　由此知M2=25，N=27．仍设面积为x，而将斜边改为25-x，a=2，b=x，根据勾股定理
x2-50x+625=x2+4，
　　即得
 
　
　　在《算术》遗失的章节中是否还有三次方程的专门论述，不得而知．
　　(二)不定方程
　　例1．卷2第8题：将一个已知的平方数分为两个平方数．例如将16分成两个平方数．
　　设一个平方数是x2，那么另一个是16-x2，现要求16-x2是一平方数．即
16-x2=M2
　　不妨设M=mx-4，其中m是某一整数，而4是16的平方根．例如令m=2，于是
16-x2=4x2-16x+16，
　　立刻得到
 
　
　　前面已经提到，费马对这一命题很感兴趣，在旁边的空白处写下著名的“费马大定理”．
　　例2、卷4(阿拉伯文本)第3题：求两个平方数，使其和是一个立方数．(见［6］，pp．89，286．)
　　设较小的平方数是x2，较大的平方数是4x2，其和5x2必须是立方数M3，不妨设M是x的某一倍数，比方说就设它是x，于是5x2=x3，x=5．所求的两个平方数是25和100，其和等于53=125．
　　丢番图照例不说明所作假设的理由，更不给出一般的解答，既然是不定方程，找到一个答案就算完结．本例实际上可作更一般的假设．设
 
给出一般的解，是极个别的情形．如8卷39题，由方程3x2+12x＋
 
6倍增加12，除以数的平方与3的差．
　　例3．高阶不定方程．卷8第18题：求两数，使得第一数的立方加上第二数是一个立方数，而第二数的平方加第一数是一个平方数．相当于联立不定方程
 
　
　　设第一数是x，则第二数是一个立数M3减去x3，暂设这个立方数是8，第二数是8-x3，它的平方加上第一数是
64-16x3+x4+x=N2．
　　可设N是三次式x3+8，因为展开后即将x4及常数64消去．合并同类项后得x=32x3，约去x得x2=1/32．这不是一个平方数(平方根不是有理的)，问题仍未得到解决．
　　 观察32的来源，它是2·2·8的结果，而8是开头暂设的立方数M3，设法改变M的值，使4M3=平方数，不妨令这平方数是16M2，于是4M3=16M2，M=4．
　　仍设第一数为x，重新设第二数为64-x3，它的平方加上第一数
4096-128x3+x4+x=(x3+64)2，
　　 
　
丢番图的方法
　
　　现存的《算术》以问题集的形式收录了290个题目，其中希腊文本189个，阿拉伯文本101个，此外还有十几个引理和推论，合起来共三百多个问题．大体上按由易到难排列，但很难看得出是用什么标准来分类的．解题的方法更是五花八门，没有一定的法则．数学史家H．汉克尔(Hankel，1839—1873)说：“近代数学家研究了丢番图的100个题后，去解101个题，仍然感到困难．……丢番图使人眼花缭乱甚于使人欣喜”．(见［15］，p．165；［16］，p．36．)这话稍嫌夸张，却抓住了问题的要害．丢番图没有着力去探求一般性的解法，或去深究丰富多采的解法之间的内在联系，这是《算术》的最大缺点．
　　有两件事自始至终防碍他取得普遍性的方法．首先，他只用一个符号表示未知数，遇到多个未知数时，不得不用“第一个、第二个、第三个、……”或“大的、中的、小的…”等词句去表达．在多数的情况下令那些未知数取得具体的数值，于是使问题特殊化而得不到普遍的解答．其次，没有创用符号去表示数(如现在的n，a，b，c，…一样)，因此所有的解法都是针对具体数字而设的，对一般的数就不一定适合，这样当然得不到一般的解法．
　　尽管如此，后人仍然从中摸索出若干常用的方法，下面仅举几个简单的例，以见一斑．
　　(1)利用一些恒等式，如
 
　
　　可使两数的积与和、差互化．如卷2第11题：求一数，使其加上2是一平方数，加上3也是平方数．即
 
 　
　　(2)两数和为已知数M，或两数一大一小，通常设这两数是M＋x，M-x，然后使其满足其他条件．如前面举过的卷1第28题．
　　(3)《算术》除卷1外，其余的几乎全是不定方程，特别是牵涉到平方数、立方数．常出现一个或多个这种类型的方程：
Ax2+Bx+C=M2．
　　可设M是x的一次式，适当选择系数使展开后可消去二次项或常数项．
　　(4)使问题特殊化．为了减少未知数的个数，先令某些未知数取满足一定条件的具体数值，以后不合适时再改变原先的假设．
　　(5)近似法．令未知数取某种类型的数值，且满足一定条件，这样先求出近似答案，并在计算过程中发现求得正确答案的途径．
　　以卷9第9题为例：将1分为两部分，使一个已知数加上任何一部分都是平方数．
　　设这个已知数是6，问题于是转化为将13分为两个平方数，使每一个平方数都＞6，即13=M2＋N2，M2＞6，N2＞6．
 
 　
(3-9x)2+(2＋11x)2=13，
　　 
　　丢番图没有进一步推广，实际上，如设
(3-mx)2+(2+nx)2=13，
　　 选择m，n，使满足
 
　　
数和是1，每一个加上6都是平方数．如令m=13，n=16，则得另一组
 
　
其他著作
　
　　丢番图的《多角数》只残存一部分，它证明的方式纯粹是几何的，倒很接近古典希腊的风格，而和《算术》迥然不同．多角数(polygonal number)是形数(figurate number)的一种．用点子表示数，可以构成各种平面或立体图形，这个数叫做形数．如6个点构成一个三角形，6就是三角数 ．同样，1，5，12，22，35，…都是五角数，如22个点构成一个正五角形，它的边是4(每边有4个点，用n表示这个数)，角数是5(用a表示)．n，a与总的点数P之间有公式联系起来：
 
　
　　多角数是一个古老的课题，源出于毕达哥拉斯，后经菲利波斯(Philippos，公元前360年前后)、斯皮尤西波斯(Speusippus，公元前340年前后)等人研究．上述公式是许普西克勒斯(公元前175年前后)给出的，丢番图在《多角数》中加以引用并推广，还建立了其他的公式．
 
　　另一本著作《推论集》载有若干数论的引理及推论，可以看作《算术》的一部分或补充．
　
来源及影响
　
　　从古代埃及、巴比伦的衰亡，到希腊文化的昌盛，这过渡时期没有留下什么数学典籍，所以现在的了解是不够的．巴比伦人在代数方面(如二次方程、不定方程)有很高的成就，丢番图的技巧和他们颇有相似之处．例如S．甘兹(Gandz)指出，《算术》卷2第10题(将已知数分为二个平方数之差)已在巴比伦的泥板上见到．见［17］，pp．13—14．)丢番图常满足于问题的解决(得到一个解)而不去追求方程的全部解，《算术》与其说是代数教科书，不如说是一本问题集，这些地方都和巴比伦数学相仿．他的工作有时被说成是“盛开的巴比伦代数的花朵”．
　　不管丢番图受到巴比伦人的多少影响，他毕竟大大超越了前人，在数论和代数领域作出了杰出的贡献，开辟了广阔的研究道路．如系统地使用了符号，深入讨论了抽象的数而不是埃及、巴比伦数学中具体的麦粒数目、田亩的面积或货币的单位．这是人类思想上一次不寻常的飞跃，不过这种飞跃在早期希腊数学中已出现．巴比伦人曾致力于将三次方程化为n3+n2=a的形式，以便借助数表去求近似解，而丢番图的兴趣是求精确的有理数解．在多方面显示出惊人的睿智和独创性．
　　8，9世纪以后，丢番图的著作传到阿拉伯国家，产生巨大的影响，出现多种翻译和注释本．如凯拉吉(al-Karajī或al－Karkhī，活动于1020前后)的代数著作《发赫里》(al-Fakhrī)就直接引用《算术》前3卷的若干题目．在欧洲，L．斐波那契(Fibonacci，约1170—约1250，意大利人)的《算盘书》(Liber abaci，1202)最早载有丢番图类型的问题，他显然是通过阿拉伯文本去熟悉丢番图的．近代数学家如费马、F．韦达(Vieta)、欧拉、高斯等也都受到丢番图的许多启发，各自取得巨大的成就．总而言之，丢番图的《算术》虽然有许多不足之处，但瑕不掩瑜，它仍不失为一部承前启后的划时代著作．